第二十七章 相似（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第27章 相似（B卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A．B．C． D． 4．如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的相似比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．1： D．：1 5．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，D在边上，，，若的面积等于6，则的面积为（    ）    A． B．3 C． D．6 8．如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E，将矩形沿折叠，点B的对应点F恰好落在x轴上，则k的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如果，那么 ． 12．如图，，若，则 ． 13．某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影子长为米，与他相邻的一棵树的影子长为米，则这棵树的高度是 米． 14．如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于 ． 15．如图，是的中线，点E在边上，交于点F，如果，，那么的长度为 ． 16．如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ． ①；②；③；④． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 18．（8分）如图，在的网格图中，已知和点， (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 19．（8分）如图，已知点D、F在边AC上，点在边AC上，且，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 20．（8分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）求的长． （2）请利用上述数据，求出围墙的高度． 21．（8分）如图，．    (1)在上方求作求作一点E，连接使得（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 22．（10分）如图，在正方形中，点E在上，连接，将沿翻折得到，延长，分别交，于点H，G． (1)求证：； (2)若G为的中点，求的值． 23．（10分）如图，在矩形中，，．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为， (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由． 24．（12分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 25．（14分）如图1，在和中，，，，． (1)求证：； (2)已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27章 相似（B卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选B． 2．如果，那么下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了考查比例的性质．根据等式的性质，两边同除以6、，即可得出． 【详解】∵， ∴，， 故选：B． 3．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的相似比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．1： D．：1 【答案】D 【分析】根据网格可知，，可知相似比． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质，三角形的相似比就是对应边之比． 5．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明是解题的关键．根据题意可证明得到，然后代入数值即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ， ，即， 故选：D 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换问题，掌握性质及正确把握规律是解题的关键．直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标． 【详解】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得． 故选：D． 7．如图，在中，，D在边上，，，若的面积等于6，则的面积为（    ）    A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，首先根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解： ， ， ，， ， ． ， 的面积等于6， 的面积为：， 故选：A． 8．如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意； 当时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，故D错误，符合题意． 故选：D． 9．如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由矩形的性质可得，，，进而由勾股定理可得，根据垂线段最短可知当，即时，的值最小，由可得，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当，即时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 10．如图，矩形中，点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E，将矩形沿折叠，点B的对应点F恰好落在x轴上，则k的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】过点D作，根据反比例函数的性质，结合勾股定理，一线三直角相似模型解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一线三直角相似，熟练掌握性质，定理和模型是解题的关键． 【详解】解：过点D作，垂足为G，如图所示． ∵点，点A，C分别在x轴，y轴上，边，交函数的图象于点D，E， ∴，，． 又∵与关于直线对称，点F恰好落在x轴上， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， 即， 解得：． 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如果，那么 ． 【答案】 【分析】设 ，则 ，原式可化为 ，化简求值即可 【详解】解：∵， 设 ，则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例设出，是解题的关键． 12．如图，，若，则 ． 【答案】6 【分析】直接根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】， ． ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是关键． 13．某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影子长为米，与他相邻的一棵树的影子长为米，则这棵树的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，设这棵树高度为，根据同一时刻物高与影长成正比列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：设这棵树高度为米， 同一时刻物高与影长成正比， ， 解得， 故答案为：． 14．如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 15．如图，是的中线，点E在边上，交于点F，如果，，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．作为解题的关键．过D点作交于G点，如图，利用得到，则，所以，再利用得到，然后利用比例的性质求． 【详解】解：过D点作交于G点，如图，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 16．如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】由是绕点逆时针旋转得到的，得到，再由矩形的性质得出从而判断①；由，可得，从而判断②；由和，，得出，可以判断③；在线段上作，如图所示，连接，通过证明，得出是等腰直角三角形，可以判断④． 【详解】解：是绕点逆时针旋转得到的， ， ，，， 又四边形是矩形， ， ， 即， ， 即，故①正确； ， ， 即是直角三角形，而不是直角三角形，故②错误； 在和中， ， ， ， ，， ， 即，故③正确； 在线段上取并连接，如图， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 18．（8分）如图，在的网格图中，已知和点， (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：由（1）作图可得，，，． 19．（8分）如图，已知点D、F在边AC上，点在边AC上，且，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线分线段对应成比例，相似三角形的判定和性质： （1）利用平行线分线段成比例的推论即可得证； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（8分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进间地面F点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得．此外，测得：窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）求的长． （2）请利用上述数据，求出围墙的高度． 【答案】（1）（2）围墙的高度为 【分析】本题主要考查三角形相似的性质与判定，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据题意证明，，根据相似的性质即可得到答案． （2）利用（1）中信息，直接求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接． ， ． ．即． ． 同理，． ．即． ． 解得，． （2）由（1）知：，， ． ∴围墙的高度为． 21．（8分）如图，．    (1)在上方求作求作一点E，连接使得（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键． （1）尺规作的角平分线，以A为圆心，以长为半径画弧，与角平分线的交点E即为所求； （2）连接，由，，得，再证明，结合勾股定理的逆定理，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：    ∵， ∴， 由作图可知，， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵，由（1）可知垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，    由（1）知， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵,， ∴ ， ∴． 22．（10分）如图，在正方形中，点E在上，连接，将沿翻折得到，延长，分别交，于点H，G． (1)求证：； (2)若G为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．由对折可得，结合，证明，即可； （2）设．利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵将沿翻折得到， ， 四边形为正方形， ， ， ； ． （2）解：设． G为的中点， ． ， ， ， 解得， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．（10分）如图，在矩形中，，．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为， (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析 【分析】（1）利用即可求出答案，数形结合是解题的关键； （2）分两种情况分别列出方程，解方程并检验即可得到答案，利用相似三角形的性质列方程和分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当秒时，则，，，，， 由 （2）解：当点F在矩形的边上的边移动时，在和中，， ①若，即 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 所以当时， ②若即，解得 经检验，是分式方程的解且符合题意， 所以当时， ， 综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似． 24．（12分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能， 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念判断即可； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ∴是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①知， ，即． ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 25．（14分）如图1，在和中，，，，． (1)求证：； (2)已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或10 【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论； （2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论； ②当是以为腰的等腰三角形时，也是以为腰的等腰三角形，分两种情况，、当时，、当时，分别求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， ， ∴， ； （2）解：①，，， ， ， ， 即， 由（1）可知，， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， 即， ， 即与的函数关系式为； ②由（2）可知，， 当是以为腰的等腰三角形时，也是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： 、当时，， ，， ， ， ， ， 解得：； 、当时，， ， 解得：； 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$