第一章 坐标平面上的直线 知识归纳与题型突破（八类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第一章 坐标平面上的直线 知识归纳与题型突破（八类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}. 2.直线的斜率 (1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α. (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. ②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 点法向式 已知直线过点，一个法向量为， 则直线的点法向式方程为：； 常用结论： 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数. 二、两条直线的位置关系、平面上的距离 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 直线与夹角的余弦公式 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，； 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4.对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有 可求出x′，y′. 常用结论： 1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0. 2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在. 03 题型归纳 题型一　直线的倾斜角与斜率 例题 1．经过点、两点的直线的倾斜角为 . 巩固训练 2．若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 3．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 ． 4．已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 5．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 6．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 7．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线斜率的取值范围是 . 题型二 直线的方程及直线的位置关系 例题 8．若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 巩固训练 9．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 10．直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 11．已知直线l：，绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线的点法式方程为 . 12．若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 13．直线与直线平行，则 ． 14．过点且与直线垂直的直线方程为 ． 15．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 16．直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型三　距离问题 例题 17．已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 巩固训练 18．点，到直线的距离相等，则 . 19．已知两条平行直线和之间的距离小于1，则的取值范围是 ． 20．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 题型四　夹角问题 例题 21．直线：，：它们的夹角为 巩固训练 22．若直线与直线所成角的余弦值为，则实数 . 题型五 对称问题 例题 23．已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 巩固训练 24．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 题型六 过定点、围成三角形等问题 例题 25．如果且，那么直线不经过第 象限. 巩固训练 26．直线经过的定点坐标为 . 27．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 28．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 题型七 最值、取值范围问题 例题 29．已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 巩固训练 30．在平面直角坐标系中，矩形，，，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为 . 31．动点在直线上，O为原点，最小时点P的坐标为 . 32．已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 33．在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 34．如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 题型八 解答题 例题 35．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 巩固训练 36．已知直线l：及点． (1)求与直线l有相同的方向向量，且经过点A的直线的点法式方程； (2)求与直线l垂直，且经过点A的直线的点法式方程． 37．已知直线l的方程为.根据以下条件，求直线m的方程. (1)若直线m过点，且直线m与直线l的夹角为，求直线m的方程； (2)若直线m的倾斜角为，将直线m绕其上一点P逆时针旋转α后得到直线n，直线n与y轴交于点，将直线n绕点P逆时针旋转后得到直线l，求直线m的方程. 38．如图，已知的三个顶点分别为． (1)若点为的中点，求直线与直线的夹角大小； (2)若的平分线为，求所在直线的直线方程． 39．直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l的斜率为，求△的面积； (2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围； (3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 坐标平面上的直线 知识归纳与题型突破（八类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、直线的方程 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}. 2.直线的斜率 (1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α. (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. ②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 点法向式 已知直线过点，一个法向量为， 则直线的点法向式方程为：； 常用结论： 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0 0<α< <α<π k 0 k>0 不存在 k<0 2.截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数. 二、两条直线的位置关系、平面上的距离 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 直线与夹角的余弦公式 在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，； 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 4.对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有 可求出x′，y′. 常用结论： 1.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2”＝0. 2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在. 03 题型归纳 题型一　直线的倾斜角与斜率 例题 1．经过点、两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据两点的坐标求得斜率，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案. 【解析】由题意可得直线的斜率，则，解得. 故答案为：. 巩固训练 2．若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值． 【解析】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 3．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由直线的一般式可得其斜率，再由倾斜角与斜率的关系，即可得到结果. 【解析】由直线方程可知，其斜率为， 设其倾斜角为，则，所以. 故答案为： 4．已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得. 【解析】记直线的倾斜角为，则， 因为，所以，则， 所以. 故答案为： 5．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的图象，得出倾斜角θ的取值范围. 【解析】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 6．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【解析】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 7．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线斜率的取值范围是 . 【答案】. 【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围. 【解析】如下图示， 当直线过A时，， 当直线过B时，， 由图知：. 故答案为： 题型二 直线的方程及直线的位置关系 例题 8．若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【解析】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 巩固训练 9．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式得出其方程并整理可得一般式方程. 【解析】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 10．直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 【答案】 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【解析】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 11．已知直线l：，绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线的点法式方程为 . 【答案】 【分析】由已知可得直线过点，且与直线垂直，根据直线方程，求出的法向量，即可得出结论. 【解析】设直线与轴的交点为，则． 直线的一个法向量是，它是直线的一个方向向量， 所以的一个法向量是，且过点， 所以直线的点法向式方程为. 故答案为：. 12．若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 【答案】x＋3y－3＝0 【解析】 解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0. （解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0. 13．直线与直线平行，则 ． 【答案】4 【分析】 由直线平行的性质列式求解即可，注意检验. 【解析】 由题意知，当时，直线与直线平行，故满足题意. 故答案为：4. 14．过点且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解． 【解析】直线的斜率为2，则所求直线的斜率为，而所求直线过点， 所以所求直线的方程为，即. 故答案为： 15．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【解析】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 16．直线和直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由两直线互相垂直，直接列方程求解即可. 【解析】因为直线和直线互相垂直， 所以，解得， 故选：B 题型三　距离问题 例题 17．已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【解析】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 巩固训练 18．点，到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求解. 【解析】由题有， 整理得到，解得或， 故答案为：或. 19．已知两条平行直线和之间的距离小于1，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由两平行线间的距离公式即可求解. 【解析】因为直线和：平行，所以． 又因为两平行直线间的距离小于1，即，解得，故的取值范围为． 故答案为： 20．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】由题可知当直线时，点与直线的距离最大，即求直线方程. 【解析】当直线时，点与直线的距离最大， 此时直线的斜率为， 所以直线的斜率为. 所以此时的方程为,即为. 故答案为：. 题型四　夹角问题 例题 21．直线：，：它们的夹角为 【答案】 【分析】直接利用夹角公式得到答案. 【解析】设两条直线的斜率为的斜率为， 这两条直线的夹角为，则， 由两条直线的夹角公式得，所以. 故答案为：. 巩固训练 22．若直线与直线所成角的余弦值为，则实数 . 【答案】 【分析】先求两直线的斜率,求出两直线的所成角的正切，把所成角的余弦值转为正切值，得到关于的关系式,即可求出的值. 【解析】设直线与直线所成角为, 则, 若两直线垂直不合题意,所以, 两直线的斜率存在且分别为, ,解得. 故答案为: 【点睛】本题考查两直线的夹角公式,注意判断直线的斜率是否存在,考查计算能力,属于基础题. 题型五 对称问题 例题 23．已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程. 【解析】设直线l的的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 巩固训练 24．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【解析】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 题型六 过定点、围成三角形等问题 例题 25．如果且，那么直线不经过第 象限. 【答案】三 【分析】比较直线的斜率与的大小关系，在轴上的截距与的大小关系即可求解. 【解析】因为且，则， 所以，，所以直线， 即直线的斜率小于零， 在y轴上的截距大于零， 故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限. 巩固训练 26．直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】把方程化为关于的等式，然后由恒等式知识求解． 【解析】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 27．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【解析】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 28．已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【解析】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 题型七 最值、取值范围问题 例题 29．已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出的最小值，从而得到答案. 【解析】由可知直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 巩固训练 30．在平面直角坐标系中，矩形，，，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设点折叠后落在线段上的点为点，分点与点的连线与折痕所在直线垂直和当折痕所在直线的斜率为0时，结合斜率公式，即可求解. 【解析】设点折叠后落在线段上的点为点，所以点与点关于折痕所在直线对称， 所以点与点的连线与折痕所在直线垂直， 又因为，直线的斜率不存在， 所以两点连线的斜率的取值范围是， 所以折痕所在直线的斜率的取值范围为， 当折痕所在直线的斜率为0时，符合题意， 所以的取值范围为. 故答案为：. 31．动点在直线上，O为原点，最小时点P的坐标为 . 【答案】 【分析】 当OP垂直于时，最小，求出OP所在的直线方程，联立得到交点坐标，即为答案. 【解析】直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离， 此时OP垂直于已知直线，由于的斜率为， 则， ∴OP所在的直线方程为. 由，解得， ∴点P的坐标为. 故答案为： 32．已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】求出关于的对称点，作出辅助线，当三点共线时，取得最大值，求出最大值. 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 由对称性可知，， 当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到， 连接并延长，交于点，则此时， 即当三点共线时，取得最大值， 最大值为. 故答案为： 33．在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】依题意，作图，分两类讨论：①当与重合于坐标原点时；②当与不重合时，从而可求得答案． 【解析】依题意，作图如下： 设点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为， 则，， 当与重合于坐标原点时，； 当与不重合时，如图，； 当与重合于坐标原点时，取得最小值10． 故选：B． 34．如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 【答案】 【分析】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【解析】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 题型八 解答题 例题 35．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1） ， ，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2） ， ，若，则，由此求参数即可. 【解析】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 巩固训练 36．已知直线l：及点． (1)求与直线l有相同的方向向量，且经过点A的直线的点法式方程； (2)求与直线l垂直，且经过点A的直线的点法式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一个法向量，再由平行关系写出所求直线的点法式方程； （2）先求出直线的一个法向量，再由垂直关系找到所求直线的法向量，从而得解. 【解析】（1）直线的一个法向量为． 由题意，得所求直线与直线平行，故是所求直线的一个法向量． 又所求直线过点， 所以所求直线的点法式方程为． （2）因为直线的一个法向量为， 故所求直线的一个法向量为，又所求直线过点， 所以所求直线的点法式方程为． 37．已知直线l的方程为.根据以下条件，求直线m的方程. (1)若直线m过点，且直线m与直线l的夹角为，求直线m的方程； (2)若直线m的倾斜角为，将直线m绕其上一点P逆时针旋转α后得到直线n，直线n与y轴交于点，将直线n绕点P逆时针旋转后得到直线l，求直线m的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线m的斜率是否存在，结合夹角公式运算求解； （2）根据题意可知直线m、n、l的倾斜角依次为、、，结合三角恒等变换可得各直线的斜率，结合直线n、l的方程求出点P的坐标，即可得直线m的方程. 【解析】（1）因为直线l：的斜率，设其倾斜角为，则， 若直线m的斜率不存在，则直线m与直线l的夹角为， 可得，符合题意，此时直线m的方程； 若直线m的斜率存在，设直线m的斜率为， 由题意可得：，解得， 所以直线m的方程为，即； 综上所述：直线m的方程为或. （2）由（1）可知直线l的斜率， 由题意可知直线l的倾斜角为， 则，可得，即直线m的斜率为2， 因为直线n的倾斜角为， 则，即直线n的斜率为， 所以直线n的方程为，即， 联立方程，解得，即， 所以直线m的方程为，即. 38．如图，已知的三个顶点分别为． (1)若点为的中点，求直线与直线的夹角大小； (2)若的平分线为，求所在直线的直线方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据中点坐标，结合与平面向量的夹角公式求解即可； （2）设上的任意一点，结合点到直线距离等于点到直线距离相等列式可得的方程即可. 【解析】（1）因为点为的中点，，故即，， 所以， 所以直线与直线的夹角大小为； （2）设上的任意一点，又直线方程为，直线的方程为， 点到直线距离等于点到直线距离，，则，解得，或. 由题意可得所在直线的直线斜率为正，所以角平分线所在直线方程为． 39．直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l的斜率为，求△的面积； (2)若的面积S满足，求直线l的斜率k的取值范围； (3)如图，若点P分向量所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析，定点. 【分析】（1）由直线的点斜式方程可得直线l的斜率，分别求得直线l在坐标轴上的交点，运用三角形的面积公式可得所求值； （2）设直线l的斜率为k（k＜0），直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣3），分别令x＝0，y＝0，求得l与坐标轴的交点，运用三角形的面积公式和二次不等式的解法，可得所求范围； （3）根据题意结合（2）得，设，，故直线的一般式方程为：，再根据得，进而得直线的式方程为：，再根据直线系方程即可得答案. 【解析】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 整理得：， 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 故的面积为. （2）根据题意，直线的斜率存在且， 所以直线的方程为：， 整理得： 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 所以，解得 ， 所以的面积， 由于的面积满足， 所以，整理得：， 解不等式得：， 故直线的斜率的取值范围. （3）由（2）知、， 由于点分向量所成的比的值为2， 所以，由于， 所以，即. 所以、，， 故设，， 所以直线的一般式方程为：， 由于直角梯形的面积为， 直线平分直角梯形的面积， 所以直角梯形的面积为， 所以，即， 所以直线的式方程为：， 整理得：， 所以直线过直线与直线的交点， 所以直线过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$