专题14空间向量与立体几何（5知识点+4重难点+8技巧+4易错）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题14 空间向量与立体几何 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 空间向量的线性运算及有关定理 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 知识点2 两个向量的数量积及其运算 1、空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]， 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 2、空间向量数量积的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 知识点3 空间中的平行与垂直的向量表示 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 知识点4 利用空间向量求空间角 1、异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 2、直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. 3、二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 知识点5 利用空间向量求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. 3、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 重难点01 利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【典例1】（24-25高三上·江苏扬州·月考）如图，且且且，平面，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以. （2） 由平面，平面，则，， 又，故以为原点， 以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 于是，，设平面的法向量为， 则，，令，得， 假设线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为. 设，， 设直线与平面所成的角为 ，解得：. 所以线段上存在点，且时,使得直线与平面所成的角的正弦值为. 【典例2】（24-25高三上·重庆·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，. (1)求B点到平面的距离. (2)线段上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)点Q存在，. 【解析】（1）取的中点O，连接，，因为，所以， 又侧面底面，交线为AD，平面，所以平面． 又在直角梯形中，易得，建立如图示空间直角坐标系. 则，，，，； ，，， 设平面的法向量为， 则且，取得 所以B点到平面的距离. （2）假设Q存在，设（） 因为，所以，，， 设平面的法向量为，则且， 即且， 令，则，即， 又是平面的一个法向量 因为二面角的余弦值为， 所以，即， 所以．所以或（舍去）， 所以，，， 故点Q存在，且. 【典例3】（23-24高二下·江苏南京·月考）如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点. (1)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）如图所示，设， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 在正方形中，由，可得， 又因为，所以，所以，可得， 则， 因为分别为中点，可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值. （2）因为， 可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 若平面，可得， 即可得，解得，所以， 即存在点，使得平面，此时的值为. 重难点02 利用空间向量解决最值范围问题 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． 【典例1】（24-25高三上·云南玉溪·月考）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接交于点O， 由题意得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为.故选：A. 【典例2】（23-24高三下·福建·模拟预测）如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面平面． (1)证明：； (2)若点是圆上动点，求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）在平面内过作，而平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，设， 设平面的法向量， 则，令，得， 而平面的法向量为，平面平面， 则，解得， 于是，而，则，所以. （2）设点，显然，， 设平面的法向量， 则，令，得， 由（1）知，平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 于是， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【典例3】（23-24高三下·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接， 由N为的中点知， ．又，故，且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系． ， 不妨设， 则， 设平面的一个法向量为， ，取，则. 设直线与平面所成角为 . 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 重难点03 不规则几何体建系问题 常见的，轴选取的参考原则： ①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上； ②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件； ③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点． 【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略． 【典例1】（24-25高三上·广西来宾·月考）如图，在三棱柱中，为正三角形，四边形为菱形. (1)求证：平面； (2)若，且为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）设与交于点G，连接， 则由为正三角形可得， 又由四边形为菱形可得， 因为，平面， 所以平面. （2）由（1）可得， 又，，平面，所以平面， 取中点，连接，则由为正三角形可得， 因为，所以， 又平面，平面，所以， 取中点，连接，则，故且， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 由上是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【典例2】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）如图，已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图，分别取棱BC，DE的中点G，H，连接FG，GH，AH， 因为已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合． 所以所有棱长均相等，所以，， 又为正四棱锥，所以底面BCDE为正方形，所以， 由，平面， 所以平面，因为，所以平面， 由，，且，平面， 故平面，所以平面FGH与平面AHG重合， 即平面，而，所以，所以．    （2）由（1）可知，在平面AFGH中，，， 所以四边形AFGH为平行四边形，所以． 取棱AF的中点M，连接GM，AG，可得， 因为GM在平面AFGH中，所以，可得， 由平面，而平面， 得，则GH，BC，GM两两垂直． 设棱长为a，则，， 以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面BCF的一个法向量为， 则即， 令，则，，即平面BCF的一个法向量为， 又平面BCD的一个法向量为，， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 重难点04 空间向量新定义问题 面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合．明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式．在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题．对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明．同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象．最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对． 【典例1】（24-25高三上·山东蒙阴·月考）若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为与的混合积为．若，则与共面；若，则与异面．已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点． (1)证明：与是异面直线． (2)若点，求的长的最小值． (3)若为坐标原点，直线，求的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得， 因为， 所以，故与是异面直线． （2）设与都垂直的向量， 由，可取， 则的长的最小值为． （3）（方法一）由题意可设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取， 由，解得， 则． （方法二）由题意可设， ， 则， 由（2）得， 则，解得， 故． 【典例2】（23-24高三下·贵州贵阳·模拟预测）若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， (1)对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； (2)已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； (3)证明：对于中的任意两个元素，均有， 【答案】(1)①线性相关，②线性相关；(2)线性无关，理由见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）对于①，假设与线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，即， 可取，所以线性相关， 对于②，假设线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，得， 可取，所以线性相关. （2）假设线性相关， 则存在不全为零的实数， 使得， 则， 因为线性无关， 所以，得，矛盾， 所以向量线性无关. （3）设， 则， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当同时成立时，等号成立， 所以. 一、用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【典例1】（24-25高三上·广东雷州·月考）如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 【典例2】（24-25高三上·广东·月考）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为与的交点， 所以. 故选：D. 二、三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 【典例1】（23-24高三上·湖北荆州·月考）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 【典例2】（24-25高三上·山东蒙阴·月考）在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】∵， ∴． ∵， ∴． ∵四点共面， ∴，即． ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为1．故选：C 【典例3】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）四棱柱中，， 因为， 所以； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 三、空间向量数量积的应用 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。 【典例1】（24-25高三上·上海浦东新·月考）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】由条件可得，， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为： 【典例2】（24-25高三上·山东·月考）已知平行六面体的各棱长均为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，不妨取 则 因， 故 ，则.故选：A. 【典例3】（24-25高三上·云南昆明·月考）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，， 因为，所以直线与所成角即为与所成的角， 所以， 所以， 即，又因为， 所以，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B． 四、利用空间向量证明空间线面位置关系 1、利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 【典例1】（23-24高三下·吉林延边·一模改编）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为等边三角形，且侧面底面ABCD，，E，F分别为PA，BC的中点，G为AE的中点．证明：BG∥平面EFD； 【答案】证明见解 【解析】取的中点，连接， 因为侧面PAB为等边三角形，则， 由侧面底面ABCD，侧面底面，侧面， 可得底面ABCD， 如图，以为坐标原点，分别为轴所在直线， 过与平行的直线为轴所在直线，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，即， 且平面，所以BG∥平面EFD. 【典例2】如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 五、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【典例1】（24-25高三上·四川南充·月考）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 所以 设向量与的夹角为， 则， 所以直线和夹角的余弦值为，故选：C． 【典例2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·月考）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】在直三棱柱中，. 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，， 得， ， 因此， 由异面直线与所成角范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 六、用向量法求解直线与平面所成角的方法 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【典例1】（24-25高三上·广东普宁·二调）如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为. (1)证明：平面； (2)已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）四棱锥的底面为正方形，， 平面，平面， 平面， 平面，平面平面， . 又平面，平面， 平面. （2）如图所示，以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则有，，，，， 设，则有，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【典例2】（24-25高三上·山西忻州·月考）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）侧面为正方形，， 直三棱柱， 平面， 平面， 平面， 平面 平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 又由， 设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，于是， 又由， 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 七、利用向量法解二面角问题的策略 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【典例1】（24-25高三上·贵州遵义·月考）如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点F. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意可以为原点，和分别为轴、轴和轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 因为，且，， 所以， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，所以，取得， 所以，即，所以平面. （2）由（1）得，，平面的一个法向量为， 设是平面的一个法向量， 则，所以，取得， 设二面角的大小为，， 则， 所以二面角的正弦值为. 【典例2】（23-24高三下·海南海口·月考）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：取中点，连接， 为的中点，， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面， 平面； （2）平面平面，平面平面平面，平面， 取中点，连接，则平面， ， ， 又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成的夹角为， , 平面与平面所成的夹角的余弦为 八、利用空间向量求空间距离 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解． 【典例1】（23-24高三下·福建厦门·一模）已知平面的一个法向量为，且点在内，则点到的距离为 ． 【答案】 【解析】由题设，则点到的距离为. 故答案为： 【典例2】（24-25高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线BD到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，，所以，可得， 又为直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 且，平面，所以平面， 又平面，可得， 因为，所以； （2）由（1），以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立 空间直角坐标系，设， 则， ， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，， 因为平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为平面，平面， 所以平面，所以直线BD到平面的距离 可转化为点B到平面的距离，， . 易错点1 忽视零向量 点拨： 在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。 【典例1】（23-24高二上·陕西西安·期中）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中，，，则 【答案】BC 【解析】对于A，两个向量相等，但方向不一定相同，不能得到，A选项错误； 对于B，由正方体的结构特征可知，与长度相等，方向相同，有＝，B选项正确； 对于C，空间向量，，满足，， 即与长度相等方向相同，与长度相等方向相同， 则有与长度相等方向相同，有，C选项正确； 对于D，时，满足，，但不能得到，D选项错误. 故选：BC 易错点2 忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同 点拨： 两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系。 【典例1】（23-24高三下·全国·模拟预测）如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆上，若，，，则异面直线BD与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一 如图，设，则F为的中点，连接， 设线段的中点为G，连接FG，BG，则， 故（或其补角）为异面直线BD与所成的角．    因为，所以为等边三角形， ， ， 在中，由余弦定理可得， ， 在中，由余弦定理可得， 故异面直线BD与所成角的余弦值为． 解法二 以点为坐标原点，，所在直线分别为x，z轴， 下底面中与AB垂直的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，． 连接，则， 因为，所以是等边三角形， 故，则，， 故， 所以异面直线BD与所成角的余弦值为．故选：B． 易错点2 线面角与向量夹角转化不清等问题 点拨： 若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。 【典例1】（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，． (1)证明平面； (2)证明平面平面； (3)若，，与底面ABCD所成角为60°，求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）如图补全平行六面体，连接交于点，连接， 在平行六面体，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又所以平面，平面，所以平面. （2）因为底面是菱形，所以， 又因为，，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面. （3）， 因为截后的几何体体积为5，所以平行六面体体积为6， 又因为，，设平行六面体的高为， 所以，所以，， 以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴， 过O与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，则， 又因为，， 因为，所以， 所以，因为与底面ABCD所成角为， 平面ABCD的一个法向量为， 所以， 又，，由图可知，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取一个法向量， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为． 易错点4 二面角概念模糊 点拨：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围． 【典例1】（24-25高三上·四川成都·月考）已知三棱锥，D在平面上的射影为的重心O，，. (1)证明：； (2)E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图所示，连结并延长交于，因为O为△ABC的重心，所以是的中点， 又因为，所以由等腰三角形三线合一可得， 因为D在平面ABC上的射影为O，所以平面ABC， 又平面ABC，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， （2）由（1）知，面ABC， 过作轴平行于，则轴垂直于面ABC， 如图，以为轴，轴，建立空间直角坐标系， 在中，，由（1）知，， 故，得， 所以三棱锥A-BCD的体积为 ，则 因为为△ABC的重心，故， 则， 因为E为AD上靠近A的三等分点，所以， 故 设为平面的一个法向量， 则， 取，则，故， 易得是平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则为钝角， 所以， 所以二面角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 空间向量与立体几何 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 空间向量的线性运算及有关定理 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量； （2）相等向量：方向相同且模相等的向量； （3）相反向量：方向相反且模相等的向量； （4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量； （5）共面向量：平行于同一个平面的向量 2、空间向量的线性运算 （1）空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 空间向量加减法的运算律：交换律；结合律． （2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，． 的长度是的长度的倍． 空间向量数乘的运算律：分配律；结合律． 3、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得. （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使. （3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底． 知识点2 两个向量的数量积及其运算 1、空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]， 若，则称与互相垂直，记作. ②非零向量，的数量积． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律：； ②交换律：； ③分配律：. 2、空间向量数量积的坐标表示及其应用 设，， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 ，， 垂直 模 夹角 知识点3 空间中的平行与垂直的向量表示 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量． （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量． 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为， 直线l的方向向量为，平面α的法向量为 平面α，β的法向量分别为， 知识点4 利用空间向量求空间角 1、异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 2、直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则. 3、二面角 （1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a. （2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c. 知识点5 利用空间向量求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点， 过点作则平面的垂线，交平面于点， 则点到平面的距离为（如图）. 3、线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． （1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． （2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 重难点01 利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． 【典例1】（24-25高三上·江苏扬州·月考）如图，且且且，平面，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，说明理由． 【典例2】（24-25高三上·重庆·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，. (1)求B点到平面的距离. (2)线段上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【典例3】（23-24高二下·江苏南京·月考）如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点. (1)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 重难点02 利用空间向量解决最值范围问题 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解． 【典例1】（24-25高三上·云南玉溪·月考）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·福建·模拟预测）如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面平面． (1)证明：； (2)若点是圆上动点，求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 【典例3】（23-24高三下·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，. (1)若为的中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 重难点03 不规则几何体建系问题 常见的，轴选取的参考原则： ①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上； ②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件； ③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点． 【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略． 【典例1】（24-25高三上·广西来宾·月考）如图，在三棱柱中，为正三角形，四边形为菱形. (1)求证：平面； (2)若，且为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【典例2】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）如图，已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 重难点04 空间向量新定义问题 面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合．明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式．在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题．对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明．同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象．最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对． 【典例1】（24-25高三上·山东蒙阴·月考）若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为与的混合积为．若，则与共面；若，则与异面．已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点． (1)证明：与是异面直线． (2)若点，求的长的最小值． (3)若为坐标原点，直线，求的坐标． 【典例2】（23-24高三下·贵州贵阳·模拟预测）若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， (1)对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； (2)已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； (3)证明：对于中的任意两个元素，均有， 一、用基向量表示指定向量的方法 （1）结合已知向量和所求向量观察图形． （2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． （3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【典例1】（24-25高三上·广东雷州·月考）如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·广东·月考）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 【典例1】（23-24高三上·湖北荆州·月考）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【典例2】（24-25高三上·山东蒙阴·月考）在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【典例3】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，． (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 三、空间向量数量积的应用 1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。 【典例1】（24-25高三上·上海浦东新·月考）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 . 【典例2】（24-25高三上·山东·月考）已知平行六面体的各棱长均为，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高三上·云南昆明·月考）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A．1 B． C． D． 四、利用空间向量证明空间线面位置关系 1、利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 【典例1】（23-24高三下·吉林延边·一模改编）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAB为等边三角形，且侧面底面ABCD，，E，F分别为PA，BC的中点，G为AE的中点．证明：BG∥平面EFD； 【典例2】如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 五、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 【典例1】（24-25高三上·四川南充·月考）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·月考）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 六、用向量法求解直线与平面所成角的方法 如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 【典例1】（24-25高三上·广东普宁·二调）如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为. (1)证明：平面； (2)已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值. 【典例2】（24-25高三上·山西忻州·月考）如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 七、利用向量法解二面角问题的策略 1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【典例1】（24-25高三上·贵州遵义·月考）如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点F. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【典例2】（23-24高三下·海南海口·月考）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 八、利用空间向量求空间距离 （1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为． 【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解． 【典例1】（23-24高三下·福建厦门·一模）已知平面的一个法向量为，且点在内，则点到的距离为 ． 【典例2】（24-25高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线BD到平面的距离． 易错点1 忽视零向量 点拨： 在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。 【典例1】（23-24高二上·陕西西安·期中）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中，，，则 易错点2 忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同 点拨： 两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系。 【典例1】（23-24高三下·全国·模拟预测）如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，点E在圆上，若，，，则异面直线BD与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 易错点2 线面角与向量夹角转化不清等问题 点拨： 若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。 【典例1】（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，． (1)证明平面； (2)证明平面平面； (3)若，，与底面ABCD所成角为60°，求与平面所成角的余弦值． 易错点4 二面角概念模糊 点拨：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围． 【典例1】（24-25高三上·四川成都·月考）已知三棱锥，D在平面上的射影为的重心O，，. (1)证明：； (2)E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$