专题二 构造等腰三角形解决问题-【课时提优计划作业本】2024-2025学年八年级数学上册（苏科版）

课时提优计划作业本数学八年级上》)) 专题二构造等腰三角形解决问题 类型一连线构造 1.如图，在锐角三角形ABC中，CF⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为E、F,连接EF,M、N分别是 BC、EF的中点， (1)求证：MN⊥EF. (2)若∠A=80°，求∠EMF的度数. 类型二作平行线构造 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点F在AC的延长线上，且BD=CF,连接 DF交BC于点E.求证：DE=FE. 类型三作延长线构造 3.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E,连接CE.若△ABC的面积为 6cm2,则△AEC的面积为 cm2. 4.如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且ED=EC,过点D作DF∥BA,交AE于点F,AE 平分∠BAC.求证：DF=AC. 50》 第2章轴对称图形 5.如图，在R1△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D,CE⊥BD,垂 足为E.求证：BD=2CE. 类型四截长补短 6.如图，已知∠C=90°，AB⊥AC,BD交AC于点E,∠ADE=2∠EDC.求证：BE=2AD. 7.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,且AB十BD=DC,求∠C的度数. 8.如图，在△ABC中，AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD=60°.求证：CD= AB-BD. 51DE-号BD=2.∠EAD=∠EDA,∠BCD-∠EDC. .∠BAE=∠GAE,∠AEB=∠AEG=90.又'AE=AE, .△AEB≌△AEG(ASA),∴.EB=EG,.SAAE=S△E: :∠AEB=∠EAD+∠EDA,∠BEC=∠ECD+∠EDC. ∴∠AEB=2∠EDA,∠BEC=2∠EDC.:∠ADC=45”, SacE=SAaE,Sam=2SAA.”△ABC的面积为 ·∠AEC=∠AEB+∠BEC=2∠EDA+2∠EDC=6cm',∴.△AEC的而积为3em'. 2∠ADC=90,5a=AE·CE=是×2X2=2 9.(1)证明：连接BD.∠ABC=90°，AB=BC,D为AC的 中点，∠A=∠C=45,BD=号AC=AD,∠DBF D 号∠AC=45,∠A=∠DBF,在△ADE和△BDF中， AE-BF. (第3题) (第4题) ∠A=∠DBF,∴.△ADE≌△BDF(SAS),.DE=DF 4.证明：如图，延长FE到点G,使EG=EF,连接CG.在 AD=BD. (ED=EC. (2):AB=BC,D为AC的中点，.BD⊥AC,即∠ADB= △DEF和△CEG中， ∠DEF=∠CEG,∴△DEF≌△CEG 90°，.∠ADE+∠BDE=90°.'△ADE≌△BDF,∴.∠ADE= EF=EG. ∠BDF,.∠BDF+∠BDE=90,即∠EDF=90.又.DE= (SAS),DF=CG,∠DFE=∠G.'DF∥AB,.∠DFE DF,.∠DEF=45. ∠BAE,.∠BAE=∠G.,·AE平分∠BAC,∴.∠BAE 专题二构造等腰三角形解决问题 ∠CAE,.∠G=∠CAE,.CG=AC,.DF=AC,5,证明： 1.(1)证明：如图，连接下M、EM.,CF⊥AB,BE⊥AC, 如图，分别延长BA,CE交于点F.:BD平分∠ABC, ∴∠CFB=∠CEB=90,:M是BC的中点，∴.BM=FM= .∠FBE=∠CBE.CE⊥BD,∴∠BEF=∠BEC=9O°.又 BE=BE,.△BEF≌△BEC(ASA),.EF=EC,.CF= 2BC,CM=EM=2BC,FM=EM.又：N是EF的中 2CE.又.'∠BAC=90°，.∠CAF=180°-∠BAC=180°- 点，，MN⊥EF.(2):∠A=80°，·∠ABC+∠ACB=90°=90°.∴.∠BAD=∠CAF,∠F+∠ACF=90',∠F+ 180-∠A=100,由(1)得，∠CEB=∠CFB=90°.在∠ABD=90°，·∠ACF=∠ABD.在△ABD和△ACF中， R△CEB中，M是斜边BC的中点，∴EM=CM=号BC.同理 ∠ABD=∠ACF, AB=AC. △ABD≌△ACF(ASA),.BD=CF, 可得FM=BM=号BC.∠BFM=∠ABC,∠CEM= ∠BAD=∠CAF, BD-2CE. ∠ACB,∴.∠BFM+∠CEM=1o0,∴.∠FMB+∠EMC= 360°-（∠ABC+∠ACB+∠BFM+∠CEM)=160°， ∴.∠EMF=180°-（∠FMB+∠EMC)=20. (第5题) (第6题) 6.证明：如图，取BE的中点F,连接AF.:AB⊥AC, M ∠BAC=90:F是BE的中点，AF=BF=号BE. (第1题) (第2题) .∠B=∠BAF.∠C=∠BAC=90°，∴.AB∥CD, 2.证明：如图，过点D作AF的平行线交BC于点G,则：∠B=∠EDC.又：∠AFD=∠B+∠BAF=2∠B, ∠FCE=∠DGE,∠DGB=∠ACB.,AB=AC,'.∠ABC= ∠ADE=2∠EDC,.∠AFD=∠ADE,.AD=AF, ∠ACB,.∠ABC=∠DGB,GD=BD.又：BD=CF, I∠DEG-∠FEC, AD=BE,BE=2AD.7.如图，在DC上截取DH, .GD=CF.在△DGE和△FCE中， ∠DGE=∠FCE,使得DH=BD,连接AH.BD=DH,AD⊥BH,,AB GD-CF. AH,,∠B=∠AHD.AB+BD=DC,DC=DH+CH, ∴△DGE≌△FCE(AAS),.DE=FE.3.3解析：如图，.CH=AB=AH,.∠C=∠HAC.设∠C=x°，则∠B 延长BE交AC于点G.,AD为∠BAC的平分线，BE LAD,∠AHB=(2x)°，∠B+∠C+∠BAC=180°，.2x+x+ 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·18- 120=180.解得x=20.即∠C=20° 70°，即顶角是70°：当高在三角形外部时（如图2），由题意得 ∠ABD=20°，.∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°= 110°，即顶角是110°. H (第7题) (第8题) 图I 图2 8.证明：如图，延长BD到点E,使BE=BA,连接AE.CE BE=BA,∠ABD=60°，.△ABE为等边三角形.AE=8,B解析：本题可分两种情况.①当腰长为7时，底边长为 BE=AB=AC.∠AEB=6O,·.∠ACE=∠AEC. 29一2×7=15，而7十7<15，不符合三角形的三边关系定理， :∠AEB=∠ACD=60,·∠AEC-∠AEB=∠ACE一放此种情况不成立，②当底边长为7时，此时腰长为(29 ∠ACD,即∠DEC=∠DCE,:CD=DE,∴BD+CD=7)÷2=11,经检验，符合三角形的三边关系定理.综上所述， BD+DE=BE=AB...CD=AB-BD. 这个等腰三角形的底边长为7.9.8或12解析：设腰长为 江苏中考新考法一轴对称图形 x①若12是腰长与腰长的一半的和，则x十交r=12,解得 L.39°解析：由折叠可知，∠BAE=∠BAE,∠D'AF= ∠DAF,.∠BAB=∠B'AE+∠BAE=2∠B'AE, =8,此时底边长为18-之=14：88,14能组度三角形。 ∠DAD'=∠D'AF+∠DAF=2∠D'AF.又：在长方形 ABCD中，∠BAD=90..∠BAB'+∠DAD'-∠B'AD'= 符合题意：©若18是腰长与腰长的一半的和，则十7： 90,即2∠BAE十2∠DAF1290,5∠AE十18，解得x=12,此时，底边长为12-号=612,12.6能组酸 ∠D'AF=5I°，.∠EAF=∠B'AE+∠D'AF-∠B'AD'= 三角形，符合题意，综上所述，这个等腰三角形的腰长为8或 51”-12=39,2.B解析：：∠ABC=52°，∴∠BMN+ ∠BNM=128.:点M在PA的垂直平分线上，点N在PC 12.10.12解析：如图，延长BD交AC于点E.,AD平分 ∠BAE,AD⊥BD,.∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE= 的垂直平分线上，∴.PM=AM,PN=CN,∴.∠MAP= ∠MPA,∠PCN=∠CPN.'∠BMN=∠MAP+∠MPA, [∠BAD=∠EAD, 90°.在△ABD和△AED中，{AD=AD. .△ABD≌ ∠BNM=∠CPN+∠PCN,&∠MPA-号∠BMN, ∠BDA=∠EDA, ∠CPN=号∠BNM,∴∠MPA+∠CPN=(∠BMN+ △AED(ASA),∴.BD=ED,.SAAm=SAAm,Saae= S&2xe,,S△AHD十SAx=S△D十S△rrC=S△A2x, ∠BNM)=号X128=6,∠APC=180-(∠MPA+ 六S△=2S6um=2X24=12(m), ∠CPN)=180°-64"=116.3.B解析：：AB,AC的垂直 平分线相交于点F,∠DFE=70°，.∠BAC=360°一90° 90°-70°=110°，.∠B+∠C=180°-∠A=180°-110°= 70°.：AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E两点， ,.BD=AD,CE=AE,..∠DAB=∠B,∠EAC=∠C ∴∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=T0..∠DAE=∠BAC (∠DAB+∠EAC)=110°-70°=40°.4.B解析：：MN (第10题) (第11题) 是线段AB的垂直平分线，，BN=AN,:BC十CN+BN= 1L.3解析：如图，延长AE交BC于点F,:BD平分 7cm,.BC+AN十CN=7cm,即BC+AC=7cm,.BC= ∠ABC,.∠ABE=∠FBE.:AE⊥BD,∴.∠AEB= 3cm.5.10解析：：AF垂直平分BD,DE垂直平分BC, ∠AEB=∠FEB, AD=3,DC=4,..AB=AD=3.DB=DC=4,CAAMD= ∠FEB=90°.在△ABE和△FBE中，{BE=BE, AB+AD+DB=3十3+4=10.6.B解析：当80是等腰三 L∠ABE=∠FBE, 角形的顶角时，底角为号×(180°-80)）=50，当80是等腰三 .△ABE≌△FBE(ASA),.AE=FE,BF=BA=4, 1 角形的底角时，顶角为180°-80°×2=20°，符合题意.综上所 六∠BAF=∠BFA=2(180°-∠ABC)=2×(180 述，等腰三角形的底角为50或80°.7.70或110°解析：当64)-58°.又：∠C=29°，.∠CAF=∠BFA一∠C=58° 高在三角形内部时（知图1），由题意得∠ABD=20,∠A=29°=29°，·∠CAF=∠C,.AF=CF.:BC=10,CF= 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·19-