专题07 三角函数的图象与性质综合（2知识点+6重难点+7技巧+4易错）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题06 三角函数的图象与性质综合 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点2 函数y=Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 重难点01 利用三角函数的单调性求参数 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例1】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为在区间上单调递减，所以， 则，即，所以， 因为，，所以， 因为，所以，， 因为在区间上单调递减， 所以，解得，所以的取值范围为． 【典例2】（23-24高三下·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时， ， 又的单调递减区间为， 所以，解得， 且，解得，又， 所以0，所以的取值范围为. 重难点02 与函数零点或方程的根有关的参数问题 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 【典例1】（23-24高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 令, 所以或， 故函数的正零点从小到大排列为：， 要使在区间上有且仅有3个零点，需要满足且，解得，故选：C 【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数（，）的周期为， 又，所以， 所以，即， 因为，所以，解得， 所以，因为，所以， 要使在内恰有10个零点，则. 所以的取值范围是. 重难点03 利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 【典例1】（23-24高三下·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又函数在区间恰有3条对称轴， 所以，解得，故选：D. 【典例2】（23-24高三上·福建漳州·月考）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数， 因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：      所以，整理得：．故选：D． 重难点04 与图象平移有关的参数范围问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。 【典例1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由题意， 令，显然关于单调递增，且， 若在上单调递增，则，解得， 即的最大值为.故选：C. 【典例2】（23-24高三上·江苏镇江·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象. 时，， 在轴右方的零点为 因为函数的图象在区间内有5个零点， 所以，解得. 重难点05 根据三角函数的最值求参数 若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解. 【典例1】（23-24高三下·浙江·三模）若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的最大值为1，的最大值为1， 由题意可知，取得最大值1时，也取得最大值1， 即当时，，， 得，，， 当时，，其他值不满足等式.故选：D 【典例2】（23-24高三下·山东济宁·三模）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，函数， 当时，，显然， 且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为， 得，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 一、三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例1】（23-24高三上·全国·专题练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 解得.故选：B． 【典例2】（23-24高三上·河南新乡·月考）函数的定义域为 .（用区间表示结果） 【答案】 【解析】要使函数有意义， 只需，所以，， 即，， 所以或， 所以函数的定义域为. 二、三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 【典例1】（23-24高三下·广东湛江·二模）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 故在上的值域为.故选：B. 【典例2】（22-23高三上·山东朔州·开学考）已知函数，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，则， 所以，， 故当时，函数取得最小值，即. 【典例3】（22-23高三上·广东深圳·月考）已知函数，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 令， 即， 由，则.故选：A. 【典例4】（23-24高三下·湘豫联考·三模）当时，的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【解析】原式， 其中锐角由确定，由，得， 所以.故选：D 三、求三角函数单调区间的2种方法 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 【典例1】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，A项，在中，，，最小正周期为， 当单调递增时，，解得： ∴在上不单调递减，A错误； B项，在中， ，最小正周期为， 当单调递增时，，解得： ∴在上不单调递减，B错误； C项，在中，，周期, ∴函数在即上单调递减， ∴函数在上单调递减，C正确； D项，在中，，故D错误.故选：C. 【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，令， , 故函数的单调递增区间为.故选：D． 【典例3】（23-24高三下·天津·高考模拟）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，且，即且， 因为，所以，则， 所以，化简得， 因为，所以时，故，所以． 由，得， 所以的单调递增区间是．故选：D． 四、与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（23-24高三下·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】一方面，当，时，是奇函数， 是偶函数，故充分性成立， 另一方面，当时，有是奇函数， 是偶函数， 但此时关于的方程没有解，故必要性不成立， 综上所述，在已知 的情况下， “”是“为奇函数且为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A. 【典例2】（23-24高三下·河南信阳·一模）若函数的图像关于原点对称，则m＝ ． 【答案】/ 【解析】因为的图像关于原点对称，则为奇函数，且为奇函数， 则为偶函数， 即，，则，则． 【典例3】（23-24高三下·湖北黄石·三模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数，的图象关于直线对称 B．的图象关于轴对称，不是对称图形 C．的图象关于原点对称，的图象关于点对称 D．的图象关于原点对称，的图象关于轴对称 【答案】A 【解析】函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称， 任意，， 则， 故是偶函数，即的图象关于轴对称.故选：A 五、三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 【典例1】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，由题可知，所以. 令，得， 所以的图象的对称中心为，所以点符合.故选：D. 【典例2】（23-24高三下·陕西·模拟预测）已知函数，则的图像（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于中心对称 D．关于中心对称 【答案】A 【解析】 ， 对于A，，函数关于直线对称，A正确； 对于B，，函数关于直线不对称，B错误； 对于C，，函数关于不成中心对称，C错误； 对于D，，函数关于中心对称，D错误.故选：A 【典例3】（23-24高三下·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的图象关于对称，则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 六、由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 【典例1】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】由图可得，，，所以， 所以，因为在函数的图像上， 可得，解得， 因为，所以，， 所以. 故选：B. 【典例2】（23-24高三下·甘肃酒泉·三模）函数，其部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的最小正周期为， 由题意可知：，，即，且，则， 可得， 由图象可知：为的最大值点， 则，解得， 且，可知，所以.故选：B. 七、三角函数图象的变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。 【典例1】（23-24高三下·广东揭阳·二模）把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得的最小正周期为， 则所求函数为.故选：C 【典例2】（23-24高三下·浙江·月考）（多选）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】AD 【解析】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，A正确； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，B错误； 把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，C错误； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，D正确；故选：AD. 八、三角函数图象与性质综合 角度一、图象性质的综合应用 方法总结：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. 【典例1】（23-24高三下·陕西铜川·三模）已知函数，则下列说法中不正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D． 【答案】C 【解析】依题意，则函数的最大值为， 最小值正周期为，从而可排除选项. ，，根据三角函数的性质可知， 当，即时函数单调递减， 当，即时函数单调递增， 故在区间上不可能单调递增，应选C项. 为偶函数， 从而，从而可排除D选项.故选：C 【典例2】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于AB，根据函数的部分图象知，， ，，故AB正确， 对于C，由五点法画图知，，解得， 由于，所以，. 令，则， 时，，时，， 当时，，当时，，当时，， 故在内有2个极值点，分别为，，故C错误， 对于D，，可得：， 故当此时取最大值，故D正确.故选：ABD. 角度二：三角函数的零点（方程的根）的问题 方法总结：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 【典例1】（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，若关于x的方程在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出函数，的图象， 若方程在上有两个不同的根，，由图可知.故选：C 【典例2】（23-24高三下·江苏·月考）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】，所以的最大值为2， 当取最大值时，有，即， 由， 令，解得， 当趋于时，趋于正无穷， 而， 所以在上存在一个零点， 根据上述分析，在同一平面直角坐标系中画出的图象与的图象如图所示， 由图可知，在上存在一个零点， 在上存在个零点， 综上所述，的图象与的图象共有11个交点.故选：C． 易错点1 忽视正、余弦函数的有界性 点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 【典例1】（2023高三上·全国·专题练习）函数的最大值为   ． 【答案】 【解析】， ∵，∴，，， ∴函数的最大值为． 【典例2】（23-24高三上·上海浦东新·月考）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由，又， 令，则在给定区间内递增， 所以，即原函数的值域为. 易错点2 三角函数单调性判断错误 点拨：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。 【典例1】（23-24高三·全国·专题练习）在上的单调递减区间为 . 【答案】和 【解析】， 令得 则的单调递减区间为 令, ∴在上的单调递减区间为和. 【典例2】（22-23高三上·河北邢台·期末）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】由＝cos＝cos， 得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)， 所以函数的单调递减区间为 (k∈Z). 易错点3 图象变换的方向把握不准 点拨：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。 【典例1】（23-24高三下·江苏南京·二模）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【解析】， 则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A. 【典例2】（23-24高三上·山西朔州·月考）（多选）要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】BC 【解析】由， 可知将函数的图象向右平移个单位长度， 可得，即可得函数的图象， 又由函数的最小正周期为， 可知向右平移个单位长度与向左平移个单位长度效果相同；所以选项BC正确. 若向左平移个单位长度，可得，故A错误； 若向右平移个单位长度，可得，故D错误； 故选：BC. 易错点4 用零点确定的,忽略图象的升降 点拨：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【典例1】（23-24高三下·山东潍坊·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式为 . 【答案】 【解析】根据图象可得, 而，则， 所以或，又，所以， 由得则，即, 由，所以， 故时，，所以. 【典例2】（23-24高三上·广东深圳·开学考试）已知函数的图象大致如图，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由题意得，解得， 当时，，解得，故， 将代入可得，， 故，解得， 则， 所以； 当时，，解得，故， 将代入可得，， 故，解得， 则， ， 综上：.故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角函数的图象与性质综合 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点2 函数y=Asin(ωx＋φ) 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 重难点01 利用三角函数的单调性求参数 1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； 3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例1】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 【典例2】（23-24高三下·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 重难点02 与函数零点或方程的根有关的参数问题 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 【典例1】（23-24高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是 ． 重难点03 利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 【典例1】（23-24高三下·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·福建漳州·月考）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点04 与图象平移有关的参数范围问题 1、平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。 【典例1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【典例2】（23-24高三上·江苏镇江·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是 . 重难点05 根据三角函数的最值求参数 若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解. 【典例1】（23-24高三下·浙江·三模）若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（    ） A．1 B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·山东济宁·三模）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例1】（23-24高三上·全国·专题练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·河南新乡·月考）函数的定义域为 .（用区间表示结果） 二、三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 【典例1】（23-24高三下·广东湛江·二模）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高三上·山东朔州·开学考）已知函数，则的最小值为 . 【典例3】（22-23高三上·广东深圳·月考）已知函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（23-24高三下·湘豫联考·三模）当时，的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 三、求三角函数单调区间的2种方法 1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 【典例1】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·天津·高考模拟）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 四、与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（23-24高三下·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（23-24高三下·河南信阳·一模）若函数的图像关于原点对称，则m＝ ． 【典例3】（23-24高三下·湖北黄石·三模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数，的图象关于直线对称 B．的图象关于轴对称，不是对称图形 C．的图象关于原点对称，的图象关于点对称 D．的图象关于原点对称，的图象关于轴对称 五、三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 【典例1】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·陕西·模拟预测）已知函数，则的图像（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于中心对称 D．关于中心对称 【典例3】（23-24高三下·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 六、由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入. 【典例1】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C．0 D． 【典例2】（23-24高三下·甘肃酒泉·三模）函数，其部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 七、三角函数图象的变换 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。 【典例1】（23-24高三下·广东揭阳·二模）把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·浙江·月考）（多选）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 八、三角函数图象与性质综合 角度一、图象性质的综合应用 方法总结：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题. 【典例1】（23-24高三下·陕西铜川·三模）已知函数，则下列说法中不正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D． 【典例2】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在内有3个极值点 D．在区间上的最大值为 角度二：三角函数的零点（方程的根）的问题 方法总结：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 【典例1】（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，若关于x的方程在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·江苏·月考）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 易错点1 忽视正、余弦函数的有界性 点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 【典例1】（2023高三上·全国·专题练习）函数的最大值为   ． 【典例2】（23-24高三上·上海浦东新·月考）函数的值域为 . 易错点2 三角函数单调性判断错误 点拨：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。 【典例1】（23-24高三·全国·专题练习）在上的单调递减区间为 . 【典例2】（22-23高三上·河北邢台·期末）函数的单调递减区间为 . 易错点3 图象变换的方向把握不准 点拨：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。 【典例1】（23-24高三下·江苏南京·二模）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【典例2】（23-24高三上·山西朔州·月考）（多选）要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 易错点4 用零点确定的,忽略图象的升降 点拨：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【典例1】（23-24高三下·山东潍坊·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式为 . 【典例2】（23-24高三上·广东深圳·开学考试）已知函数的图象大致如图，则（    ） A． B． C． D．1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$