专题16圆锥曲线的标准方程与几何性质（3知识点+2重难点+9技巧+3易错）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题16 圆锥曲线的标准方程与几何性质 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 椭圆 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 3、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 知识点2 双曲线 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点3 抛物线 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 3、抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 重难点01 求椭圆离心率及其范围的方法 1、求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2、求椭圆离心率范围的2种方法 （1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 【典例1】（24-25高三上·四川巴中·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·江西新余·月考）已知离心率为的椭圆中，分别为的左、上顶点，为其右焦点，轴且在上（在第一象限），直线交过且垂直于轴的垂线于，若，则（     ）. A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点02 求双曲线的离心率或其范围的方法 1、求双曲线的离心率或其范围的方法 （1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. （2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围． （3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． （4）通过特殊位置求出离心率． 2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－． 【典例1】（24-25高三上·江苏·月考）已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】（23-24高三下·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ． 一、椭圆定义应用的类型及方法 1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程； 2、焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧； 3、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值； 利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． 【典例1】（23-24高三下·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【典例2】（23-24高三上·四川内江·月考）已知椭圆是左，右焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（     ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 二、求椭圆标准方程的2种常用方法 1、根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； 2、待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． 【典例1】（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江苏南京·零模）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 三、椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 【典例1】（23-24高三上·贵州黔东南·月考）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．-4 D．4 【典例2】（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 四、双曲线定义的应用 1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． 2、在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． 【注意】在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 【典例1】（24-25高三上·广西·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·广东湛江·月考）已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例3】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 五、待定系数法求双曲线方程的五种类型 1、与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)； 2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)； 3、与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)； 4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)； 5、与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)． 【典例1】（23-24高三下·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·广东揭阳·月考）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 六、双曲线的中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 【典例1】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【典例2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 七、抛物线定义的应用 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【典例2】（23-24高三下·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 【典例3】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为 . 八、抛物线的标准方程的求法 1、定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． 2、待定系数法 （1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程； （2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解． 另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)． 【典例1】（24-25高三上·江西南昌·月考）已知抛物线的焦点关于其准线的对称点为，则抛物线的标准方程为 . 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 九、抛物线几何性质的应用技巧 1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 【典例1】（23-24高三上·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【典例2】（23-24高三下·广西来宾·模拟预测）（多选）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 易错点1 忽视圆锥曲线定义中的限制条件 点拨：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于．这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错． 【典例1】设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在 【典例2】（23-24高三下·海南·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 易错点2 求圆锥曲线准方程时忽视“定位”分析 点拨：确定椭圆或双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆或双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解． 【典例1】若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（24-25高三上·山东新泰·开学考试）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 易错点3 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置 点拨：求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法： ①具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理； ②不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。 在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错． 【典例1】（24-25高三上·广东·月考）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（23-24高三下·陕西西安·一模）设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 圆锥曲线的标准方程与几何性质 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 椭圆 1、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 3、椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 知识点2 双曲线 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点3 抛物线 1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： （1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上． 2、抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 3、抛物线中的几何常用结论 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦． ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切． ③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． （2）过x2＝2py的准线上任意一点D作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过点. 重难点01 求椭圆离心率及其范围的方法 1、求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2、求椭圆离心率范围的2种方法 （1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 【典例1】（24-25高三上·四川巴中·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 设， 因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得；即，可得， 所以椭圆C的离心率.故选：B. 【典例2】（24-25高三上·江西新余·月考）已知离心率为的椭圆中，分别为的左、上顶点，为其右焦点，轴且在上（在第一象限），直线交过且垂直于轴的垂线于，若，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，，， 直线：， 令，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴.故选：D 【典例3】（23-24高三下·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为.故选：D. 重难点02 求双曲线的离心率或其范围的方法 1、求双曲线的离心率或其范围的方法 （1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. （2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围． （3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． （4）通过特殊位置求出离心率． 2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－． 【典例1】（24-25高三上·江苏·月考）已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以故选：B. 【典例2】（23-24高三下·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【解析】 设另一个焦点，连接，设则 再根据双曲线的定义可知： 由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得， 所以由勾股定理得：， 化简得：， 再由勾股定理得：， 代入得：， 故答案为：. 一、椭圆定义应用的类型及方法 1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程； 2、焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧； 3、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值； 利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． 【典例1】（23-24高三下·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·四川内江·月考）已知椭圆是左，右焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 在中，由余弦定理得， ， 即，所以， 所以.故选：A. 【典例3】（23-24高三下·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义知， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 二、求椭圆标准方程的2种常用方法 1、根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； 2、待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． 【典例1】（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，可得， 则，所以该椭圆的方程为.故选：C. 【典例2】（23-24高三上·江苏南京·零模）已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点， 则为的中点，为中点，所以，所以，则 即，所以，， 将点坐标代入椭圆方程得，即， 又，所以，， 所以椭圆的标准方程是.故选：B 三、椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 【典例1】（23-24高三上·贵州黔东南·月考）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【解析】设弦与椭圆交于，，斜率为， 则，，相减得到， 即，解得.故选：A. 【典例2】（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为.故选：C. 四、双曲线定义的应用 1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． 2、在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系． 【注意】在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 【典例1】（24-25高三上·广西·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则.故选：C 【典例2】（23-24高三上·广东湛江·月考）已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故， 由于， 所以，故选：A 【典例3】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 【答案】2 【解析】不妨取点在第一象限，如下图所示： 根据双曲线定义可得，且； 由离心率为可得，可得，即； 设，则； 由的面积为可得， 解得； 利用余弦定理可得， 即，整理可得， 即，所以，解得. 故答案为：2 五、待定系数法求双曲线方程的五种类型 1、与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)； 2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)； 3、与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)； 4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)； 5、与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)． 【典例1】（23-24高三下·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线与双曲线有相同的渐近线， 故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是．故选：A． 【典例2】（24-25高三上·广东揭阳·月考）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆的圆心为，半径，所以， 又双曲线的两条渐近线为，即， 由题知，整理得到，又，得到， 所以，，得到双曲线的方程为.故选：B. 六、双曲线的中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 【典例1】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的中点， 所以， 易知， 由点差法可得 ， 若，此时， 与双曲线联立， 即与双曲线只有一个交点，故A错误； 若，则此时， 与双曲线联立 ， 即与双曲线有两个交点，故B正确； 若，则此时， 与双曲线联立， 即与双曲线有一个交点，故C错误； 若，则此时， 与双曲线联立，显然无解， 即与双曲线没有交点，故D错误；故选：B 七、抛物线定义的应用 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋． 【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【答案】2 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则，所以, 故答案为：2. 【典例2】（23-24高三下·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 【答案】5 【解析】抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 【典例3】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由抛物线的方程为知，焦点为，准线方程为， 由抛物线定义知动点到点的距离与到轴的距离之和可化为， 当三点共线，且在线段上时，有最小值， 最小值为. 故答案为： 八、抛物线的标准方程的求法 1、定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． 2、待定系数法 （1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程； （2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解． 另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)． 【典例1】（24-25高三上·江西南昌·月考）已知抛物线的焦点关于其准线的对称点为，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【解析】根据题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上， 不妨设抛物线的标准方程为，可知焦点坐标为，准线方程为， 由焦点关于其准线的对称点为可知，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为： 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得． 故选：A 九、抛物线几何性质的应用技巧 1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键． 【典例1】（23-24高三上·江苏·开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【解析】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2.故选：D. 【典例2】（23-24高三下·广西来宾·模拟预测）（多选）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确.故选：ABD. 易错点1 忽视圆锥曲线定义中的限制条件 点拨：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于．这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错． 【典例1】设定点，，动点满足条件，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段或不存在 【答案】D 【解析】错解： 选A，由题中坐标得：，又，点的轨迹为椭圆. 错因： 忽略了椭圆的定义中这一条件. 正解： 由题中坐标得：，又又， 则当时，点的轨迹为线段； 当时，点的轨迹为椭圆； 当时，点的轨迹不存在.故选：D. 【典例2】（23-24高三下·海南·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】BCD 【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误； 对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确； 对于选项：设， 由，可得， 化简得，表示一条直线，故C正确； 对于选项D：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确.故选：BCD. 易错点2 求圆锥曲线准方程时忽视“定位”分析 点拨：确定椭圆或双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆或双曲线与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解． 【典例1】若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为故选：C 【典例2】（24-25高三上·山东新泰·开学考试）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 易错点3 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置 点拨：求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法： ①具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理； ②不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。 在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错． 【典例1】（24-25高三上·广东·月考）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】过点作的垂线，垂足为，则， 则，如图所示. 所以的最小值为.故选：B． 【典例2】（23-24高三下·陕西西安·一模）设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线C：的焦点为，准线方程为， 如图， 因为，且关于的对称点为，所以， 所以 . 当在线段与抛物线的交点时，取得最小值，且最小值为.故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$