3.4-3.5 平面图形、最基本的图形-点和线（4个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

3.4平面图形与3.5最基本的图形-点和线 课程标准 学习目标 ①了解从物体抽象出来的平面、点、线等概念； ②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； ③掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短； ④理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 1．会判断一个图形是平面图形还是立体图形，掌握多边形的有关知识； 2．理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示，会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； 3. 掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短； 4. 理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 知识点01多边形的有关概念 1.我们已经认识到立体图形是由平面图形所围成的，因此研究立体图形往往从平面图形开始. 如图所示，三角形、长方形和圆是我们早就熟悉的图形.圆是由曲线围成的封闭图形.而上面的其他四个图形是由线段围成的封闭图形. 多边形的概念：我们把由线段围成的封闭图形叫做多边形. 多边形的标志：①线段围成；②封闭图形. 按照组成多边形的边的个数，有三角形、四边形、五边形、六边形……等等. 把多边形的任意一条边向两边延长，若多边形都在直线的一侧，则这个多边形是凸边形. 有一条或一条以上边所在的直线把多边形分成两部分，则这个多边形是凹边形. 注意圆不是多边形：（1）圆是由曲线围成的封闭图形；（2）多边形是由线段围成的封闭图形. 2．多边形与三角形的关系 从一个n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与它不相邻的顶点，可以将n边形分割成（n-2）个三角形. 我们把一个顶点与其余的不相邻的顶点连接起来的线段叫做这个多边形的对角线. 如图所示，四边形从一个顶点出发只有1条对角线，把四边形分成2个三角形；五边形从一个顶点出发有2条对角线，把五边形分成3个三角形；六边形从一个顶点出发有3条对角线，把五边形分成4个三角形……以此类推. 在n边形内任意取一点，将这一个点与各个顶点分别连接，可以将多边形分割成n个三角形. 如图所示，如果按这种方法分割多边形，四边形可以分割成4个三角形；五边形可以分割成5个三角形；六边形可以分割成6个三角形……n边形可以分割成n个三角形. 在n边形的一条边上任找一点（顶点除外），将该点与各顶点连接，这种方法可以把n边形分割成（n-1）个三角形. 如图所示，如果按这种方法分割多边形，四边形可以分割成3个三角形；五边形可以分割成4个三角形；六边形可以分割成5个三角形……n边形可以分割成（n-1）个三角形. 【即学即练1】 （23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是___________边形． 【答案】三、四、五 【分析】本题主要考查多边形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 故答案为：三、四、五． 知识点02 线段、射线、直线的概念及表示方法 1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下： （1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线. （2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 【点拨】 （1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短． （2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小. （3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小. （4）线段、射线、直线都没有粗细． 2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示. 【点拨】 （1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线； ( 图 4 ) 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． ( 图 5 ) （2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 3.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图示 表示方法 线段AB或线段a 射线OA或射线a 直线AB或直线a 端点 两个 一个 无 长度 可度量 不可度量 不可度量 延伸性 不向两方延伸　 向一方无限延伸 向两方无限延伸 【即学即练2】 （22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的定义．根据直线，射线，线段的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．直线和直线是同一条直线，故本选项错误，不符合题意； B．直线没有端点，故本选项错误，不符合题意； C．射线和射线是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； D．点在线段上，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 知识点03 基本性质 1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 【点拨】 （1）点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O； ②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P. （2）两条不同的直线相交只有一个交点. 2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． ( 图 7 ) 【点拨】 （1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 【即学即练3】 （23-24七年级下·广西桂林·开学考试）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】C 【分析】此题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可解答． 【详解】解：根据两点确定一条直线，可使每一层砖在一条直线上． 故答案为：C． 知识点04 比较线段的长短 1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 【点拨】 几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段. 2.线段的比较： （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图： 3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 【点拨】 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【即学即练4】 （23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知线段，，求作线段，使线段    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，作射线，A以点为端点，以线段a的长为半径画弧交射线于B，再以B点为端点，在射线上以线段a的长为半径画弧交射线于C，接着以C点为端点，线段b的长为半径在射线上画弧交射线于点D，则即为所求线段． 【详解】解：如图所示，线段即为所求线段．   【即学即练5】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， 如图1，当点在点右侧， ∵， ∴， ∴； 如图2，当点在点左侧， ∵， ∴， 故的长为4或10， 故选：D． 题型01 平面图形及多边形的有关概念 【典例1】（21-22七年级上·全国·课后作业）下列各组图形都是平面图形的一组是（    ） A．线段、圆、圆锥、球 B．角、三角形、长方形、圆柱 C．长方体、圆柱、棱锥、球 D．圆、三角形、正方形、长方形 【答案】D 【分析】根据平面图形定义：一个图形的各部分都在同一个平面内的图形是平面图形可得答案． 【详解】解：A．圆锥、球是立体图形，不是平面图形，故此选项错误； B．圆柱是立体图形，不是平面图形，故此选项错误； C．长方体、圆柱、棱锥、球都是立体图形，不是平面图形，故此选项错误； D．圆、三角形、正方形、长方形都是平面图形，故此选项正确． 故选D． 【点评】此题主要考查了平面图形，关键是掌握平面图形的定义． 【变式1】（23-24七年级上·广西崇左·阶段练习）下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了生活中的几何图形，解题的关键是熟练掌握立体图形和平面图形的定义． 【详解】解：三角形、正方形是平面图形，正方体和球是立体图形，因此平面图形有2个，故B正确． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　 　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可． 【详解】解：①②④是平面图形，③⑤⑥是立体图形， 故选：A． 【变式3】（2023八年级下·浙江·专题练习）如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为E，F，G，H的四个图形，则剪前与剪后拼接的图形的对应关系是：A与_____对应，B与_____对应，C与_____对应，D与_____对应． 【答案】G E F H 【分析】根据各图形组成的特征找出对应关系．本题考查了图形的剪拼，解题的关键是找到各图形间的组合关系． 【详解】解：A剪开后是三个三角形， B剪开后是两个直角梯形和一个三角形， C剪开后是一个直角三角形和两个四边形， D剪开后是两个三角形和一个四边形， 因而，A与G对应，B与E对应，C与F对应，D与H对应． 故答案为：G，E，F，H． 题型02 用七巧板拼图 【典例2】（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，用一块正方形厚纸板做了一套七巧板，现用它拼出一座桥（如图），那么这座桥的阴影部分面积占正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面图形的认识．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分面积占正方形面积的．故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第①块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第③块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，解题的关键是了解七巧板，（七巧板是由五块等腰直角三角形两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第①块的倍，选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，选项不符合题意； 第③块的面积是整个面积的，选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，选项不符合题意， 故选∶． 【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查了利用七巧板拼图形，由七巧板的规律可得，，，由此计算即可得出答案，熟练掌握七巧板的规律是解此题的关键． 【详解】解：由七巧板的规律可得： ，，， ∵左边图形中正方形的面积为32， ∴， 故选：A． 【变式3】（2024·陕西·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又， ∴，故答案为：3． 题型03 点、线段、射线、直线的概念及表示方法 【典例3】（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过一点P只能作一条直线 B．直线和直线表示同一条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线a比直线b短 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线、直线，理解线段、射线、直线的定义及表示方法是正确解答的前提．根据线段、射线、直线的定义及表示方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A．过一点可以作无数条直线，因此选项A不符合题意； B．直线和直线表示同一条直线，因此选项B符合题意； C．射线和射线，他们的端点不同，不是同一条射线，因此选项C不符合题意； D．射线、直线无限长，因此不能比较射线与直线的长短，所以选项D不符合题意． 故选：B． 【变式1】（22-23六年级下·山东东营·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线可以度量 B．直线比射线长 C．延长线段到点 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的定义可判断选项是否符合题意． 本题考查了直线、射线、线段的定义，关键是掌握直线、射线、线段的定义． 【详解】解：A、直线长度无法度量，故选项不符合题意； B、直线和射线都无法度量，故选项不符合题意； C、延长线段到点，说法正确，故选项符合题意； D、射线与射线端点不同，不是同一条射线，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2024·河北石家庄·模拟预测）下列各图中，表示“射线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义，射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线仅有一个端点，无法测量，射线是指端点在点A上，据此即可作答． 【详解】解：依题意， 射线是指射线的端点在点A上． 故选：B． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．延长直线 B．延长射线 C．反向延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，注意用两个字母表示射线时，端点的字母放在前边．根据直线、射线、线段的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．延长直线，说法错误，不符合题意； B．延长射线，说法错误，不符合题意； C．反向延长射线，说法正确，符合题意； D．延长线段到点，则，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 题型04 直线、射线、线段的数量问题 【典例4】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（    ）条线段． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的计数，掌握线段的定义是解答本题的关键． 根据线段的定义即可求解． 【详解】解：这个点可以构成：（条）， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的条数．先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可． 【详解】解：上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段4条． 共计21条． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有______条线段． 【答案】 【分析】本题考查线段的概念，图形数字规律，根据表中规律即可求解，找到线段的组成规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知：个点时：， 个点时：， 个点时：， 个点时：， …， 个点时：线段数， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【分析】本题考查了线段条数计算、角的个数计算及其拓展等知识，注意数数时要不重不漏． 当直线上有4个点时，以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，所有线段都重复了一次，则可得线段为；直线上有5个点时，同理得线段条数；同理有个点时，得线段条数； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，由上步所求即可求解； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花时间的最短；有个机器人，分n是偶数与奇数两种情况考虑即可； （3）仿照一条直线4个点的线段条数分析即可； （4）横向每行仿照一条直线上6个点的线段条数有15个长方形，纵向列仿照一条直线上5个点的线段条数共有10个长方形，从而由即可求得长方形的个数． 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条； 故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． 题型05 画直线、射线、线段 【典例5】（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线；(2)画射线；(3)连接B，C；(4)线段和线段相交于点O． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作图，作直线，射线，线段，以及两线段的交点等作图知识． （1）过点A、B作直线，要向两方延伸； （2）过B、D作射线，向D点方向延伸，B点方向不延伸∶ （3）就是作线段； （4）连接、交点标注为O； 【详解】（1）解：直线如下图所示： （2）解：射线如下图所示： （3）解：线段如下图所示： （4）解：线段和线段相交于点O如下图所示： 【变式1】（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）如图，已知三点，，， (1)画射线；(2)画直线；(3)连接，并延长线段至点，使； 【答案】见解析． 【分析】本题考查了作图−−复杂作图、直线、射线、线段，解决本题的关键是根据语句准确画图． （1）根据射线的特征作图即可； （2）根据直线的特征作图即可； （3）画线段，并延长，画． 【详解】（1）解：如图，射线为所求； （2）解：如图，直线为所求； （3）解：如图，点即为所求． 【变式2】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知点、、、，请按下列要求作图并解答． (1)连接；(2)画射线；(3)在射线上取点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画线段，画射线，线段的尺规作图： （1）根据线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）根据线段的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）解；如图所示，即为所求． 【变式3】（23-24七年级上·安徽六安·期末）A、B、C、D四点的位置如图所示，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)画线段和射线； (2)在射线上作线段，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查直线，射线及线段，解题的关键是理解直线、射线、线段的定义． （1）利用直线、射线、线段的定义画出图形即可； （2）以点为圆心，分别以为半径作弧分别交于点就是所求的线段； 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图，以点为圆心，分别以为半径作弧分别交于点， ， ， 则线段即为所作． 题型06 直线相交的交点个数问题 【典例6】（2023·安徽·模拟预测）如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是相交线的运用，关键是理解题意并能把实际问题转化成数学问题来解决． 【详解】条直线最多有个交点， 在5条相交的笔直小道的所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，最多需要10个垃圾桶，即最多应增加的环保垃圾桶的数量为，故选B． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线的交点，数字变化规律问题，先根据交点个数随着直线条数的变化得出规律，进而得出答案． 【详解】根据题意可知在同一平面内， 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 10条直线相交最多有个交点． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了直线的交点个数问题，根据题意画图讨论其交点情况，即可解题． 【详解】解：根据题意画图：    有1个交点，故A项有可能，不符合题意；    有5个交点，故C项有可能，不符合题意；    有6个交点，故D项有可能，不符合题意； 它们的交点不可能有2个，故选：B． 【变式3】（22-23六年级下·山东泰安·期中）在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线相交的问题，熟练掌握相交是解题的关键．根据领直线平行和相交的定义作出图形即可得到答案． 【详解】解：若三条直线均平行，故交点个数为； 若三条直线交于一点，此时交点个数为； 若两条直线平行，第三条直线与这两条直线相交，此时交点个数为； 若三条直线两两相交，此时交点个数为． 故选A． 题型07 直线与线段的基本性质 【典例7】（24-25七年级上·全国·课后作业）挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是（    ）． A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【答案】B 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键；经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线； 根据两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是：两点确定一条直线， 故选： 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 【答案】B 【分析】此题主要考查了线段的性质，直接利用两点之间线段最短分析即可得出答案． 【详解】解：①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，不能用“两点之间线段最短”来解释， ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，可用“两点之间线段最短”来解释． 故选：B． 【变式2】（22-23六年级下·山东泰安·期中）根据生活经验，我们发现：把一根细木条固定在墙上，至少需要（    ）个钉子． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线，即可解答． 【详解】解：据生活经验，我们发现：把一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，两个村庄在一条河（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到两个村庄的距离之和最小，在图中画出点C的位置． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．利用两点之间线段最短进而分析得出答案． 【详解】解：根据两点之间，线段最短，如图所示，连接与直线的交点C即为所求码头的位置． 题型08 作线段（尺规作图） 【典例7】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知线段和外一点C． (1)画线段，直线． (2)用尺规在线段上作出点D，使．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段、直线的定义，尺规作一条线段等于已知线段，解题的关键是熟练掌握定义和线段的画法． （1）根据线段，直线的定义进行求解； （2）根据尺规作一条线段等于已知线段的方法，画图即可． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求． （2）解：如图，线段即为所求作的线段． 【变式1】（22-23七年级上·山东潍坊·阶段练习）尺规作图（不写画法，保留画图痕迹） 已知线段a，b，且，求作一条线段，使．   【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，先作射线，再截取，，则线段即为所作． 【详解】解：如图，线段即为所作， ． 【变式2】（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，已知线段a、b，用尺规做一条线段c，使（保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本复考查了作图-复杂作图：杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画一条直线l，在l上找一点A，以A为圆心，线段a的长为半径画圆交直线于B点，再以B为圆心，以线段b的长为半径画圆，交l于点C（C在外），则线段即为所求． 【详解】解：如图所示： 【变式3】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）已知：线段a、b．求作：线段．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】此题考查了作图—线段，先作射线，以点A为圆心，a为半径，在上顺次截取，在线段上以点E为圆心，b为半径，截取，即可得到线段． 【详解】解：如图，线段即为所求      题型09 线段的计算 【典例9】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点，一元一次方程与线段数量关系的计算，掌握线段中点，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，由即可求解； （2）设，则，根据题意可得，，解得，由此即可求解的长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，线段，点N在上，是的中点，则________． 【答案】3 【分析】根据是中点，先求出的长度，则．本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差，根据点是中点先求出的长度是解本题的关键． 【详解】解：，是中点， ， 又， ． 故答案为：3． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 【答案】线段的长为5或1． 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在点B的右侧时，当点C在点B的左侧时，两种情况先求出，再根据线段的和差关系求出的长，进而根据线段中点的定义求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图①，当点C在点B的右侧时，∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴． 如图②，当点C在点B的左侧时， ∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴， 综上所述，线段的长为5或1． 【变式3】（22-23七年级下·浙江·开学考试）如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分计算是解决本题的关键． 根据，，将未知线段都转化成已知线段，代入数值即可求出的长． 【详解】解：， ， 而是线段的中点， ， 又， ， ， ， 故线段的长为cm． 题型10 与线段有关的动点问题 【典例10】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米；(2)；(3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，，解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 【变式1】（21-22七年级上·福建龙岩·期末）已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)2cm；(2)见解析；(3)或 【分析】（1）根据运动的时间为2s，结合图形可得出，，即可得出，再由，即得出AC+MD的值； （2）根据题意可得出，．再由，可求出，从而可求出，即证明； （3）①分类讨论当点在线段上时、②当点在线段的延长线上时和③当点在线段的延长线上时，根据线段的和与差结合，即可求出线段MN和AB的等量关系，从而可求出的值，注意舍去不合题意的情形． 【详解】（1）∵时间时， ，， ∴ ； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ，这种情况不可能， 综上可知，的值为或． 【点评】本题考查线段的和与差、与线段有关的动点问题．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；；(2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为； (1)则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到三点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时的范围是______； ②代数式的最小值是______，此时的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】(1)6，，x,；(2)①点A和点B之间；②点B上；(3)①7，②；③ 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离最值问题，掌握数轴上两点之间的距离公式、绝对值的性质是解题的关键． （1）探索材料1（填空）：根据给出的材料填写即可； （2）探索材料2（填空）：分情况讨论点P的位置，使点P到其他点的距离之和最小； （3）结论应用（填空）：根据探索材料2得出的结论填写即可． 【详解】（1）∵ 故答案为： （2）①（i）当点P在点A左边时， （ii）当点P在点A与点B之间时， （iii）当点P在点B右边时， ∴当点P在点A和点B之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． 故答案为：点A和点B之间 ②（i）当点P在点A左边，， （ii）当点P在点A和点B之间，， （iii）当点P在点B和点C之间， （iv）当点P在点C右边， ∴最小值为，当点P在点B上时，值最小为 ∴当点P在点B上时，才能使P到A，B，C三点的距离之和最小 故答案为：点B上． （3）①由探索材料2得，当时，有最小值，最小值为 ②由探索材料2得，这是在求点x到三个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 ③由探索材料2得，这是在求点x到四个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 故答案为：①②③ 1．（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·广东清远·期中）将一块木板钉在墙上，我们至少需要个钉子将它固定，这是因为（    ） A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段和直线的性质．掌握好几何的基本定理，并会利用基本定理，解决实际问题．根据两点确定一条直线即可． 【详解】解：将一块木板钉在墙上，我们至少需要个钉子将它固定，这是因为两点确定一条直线， 故选；A． 3．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 【答案】C 【分析】本题考查了线段的数量问题，由题意可知：由第一站点分别要经过4个不同的站点，所以要4种车票；由第二站点要经过3个不同的地方，所以要制作3种车票；依此类推，则分别要制作的车票种数为4，3，2，1种．由于同一条线路的起点和终点是可以变化的，所以同一线路对应2种车票． 【详解】解：由题意，得：这段铁路上的火车票价共有种． 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列三个生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中，可用基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”来解释的现象有（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，从两点之间起到的作用，用途出发，试想一个点会不会达到如此的效果即能判断．①根据两点确定一条直线的性质即可求解；②对，两点之间线段最短，减少了距离；③对，两点之间线段最短，减少了距离． 【详解】解：①属于两点确定一条直线的性质，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线架设，是两点之间，线段最短，符合题意； ③两点之间线段最短，减少了距离，符合题意．故选：C． 5．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【详解】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 6．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知线段，延长线段至，使得，延长线段至，使得，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查线段的数量关系，线段的和与差，先求出的长，再利用线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 故选C． 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 8．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　 　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 9．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，给出下列语句：①直线l经过点A和点B；②点A和点B都在直线l上；③直线l是A，B两点所确定的直线；④线段是直线l的一部分．其中能正确表达出图形特点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直线和点的表示方法，直线的性质，掌握直线的表示方法是解题的关键．根据直线与点的表示方法以及直线的性质即可解答． 【详解】解：①直线l经过点A和点B，能正确表达出图形特点； ②点A和点B都在直线l上，能正确表达出图形特点； ③因为两点确定一条直线，所以直线l是A，B两点所确定的直线，能正确表达出图形特点； ④线段在直线l上，即是线段是直线l的一部分，能正确表达出图形特点． 综上分析可知，能正确表达出图形特点的有4个． 故选：D． 10．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 11．（2023·江西新余·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积，则图中标有5的正方形的面积的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又， ∴， 故答案为：． 12．（20-21七年级上·辽宁抚顺·期末）下列图形：①线段，②角，③三角形，④球，⑤长方体．其中是________平面图形．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平面图形和立体图形的定义：所有点都在一个平面内的图形叫做平面图形，各部分不都在同一个平面内的图形。得出判断即可． 【详解】解：①线段，②角，③三角形是平面图形，而④球，⑤长方体是立体图形， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握立体图形和平面图形的区别与联系是正确判断的前提． 13．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成________个部分． 【答案】 【分析】本题考查的是简单的规律探究，先例举1条直线最多将平面分成2个部分；而，2条直线最多将平面分成4个部分；而，3条直线最多将平面分成7个部分；而，再总结归纳可得答案． 【详解】解：如图所示，    1条直线最多将平面分成2个部分；而， 2条直线最多将平面分成4个部分；而， 3条直线最多将平面分成7个部分；而， 平面上有8条直线，最多能把平面分成； 故答案为： 14．（22-23七年级上·河南开封·期末）直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有________．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 15．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）P为线段上一点，且，M是的中点，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点，根据线段中点的定义得到，从而根据线段的和差得到，即，即可解答． 【详解】解：如图，    ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，线段，延长到点C，使为的中点，则________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，进而得到，再根据线段中点的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， 故答案为：6． 17．（14-15七年级·浙江杭州·单元测试）同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，和差运算，根据题意，由点为中点，，可得的值，图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或． 18．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，4条直线两两相交，最多有________个交点，10条直线两两相交，最多有________个交点． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是相交线，得到在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点是解题的关键． 【详解】解：解：三条直线两两相交交点数， 四条直线两两相交交点数， 五条直线两两相交交点数， 由此推出n条直线两两相交交点数． ∴10条直线两两相交，最多有， 故答案为：，． 19．（23-24七年级上·全国·期末）线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键． 根据已知分别得出的长，即可得出线段的长． 【详解】解：∵线段，延长到C，使，再反向延长到D，使， ∴， ∴， ∴，故答案为：． 20．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为________． 【答案】40或80 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 21．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知四点A，B，C，D，按下列要求作图： (1)连接，交于点O； (2)作射线，射线； (3)反向延长射线交射线于点P； (4)图中有几条线段？几条射线？几条直线？ 【答案】(1)(2)(3)见解析；(4)有线段共条，射线条，直线条 【分析】本题考查了复杂作图，掌握直线、线段和射线的意义是解题的关键. （1）（2）（3）根据射线的特点作图；（4）根据线段、直线、射线的意义求解. 【详解】（1）如图：线段，点即为所求； （2）如图：射线即为所求； （3）点即为所求； （4）图中有线段共条，射线条，直线条. 22．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，已知点，，，．按要求画图（保留作图痕迹）． (1)连接，作射线，并在射线上截取； (2)画点P，使的值最小； (3)画点E，使点E既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)(2)(3)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解此题的关键． （1）连接，作射线、线段即可； （2）连接、相交于点，点即为所求； （3）作直线、交于点． 【详解】（1）解：如图，线段、射线、线段即为所作； （2）解：如图，点即为所作， （3）解：如图，点即为所作， 23．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 24．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图所示，已知，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长．请补充完成下列解答： 解：因为是线段的中点，， 所以　　　　． 因为， 所以　　　　． 所以　　　　　　　　． 【答案】，12，，8，，12，8，20 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出，线段的比得出是解题关键．根据线段中点的性质，可得，根据线段的比，可得，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：是线段的中点，， ． ， ． ， ， 故答案为：，12，，8，，12，8，20． 25．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算以及图形中线段的和差关系，根据图形找准线段间的关系是解答本题的关键． （1）根据线段中点定义以及图形中，计算即可； （2）根据线段中点的定义以及图形中进行计算即可． 【详解】（1），， D为中点， （2）点D为中点， 点E为中点， ， 26．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点P是线段上的一点，点M，N分别是线段的中点．    (1)如图①，若点P是线段的中点，且，则线段长_____，线段长______； (2)如图②，若点P是线段上的任意一点，且，求线段的长． 【答案】(1)20；10；(2)． 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）根据线段中点的定义得到，则，，再由线段中点的定义得到，则； （2）根据线段中点的定义得到，则可得． 【详解】（1）解：∵点M是的中点，， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴． 27．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【答案】（1）3（2）6（3）（4）B 【分析】（1）（2）直接利用线段的定义即可得到结论． （3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答． （4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答． 此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】解：（1）直线上有、、，线段总条数是：，故答案为：3； （2）若直线上有四个点、、、，线段总条数是：，故答案为：6； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）解：（种，要为这次列车制作的单程火车票10种．故选：B． 28．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1；(2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 29．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求线段的长． (2)若为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请说明理由． (3)若在线段的延长线上，且满足，，分别是，的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)；(2)不变，，理由见解析；(3)，画图，理由见解析 【分析】（）由中点的定义可得，再由线段之间的关系得到，然后，代入即可； （）由（）得到的，然后把代入即可求解； （）同（）可以得到，代入已知即可； 本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （2）由（）可得， ∵， ∴； （3）如图， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．（21-22七年级上·福建泉州·期末）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值，②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 【答案】（1），；（2）①；②或1 【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得； （2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以； （3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得． 【详解】解：（1）根据题意知，，， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）①根据、的运动速度知：， ， ，即， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 又， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ， 又， ， ； 综上所述：或1． 【点评】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4平面图形与3.5最基本的图形-点和线 课程标准 学习目标 ①了解从物体抽象出来的平面、点、线等概念； ②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； ③掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短； ④理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 1．会判断一个图形是平面图形还是立体图形，掌握多边形的有关知识； 2．理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示，会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义； 3. 掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短； 4. 理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离。 知识点01多边形的有关概念 1.我们已经认识到立体图形是由平面图形所围成的，因此研究立体图形往往从平面图形开始. 如图所示，三角形、长方形和圆是我们早就熟悉的图形.圆是由曲线围成的封闭图形.而上面的其他四个图形是由线段围成的封闭图形. 多边形的概念：我们把由线段围成的封闭图形叫做多边形. 多边形的标志：①线段围成；②封闭图形. 按照组成多边形的边的个数，有三角形、四边形、五边形、六边形……等等. 把多边形的任意一条边向两边延长，若多边形都在直线的一侧，则这个多边形是凸边形. 有一条或一条以上边所在的直线把多边形分成两部分，则这个多边形是凹边形. 注意圆不是多边形：（1）圆是由曲线围成的封闭图形；（2）多边形是由线段围成的封闭图形. 2．多边形与三角形的关系 从一个n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与它不相邻的顶点，可以将n边形分割成（n-2）个三角形. 我们把一个顶点与其余的不相邻的顶点连接起来的线段叫做这个多边形的对角线. 如图所示，四边形从一个顶点出发只有1条对角线，把四边形分成2个三角形；五边形从一个顶点出发有2条对角线，把五边形分成3个三角形；六边形从一个顶点出发有3条对角线，把五边形分成4个三角形……以此类推. 在n边形内任意取一点，将这一个点与各个顶点分别连接，可以将多边形分割成n个三角形. 如图所示，如果按这种方法分割多边形，四边形可以分割成4个三角形；五边形可以分割成5个三角形；六边形可以分割成6个三角形……n边形可以分割成n个三角形. 在n边形的一条边上任找一点（顶点除外），将该点与各顶点连接，这种方法可以把n边形分割成（n-1）个三角形. 如图所示，如果按这种方法分割多边形，四边形可以分割成3个三角形；五边形可以分割成4个三角形；六边形可以分割成5个三角形……n边形可以分割成（n-1）个三角形. 【即学即练1】 （23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形去掉后，剩下的新图形是___________边形． 知识点02 线段、射线、直线的概念及表示方法 1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下： （1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线. （2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 【点拨】 （1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短． （2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小. （3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小. （4）线段、射线、直线都没有粗细． 2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示. 【点拨】 （1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线； ( 图 4 ) 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． ( 图 5 ) （2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 3.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图示 表示方法 线段AB或线段a 射线OA或射线a 直线AB或直线a 端点 两个 一个 无 长度 可度量 不可度量 不可度量 延伸性 不向两方延伸　 向一方无限延伸 向两方无限延伸 【即学即练2】 （22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 知识点03 基本性质 1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 【点拨】 （1）点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O； ②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P. （2）两条不同的直线相交只有一个交点. 2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． ( 图 7 ) 【点拨】 （1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 【即学即练3】 （23-24七年级下·广西桂林·开学考试）如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（   ） A．直线比曲线短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 知识点04 比较线段的长短 1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 【点拨】 几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段. 2.线段的比较： （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图： 3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 【点拨】 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【即学即练4】 （23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知线段，，求作线段，使线段    【即学即练5】 （24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 题型01 平面图形及多边形的有关概念 【典例1】（21-22七年级上·全国·课后作业）下列各组图形都是平面图形的一组是（    ） A．线段、圆、圆锥、球 B．角、三角形、长方形、圆柱 C．长方体、圆柱、棱锥、球 D．圆、三角形、正方形、长方形 【变式1】（23-24七年级上·广西崇左·阶段练习）下面几种图形中，平面图形的个数有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　 　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 【变式3】（2023八年级下·浙江·专题练习）如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为E，F，G，H的四个图形，则剪前与剪后拼接的图形的对应关系是：A与_____对应，B与_____对应，C与_____对应，D与_____对应． 题型02 用七巧板拼图 【典例2】（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，用一块正方形厚纸板做了一套七巧板，现用它拼出一座桥（如图），那么这座桥的阴影部分面积占正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第①块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第③块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，它由如图所示的七块板组成，可以拼成许多图形，右边图形是用左边图形中的3块拼成的小船．若左边图形中正方形的面积为32，则右边图形中小船的面积为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式3】（2024·陕西·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为_______． 题型03 点、线段、射线、直线的概念及表示方法 【典例3】（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过一点P只能作一条直线 B．直线和直线表示同一条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线a比直线b短 【变式1】（22-23六年级下·山东东营·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线可以度量 B．直线比射线长 C．延长线段到点 D．射线与射线是同一条射线 【变式2】（2024·河北石家庄·模拟预测）下列各图中，表示“射线”的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．延长直线 B．延长射线 C．反向延长射线 D．延长线段到点，使 题型04 直线、射线、线段的数量问题 【典例4】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（    ）条线段． A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【变式2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有______条线段． 【变式3】（24-25七年级上·全国·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 题型05 画直线、射线、线段 【典例5】（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线；(2)画射线；(3)连接B，C；(4)线段和线段相交于点O． 【变式1】（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）如图，已知三点，，， (1)画射线；(2)画直线；(3)连接，并延长线段至点，使； 【变式2】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知点、、、，请按下列要求作图并解答． (1)连接；(2)画射线；(3)在射线上取点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； 【变式3】（23-24七年级上·安徽六安·期末）A、B、C、D四点的位置如图所示，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)画线段和射线； (2)在射线上作线段，使． 题型06 直线相交的交点个数问题 【典例6】（2023·安徽·模拟预测）如图，公园里原来有三条相交的笔直小道，且在所有交叉路口处都放置了一个环保垃圾桶，现准备在此基础上再增加两条小道．如果仍在所有交叉路口处都放置一个环保垃圾桶，那么最多应增加的环保垃圾桶的数量为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）同一平面内的2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，10条直线相交最多有（   ）个交点． A．15 B．30 C．45 D．60 【变式2】（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）已知a、b、c、d是平面上的任意四条直线，它们的交点不可能有（    ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【变式3】（22-23六年级下·山东泰安·期中）在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是（    ） A．0或1或2或3 B．0或2或3 C．0或2 D．0 题型07 直线与线段的基本性质 【典例7】（24-25七年级上·全国·课后作业）挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，其中的数学道理是（    ）． A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 【变式2】（22-23六年级下·山东泰安·期中）根据生活经验，我们发现：把一根细木条固定在墙上，至少需要（    ）个钉子． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，两个村庄在一条河（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到两个村庄的距离之和最小，在图中画出点C的位置． 题型08 作线段（尺规作图） 【典例7】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知线段和外一点C． (1)画线段，直线． (2)用尺规在线段上作出点D，使．（保留作图痕迹） 【变式1】（22-23七年级上·山东潍坊·阶段练习）尺规作图（不写画法，保留画图痕迹） 已知线段a，b，且，求作一条线段，使．   【变式2】（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，已知线段a、b，用尺规做一条线段c，使（保留画图痕迹）． 【变式3】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）已知：线段a、b．求作：线段．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    题型09 线段的计算 【典例9】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，线段，点N在上，是的中点，则________． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 【变式3】（22-23七年级下·浙江·开学考试）如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 题型10 与线段有关的动点问题 【典例10】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【变式1】（21-22七年级上·福建龙岩·期末）已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【变式3】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为； (1)则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到的距离与到的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到三点的距离之和最小？ (3)结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时的范围是______； ②代数式的最小值是______，此时的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 1．（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 2．（23-24七年级上·广东清远·期中）将一块木板钉在墙上，我们至少需要个钉子将它固定，这是因为（    ） A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段 C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短 3．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一条火车线路上共有5个车站，则用于这条线路上的车票共有（　　　） A．10种 B．15种 C．20种 D．25种 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列三个生活、生产现象：①植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中，可用基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”来解释的现象有（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知线段，延长线段至，使得，延长线段至，使得，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 8．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　 　） A． B． C．或 D．或 9．（23-24六年级下·全国·假期作业）如图，给出下列语句：①直线l经过点A和点B；②点A和点B都在直线l上；③直线l是A，B两点所确定的直线；④线段是直线l的一部分．其中能正确表达出图形特点的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·江西新余·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积，则图中标有5的正方形的面积的值为________． 12．（20-21七年级上·辽宁抚顺·期末）下列图形：①线段，②角，③三角形，④球，⑤长方体．其中是________平面图形．（填序号） 13．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成________个部分． 14．（22-23七年级上·河南开封·期末）直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有________．（只填写序号）    15．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）P为线段上一点，且，M是的中点，若，则________． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，线段，延长到点C，使为的中点，则________． 17．（14-15七年级·浙江杭州·单元测试）同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为________． 18．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点，4条直线两两相交，最多有________个交点，10条直线两两相交，最多有________个交点． 19．（23-24七年级上·全国·期末）线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为________． 20．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为________． 21．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知四点A，B，C，D，按下列要求作图： (1)连接，交于点O； (2)作射线，射线； (3)反向延长射线交射线于点P； (4)图中有几条线段？几条射线？几条直线？ 22．（23-24七年级下·山东淄博·期中）如图，已知点，，，．按要求画图（保留作图痕迹）． (1)连接，作射线，并在射线上截取； (2)画点P，使的值最小； (3)画点E，使点E既在直线上，又在直线上． 23．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 24．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图所示，已知，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长．请补充完成下列解答： 解：因为是线段的中点，， 所以　　　　． 因为， 所以　　　　． 所以　　　　　　　　． 25．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 26．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点P是线段上的一点，点M，N分别是线段的中点．    (1)如图①，若点P是线段的中点，且，则线段长_____，线段长______； (2)如图②，若点P是线段上的任意一点，且，求线段的长． 27．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 28．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 29．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求线段的长． (2)若为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请说明理由． (3)若在线段的延长线上，且满足，，分别是，的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形．写出你的结论，并说明理由． 30．（21-22七年级上·福建泉州·期末）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空） （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC， ①求线段AM的值，②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$