精品解析：甘肃省庆阳第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

庆阳二中2024-2025学年度第一学期高二数学第一次月考卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题.（每小题5分，共40分） 1. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 24 2. 已知等比数列的前3项积为8，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 3. 若等差数列和等比数列满足，则为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 5. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( ) A. B. 1 C. D. 6. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（ ） A. B. C. 48 D. 96 7. 若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知点，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分,共18分，少选得3分，多选错选得0分） 9. 在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 数列是公差为2的等差数列 10. 等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. 当时，的最小值为 D. 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 二、填空题（每空3分，共15分） 12. 在等差数列中，若，则的值为__________. 13. 已知数列均为等差数列，且其前n项和分别为和.若，则________. 14. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则________. 三、解答题（共77分，解题时写出必要过程） 15. 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， （1）求三角形面积取最小值时直线的方程； （2）求取最小值时直线的方程． 16. 等差数列的前项和为，其中成等比数列，且数列为非常数数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和记为，求. 17. 已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,. （1）求数列的通项公式 （2）记,求数列的前项和. 18. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求直线的方程. 19. 在数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庆阳二中2024-2025学年度第一学期高二数学第一次月考卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题.（每小题5分，共40分） 1. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果. 【详解】由题设，，则， 所以. 故选：A 2. 已知等比数列的前3项积为8，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知列方程求出，，进而得解. 【详解】由题知，所以，又因为，所以，所以，所以. 故选：D. 3. 若等差数列和等比数列满足，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列为等差数列应用基本量运算得出,应用数列为等比数列应用基本量运算得出,计算即可. 【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，所以, 又因为是等比数列，设公比为,所以，所以， 则. 故选：A. 4. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 5. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( ) A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知该女子每天织布的尺数成等比数列，根据等比数列通项公式和前n项和公式即可求解. 【详解】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2， 则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为， 则，∴. 故选：D. 6. 已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（ ） A. B. C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件得到关于与的方程，即可得到，从而得到结果. 【详解】设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以，即， 又， 所以，解得 所以 故选:C 7. 若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】则，求出的值，再设直线的倾斜角为 ，则， 求出，即可求解． 【详解】解：，则，得， 得， 设直线的倾斜角为 ，则， 得， 得，得， 故选：D 8. 已知点，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点P的坐标，通过求出直线PA、PB的斜率结合图像，判断k的取值范围. 【详解】直线恒过点， 则直线PA斜率，直线PB斜率， 若直线与线段AB相交，结合图象得k的取值范围是. 故选：B． 二、多选题（每小题6分,共18分，少选得3分，多选错选得0分） 9. 在等比数列中，公比，是数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】利用已知结合等比数列的通项公式求公比，进而写出通项公式、前n项和公式，结合各选项判断正误即可. 【详解】由题设，，即， 由可得：， ∴，， ∴且公差为；且. 综上，A、D错误，B、C正确. 故选：BC 10. 等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. 当时，的最小值为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据，由等差中项可知，从而判断出，即可判断AB，再由，化为关于的一元二次不等式即可判断C，计算的正负，即可判断D. 【详解】因为，∴，∴，即. 又，所以，A对，B错； 当，解得 ，∴，故C对； ∴，D错. 故选：AC 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前n项和 【答案】AB 【解析】 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】因数列满足，显然，， 两边取倒数得：，即有，而， 因此，数列是首项为4，公比为2的等比数列，A正确； 于是得，整理得，数列的通项公式为，B正确； 因，即数列是递减数列，C不正确； 因，则，D不正确. 故选：AB 二、填空题（每空3分，共15分） 12. 在等差数列中，若，则的值为__________. 【答案】27 【解析】 【分析】由等差数列通项公式结合题目信息可得答案. 【详解】设等差数列公差为d，注意到， 则. 故答案为：27 13. 已知数列均为等差数列，且其前n项和分别为和.若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式化简，结合条件求出答案即可． 【详解】因为为等差数列，且， 所以 ， 故答案为：． 14. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则________. 【答案】15 【解析】 【分析】运用等比数列基本量计算即可. 【详解】由题意，设等比数列的公比为q(正数)，则， 即，所以， 所以. 由题知，所以. 所以. 故答案为：15. 三、解答题（共77分，解题时写出必要过程） 15. 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， （1）求三角形面积取最小值时直线的方程； （2）求取最小值时直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 【小问1详解】 由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 16. 等差数列的前项和为，其中成等比数列，且数列为非常数数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和记为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程，求得公差和首项，即可得答案. （2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法即可求得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为成等比数列， 所以，即， 又，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， . 17. 已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,. （1）求数列的通项公式 （2）记,求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得=，又，解得，即可得出通项;（2），利用错位相减法即可得出． 【详解】（1）由题意，得.又， ∴，∴， ∵，∴或， ∵，∴. ∴. （2）由（Ⅰ），知.∴. ∴. ∴. ∴ . ∴. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 18. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据边上的高的直线方程，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解；（2）联立方程组，求得，设点，根据的中点在上得到，得出在直线上，再联立方程组求得的坐标，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 解：因为的顶点，且边上的高所在的直线方程为， 可得边所在直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：因为边上的中线所在直线的方程为， 联立方程组，解得，即点, 设点，则的中点在直线， 所以，即，即点在直线上， 又由点在直线上， 联立方程组，解得，即， 所以，所以直线的方程为. 19. 在数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 【答案】（1） （2）14337 【解析】 【分析】（1）根据数列的前项和求数列的通项公式，一定要分和讨论. （2）首先弄清楚新数列前55项的构成，再转化为错位相减法求和. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以，. 当时，上式亦成立， 所以：. 【小问2详解】 由. 所以新数列前55项中包含数列的前10项，还包含，，，，，，，，. 且，，， . 所以 . 设 则， 所以. 故：. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要弄清楚新数列前55项的构成.可先通过列举数列的前几项进行观察得到规律. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $