第二十七章 相似（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第27章 相似（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（  ） A． B． C． D．2 3．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线，与边相交于点D，与边相交于点E，连结．下列说法不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（　　） A．外离 B．相交 C．外切 D．不能确定 6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为（　　）    A．  B．  C．   D．   7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　） A． B． C． D．2 8．如图，在中，于点，有下列条件：①；②；③；④．其中不能判断是直角三角形的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图①，在中，，沿折线A→B→C→A匀速运动一周，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长为，v与t的函数图象如图②所示，当恰好是的一条三等分线时，t的值为（　　） A．或5 B．或6 C．或5 D．或6 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿→→→方向匀速循环前行，当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 12．如图，在正方形网格图中，以为位似中心，若点是点的对应顶点，则点的对应顶点是点 ． ​ 13．如图，在小孔成像问题中，，，若物体的长为，则像的长是 ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 ．    15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8．若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 16．如图，在中，，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为 ．    三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 18．（8分）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 19．（8分）已知：如图，四边形是菱形，点分别在边上，连接交对角线于两点，且． （1）求证：； （2）若，求证： 20．（8分）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 21．（8分）如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 22．（10分）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 23．（10分） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 24．（12分）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 25．（14分）如图，是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点． (1)求证：； (2)连接，求的大小； (3)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27章 相似（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．已知，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、三角形的内角和定理．熟练掌握相似三角形的对应角相等，是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 3．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线，与边相交于点D，与边相交于点E，连结．下列说法不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作法得：垂直平分，再由线段垂直平分线的性质可得，，然后结合相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据作法得：垂直平分， ∴，， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，，， ∴，， ∴，，故A选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（　　） A．外离 B．相交 C．外切 D．不能确定 【答案】B 【分析】由勾股定理求出AC的长，再由△ADE∽△ACB，AD＝2CD，求出CD，BE的长，由两圆的半径和与CE的大小来判断圆的关系 ； 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC4， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵AD＝2CD， ∴， ∴BE，CD，DE＝2， ∴CE， ∵BE+CD，BE－CD ∴以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的性质；两圆外离时，两圆的半径和小于圆心距；两圆外切时，两圆的半径和等于圆心距；两圆相交时，两圆的圆心距小于半径和，大于半径差． 6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为（　　）    A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】解：根据等边对等角可得∠B=∠C=45°，且根据勾股定理可求得BC=， 然后可根据三角形的内角和可知∠BDE+∠BED=180°-∠B=135°， 由∠EDF=45°，可知∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=135°， 因此可得∠BDE=∠CDF，由两角对应相等的两三角形相似可得△BED∽△CDF， 然后根据相似三角形的性质可得， 再由BD=2CD可得BD=，CD=， 即，解得， 然后根据E，F分别在AB，AC上运动，可得0＜x≤3，0＜y≤3，可知D正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是由等腰三角形的性质和勾股定理证明两三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出y与x的关系式，然后根据取值范围确定图像即可． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】记AC与PQ的交点为O，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短；过O作BC的垂线P′O，则PO最短为P′O； 接下来可证明△P′OC和△ABC相似，进而利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【详解】解：记AC与PQ的交点为O. ∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4， ∴BC==5. ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO=QO，CO=AO， ∴PQ最短也就是PO最短. 过O作BC的垂线OP′. ∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°， ∴△CAB∽△CP′O， ∴， ∴OP′=， ∴则PQ的最小值为2OP′=， 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形. 8．如图，在中，于点，有下列条件：①；②；③；④．其中不能判断是直角三角形的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①可利用三角形内角和求得；②条件不足，无法求证；③由，可证得，再进行推导即可；④由得可证得，可得． 【详解】解：① ，故本命题成立，不符合题意； ②条件不足，无法求证，故本命题错误，符合题意； ③， ，(因为都有一个直角，斜边直角边成比例) ； ；故本命题正确，不符合题意； ④ ，故本命题成立，不符合题意； 故错误的有1个． 故选∶B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 9．如图①，在中，，沿折线A→B→C→A匀速运动一周，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长为，v与t的函数图象如图②所示，当恰好是的一条三等分线时，t的值为（　　） A．或5 B．或6 C．或5 D．或6 【答案】B 【分析】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，根据图②可知，，再根据是的三等分线，可以证明，求出的长，即可求出答案． 【详解】解：如图①,,是的三等分线， 根据图②可知， ， ， ， ， 同理 ， ， ， ， ， 解得：或 (负值舍去), ，， ∴当恰好是的一条三等分线时，的值为或. 故选:. 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D均在坐标轴上，，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿→→→方向匀速循环前行，当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易证四边形是菱形，结合勾股定理可求出，即说明智能机器人从点A出发沿→→→方向回到点A运动一圈所走路程是16个单位长度，需要．进而得出第2023秒时智能机器人在边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度．设第2023秒时，智能机器人在处，过点P作于点H，易证，得出，代入数据可求出，，进而可求出，即得出智能机器人所在点P的坐标为． 【详解】解：∵点A、B、C、D均在坐标轴上，，，，， ∴． ∵， ∴四边形是菱形， ∴． 在中，， ∴菱形的周长，即智能机器人从点A出发沿→→→方向回到点A运动一圈所走路程是16个单位长度，需要． ∵， ∴第2023秒时智能机器人在边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度． 设第2023秒时，智能机器人在处，如图，过点P作于点H， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴智能机器人所在点P的坐标为． 故选C． 【点睛】本题考查点坐标规律探索，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质等知识．理解第2023秒时智能机器人在边上，且距离点D有3个单位长度，距离点C有1个单位长度和正确作出辅助线是解题关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12．如图，在正方形网格图中，以为位似中心，若点是点的对应顶点，则点的对应顶点是点 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，先求出相似比，根据勾股定理求出的值，再利用位似变换的性质解答即可． 【详解】解：令正方形网格中每个小格的边长为 ， 与其位似图形的相似比为， 点的对应点是点 故答案为：． 13．如图，在小孔成像问题中，，，若物体的长为，则像的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，在小孔成像问题中可得，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，小孔成像问题可得， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：8． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为 ．    【答案】（2，2） 【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，利用相似三角形的判定与性质求得OD和CD即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴OA=2，OB=1， 由旋转性质得：AB=BC，即点B是A、C的中点， 过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥OB， ∴△AOB∽△ADC， ∴， ∴OD=2，CD=2， ∴点C坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2）．    【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8．若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是 【答案】4或． 【详解】设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=， （1）当△B′FC∽△ABC时，有， 即：，解得：； （2）当△B′FC∽△BAC时，有， 即：，解得：； 综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是4或. 故答案为4或. 【点睛】解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种. 16．如图，在中，，将沿翻折得到，若经过的内心I，则的长为 ．    【答案】2 【分析】翻折，结合内心是三角形三条角平分线的交点，以及平行线的性质，推出，，证明，求出的长，再根据等积法结合角平分线的性质，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵翻折， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵平分， ∴到的距离相等， ∴ 又∵（同高三角形的面积比等于底边比）， ∴，即：， ∴， ∴； 故答案为：2． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的内心，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）在如图所示的网格中，已知和点． (1)以点为位似中心把三角形放大，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)，， 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键． （1）利用位似图形的性质即可位似比为2，进而得出各对应点位置； （2）利用所画图形得出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）解：的各顶点坐标分别为：，，． 18．（8分）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】城楼的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出是解题的关键．过点作于点，交于点，由题意得：米，米，米，米，进而得到米，米，米，证明得到，求出米，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得：米，米，米，米， ， 四边形是矩形， 又， 米， （米），（米）， ， ， ，即， 米， 城楼的高度为：（米）． 19．（8分）已知：如图，四边形是菱形，点分别在边上，连接交对角线于两点，且． （1）求证：； （2）若，求证： 【答案】（1）见解析：（2）见解析. 【分析】（1）先根据菱形的性质和角的和差可证，再根据相似三角形的性质得到， 结合，即可证明： （2）先根据菱形的性质得到，再根据相似三角形的性质可得，再结合，可得，即， 从而可得结论． 【详解】证明：（1）∵四边形是菱形： ∴： ∴： ∵： 又∵： ∴： ∴： ∴，即： ． （2）∵四边形是菱形： ∴， ∴ ∵： ∴， ∴， 为公共角， ∴，即. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的性质，灵活应用相关性质定理成为解答本题的关键. 20．（8分）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（8分）如图，在中，，． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由证明因为得出，再代入数值到，进行计算，即可作答． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，因为，所以，再整理出，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； （2）解：如图：过点D作， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∵， ∴． 22．（10分）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了由动点产生的相似三角形问题．熟练掌握勾股定理，相似三角形性质是解题的关键． （1）利用勾股定理得出，列方程，解方程，即可得出结论； （2）根据，分和两种情况，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ，或， ∵， ∴ （2）解：∵， ∴当与相似时， 一种情况是 ， ∴， ∴； 另一种情况是 ， ∴， ∴， 故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似． 23．（10分） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 24．（12分）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题主要考查了复杂作图-作垂线，作相等线段，以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题意，作出对应图形． （1）根据“型三角形”的定义即可得出需要作以为直角边等腰直角三角形即可； （2）根据是“型三角形”，得出，设，则，，根据，证明，根据相似三角形的性质即可求出，从而求出，即可证明． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求； 【详解】（1）根据“型三角形”的定义即可得出，作以为直角边的“型三角形”即过点作的垂线，且等于，即以为直角边等腰直角三角形，如图：    （2）∵是“型三角形”， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． （3）在上截取，再过点作交于点，即为所求；    理由：∵是“型三角形”（为正整数），， ， 设，则， ∵， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴是“型三角形”． 25．（14分）如图，是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点． (1)求证：； (2)连接，求的大小； (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用正方形的性质及垂线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，可推出点、、、在以为直径的圆上，从而得到，再根据正方形的性质即可得解； （3）连接，过点作，交与点，利用平行线的性质得到，继而得到，推出，，进一步推出，根据同弧所对的圆周角相等得到，证明，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴点、、、在以为直径的圆上，即四边形为圆内接四边形， ∵， ∴， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∴， ∴的大小为； （3）如图，连接，过点作，交与点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 由（2）题图知：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，等角对等边，勾股定理等知识点．解题的关键是构造出以为直径的圆及相似三角形，注意数形结合思想方法的运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$