4.3 等比数列（十四大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

4.3　等比数列 课程标准 学习目标 1、通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2、探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 4、体会等比数列与指数函数的关系． 1、能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值． 2、能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式． 3、掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算． 4、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路． 5、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点01等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 知识点诠释： ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了． 【即学即练1】（2024·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 知识点02等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 知识点诠释： ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 【即学即练2】（2024·广西桂林·高二校考期中）已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于 . 知识点03等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义可得： ∴； ； ； …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出： （2）叠乘法： 根据等比数列的定义可得： ， ， ， …… ， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即 又a1也符合上式 ∴． （3）迭代法： ∴． 知识点诠释： ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴ ∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【即学即练3】（2024·全国·高二专题练习）已知数列的前项和，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 知识点04等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即学即练4】（2024·广西钦州·高二钦州一中校考期中）在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是 . 知识点05等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列． 【即学即练5】（2024·河南信阳·高二统考期末）已知等差数列、等比数列的前项和之积为，设等差数列的公差为、等比数列的公比为，以下正确的所有序号为 .①；②；③；④. 知识点06等比数列的前n项和公式 等比数列的前项和公式 推导过程： （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比数列的前n项和， ①当时，，； ②当时，由得： 所以或． 即 知识点诠释： ①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法． ②在求等比数列前项和时，要注意区分和． ③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练6】（2024·上海虹口·高二外附中校考阶段练习）若等比数列的前n项和为，且，，求 . 知识点07 等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【即学即练7】（2024·江苏南通·高二期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 知识点08 等比数列前n项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【即学即练8】（2024·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（    ） A．65 B．80 C．90 D．105 【方法技巧与总结】 等比数列常用的两种解题方法 1、基本量法（基本方法） （1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解； （2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁． 2、性质法（利用等比数列的性质解题） （1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量． 题型一：等比数列的判断 【典例1-1】（2024·高二·全国·随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【典例1-2】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 【方法技巧与总结】 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 【变式1-1】（2024·高二·全国·单元测试）下列各组数成等比数列的是（    ） ①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，， A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式1-2】（2024·高三·贵州毕节·期中）下列三个数依次成等比数列的是（    ） A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 【变式1-3】（2024·高二·陕西延安·阶段练习）下面各数列是等比数列的是（    ） （1），，，； （2）1，2，3，4； （3）x，x，x，x； （4），，，. A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（4） D．（1）（2）（4） 【变式1-4】（2024·高二·全国·课后作业）下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 题型二：等比数列的通项公式及其应用 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）在等比数列中，构成等差数列，且，则数列的通项公式为 ． 【典例2-2】（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知等比数列满足，且，，成等差数列，则 . 【方法技巧与总结】 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）在正项等比数列中，，则 ． 【变式2-2】（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【变式2-3】（2024·高二·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【变式2-4】（2024·高二·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 题型三：等比数列的证明 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【方法技巧与总结】 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【变式3-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列中，，，满足.求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【变式3-3】（2024·高二·全国·专题练习）在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【变式3-4】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 【变式3-5】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列. 题型四：等比中项及应用 【典例4-1】（2024·高二·上海·阶段练习）为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【典例4-2】（2024·高二·吉林·期末）若为等比数列，4和16为其中的两项，则4和16的等比中项为 . 【方法技巧与总结】 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【变式4-1】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则 ． 【变式4-2】（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为 . 【变式4-3】（2024·高二·辽宁沈阳·期末）若是与的等差中项，2是与的等比中项，则 ． 【变式4-4】（2024·高二·西藏林芝·期中）已知构成各项为正的等比数列，且则 . 【变式4-5】（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）在等比数列中，，，则 . 题型五：等比数列的实际应用 【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（   ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 【典例5-2】（2024·高二·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【方法技巧与总结】 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 【变式5-1】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高二·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【变式5-3】（2024·高二·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【变式5-4】（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 题型六：等比数列性质的应用 【典例6-1】（2024·高二·福建龙岩·开学考试）已知是公比为的等比数列，若，则 . 【典例6-2】（2024·高二·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 【方法技巧与总结】 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 【变式6-1】（2024·高二·全国·课后作业）在正项等比数列中，，则 ，公比 ． 【变式6-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列为等比数列，，则 ． 【变式6-3】（2024·高三·北京·开学考试）已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 【变式6-4】（2024·高二·安徽池州·期中）已知等比数列为递增数列，且，，则 ． 题型七：灵活设元求解等比数列问题 【典例7-1】（2024·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数． 【典例7-2】（2024·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数. 【方法技巧与总结】 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为． 推广到一般：奇数个数成等比数列设为， （2）四个符号相同的数成等比数列设为． 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为， （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为． 【变式7-1】（2024·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数． 【变式7-2】（2024·江苏·高二课时练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数． 【变式7-3】（2024·全国·高二专题练习）有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数. 【变式7-4】（2024·全国·高二课时练习）已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数． 题型八：等比数列前项和的有关计算 【典例8-1】（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ． 【典例8-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，且满足，则 ． 【方法技巧与总结】 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【变式8-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列是等比数列，，若，则 ． 【变式8-2】（2024·高二·全国·专题练习）等比数列的前项和为，满足，则的值是 . 【变式8-3】（2024·高二·上海·随堂练习）已知等比数列满足，，若的前n项和，则 ． 【变式8-4】（2024·高二·上海·随堂练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则 ． 【变式8-5】（2024·高二·江西景德镇·期末）记为等比数列的前项和，若，则公比为 . 题型九：等比数列前项和的性质 【典例9-1】（2024·高二·甘肃张掖·阶段练习）设等比数列的前项和为，则 . 【典例9-2】（2024·高二·江苏南通·期中）若是等比数列，且前项和为，则 . 【方法技巧与总结】 处理等比数列前项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【变式9-1】（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）设是等比数列的前项和，若，则 . 【变式9-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，则 ． 【变式9-3】（2024·高二·上海普陀·期中）若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为 . 【变式9-4】（2024·高二·湖北孝感·期中）已知等比数列的前项和，则 . 题型十：递推公式在实际问题中的应用 【典例10-1】（2024·高二·福建三明·期末）某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… (1)写出，，，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 【典例10-2】（2024·高二·河北保定·期末）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，……. (1)写出和，并求出与之间的递推关系式； (2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式. 【方法技巧与总结】 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论． 【变式10-1】（2024·高二·上海·随堂练习）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除． (1)设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？ (2)设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？ 【变式10-2】（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）2021年12月8日~11日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行.假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元；设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为． (1)请用一个递推关系式表示与之间的关系； (2)求的通项公式； (3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关． 【变式10-3】（2024·高二·上海·课堂例题）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【变式10-4】（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元． (1)写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列； (2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，） 题型十一：利用错位相减法求数列的前项和 【典例11-1】（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知数列的满足. (1)求数列的通项公式. (2)设数列前项和为，求. (3)证明：． 【典例11-2】（2024·高二·甘肃天水·阶段练习）已知数列满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【方法技巧与总结】 错位相减法的适用范围及注意事项 （1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和． （2）注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况． 【变式11-1】（2024·高二·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【变式11-2】（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）已知为等差数列，各项为正的等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式11-3】（2024·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，其中，且. (1)求的通项公式. (2)设，求的前项和. 题型十二：等比数列中与的关系 【典例12-1】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知为数列前项和，满足． (1)求； (2)若，数列的前项的和为，求． 【典例12-2】（2024·高二·广西贵港·期末）已知数列的前项和满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【方法技巧与总结】 与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【变式12-1】（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式12-2】（2024·高三·江苏宿迁·阶段练习）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【变式12-3】（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知数列的前n项和分别为，且， (1)求数列的通项公式 (2)求的通项公式 【变式12-4】（2024·高三·福建福州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式12-5】（2024·高二·云南保山·期末）已知在数列中，，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 题型十三：等比数列片段和的性质 【典例13-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，且，则 ． 【典例13-2】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）一个等比数列前项的和为，前项的和为，则其前项的和为 . 【方法技巧与总结】 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【变式13-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 【变式13-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 【变式13-3】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【变式13-4】（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）在等比数列中，前项和为，，，则 . 题型十四：等比数列的奇数项与偶数项和 【典例14-1】（2024·高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【典例14-2】（2024·高二·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【方法技巧与总结】 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【变式14-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【变式14-2】（2024·高二·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【变式14-3】（2024·高三·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 . 【变式14-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 1．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 2．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最大项为 3．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·高三·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A． B．129 C． D．130 8．（2024·高二·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 9．（多选题）（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）数列前n项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 10．（多选题）（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 11．（多选题）（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）设为等比数列的前n项和，若，则的公比可取的值为（   ） A． B． C． D．2 12．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则 ． 13．（2024·高二·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 14．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第n个图形的周长，记为第n个图形的面积，则 ， ． 15．（2024·高二·甘肃·期中）已知是递增的等比数列，，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，又，求数列的前项和. 16．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式. (2)设数列的前项和为，若，求. 17．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）数列满足为常数， (1)当时，记，求证：是等差数列，求的通项公式； (2)是否存在实数，使得数列成为等比数列，若存在，找出所有的，并求出对应的通项公式；若不存在，说明理由； 18．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求证：对于任意正整数， 19．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）已知函数，数列满足，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 20．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3　等比数列 课程标准 学习目标 1、通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2、探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 4、体会等比数列与指数函数的关系． 1、能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值． 2、能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式． 3、掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算． 4、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路． 5、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点01等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 知识点诠释： ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了． 【即学即练1】（2024·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【解析】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 知识点02等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 知识点诠释： ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 【即学即练2】（2024·广西桂林·高二校考期中）已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于 . 【答案】12 【解析】因为是2和4的等差中项，故 ， 正数是和的等比中项，故， 所以， 故答案为：12 知识点03等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义可得： ∴； ； ； …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出： （2）叠乘法： 根据等比数列的定义可得： ， ， ， …… ， 把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即 又a1也符合上式 ∴． （3）迭代法： ∴． 知识点诠释： ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴ ∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【即学即练3】（2024·全国·高二专题练习）已知数列的前项和，则的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，解得， 当时，， 则，即，， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以． 故选：C． 知识点04等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【即学即练4】（2024·广西钦州·高二钦州一中校考期中）在等比数列中，若、是方程的两根，则的值是 . 【答案】 【解析】对于方程，， 设等比数列的公比为，则，即、同号， 由韦达定理可得，则、均为负数，，， 由等比中项的性质可得，. 故答案为：. 知识点05等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列． 【即学即练5】（2024·河南信阳·高二统考期末）已知等差数列、等比数列的前项和之积为，设等差数列的公差为、等比数列的公比为，以下正确的所有序号为 .①；②；③；④. 【答案】④ 【解析】显然等比数列不是常数列， 设等差数列、等比数列的前项和分别为，，其中，，，为常数，，， 因为，即等差数列、等比数列的前项和之积为， 所以， 所以，所以，，，所以，，的值不确定， 故答案为：④. 知识点06等比数列的前n项和公式 等比数列的前项和公式 推导过程： （1）利用等比性质 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． （2）错位相减法 等比数列的前n项和， ①当时，，； ②当时，由得： 所以或． 即 知识点诠释： ①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法． ②在求等比数列前项和时，要注意区分和． ③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练6】（2024·上海虹口·高二外附中校考阶段练习）若等比数列的前n项和为，且，，求 . 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 因为，解得， 所以. 故答案为：. 知识点07 等比数列前n项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【即学即练7】（2024·江苏南通·高二期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，， 故选：C. 知识点08 等比数列前n项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【即学即练8】（2024·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为（    ） A．65 B．80 C．90 D．105 【答案】A 【解析】设数列的前n项和为，由等比数列的性质得，，成等比数列． ，，故45，，成等比数列， 故，解得． 故选：A. 【方法技巧与总结】 等比数列常用的两种解题方法 1、基本量法（基本方法） （1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解； （2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁． 2、性质法（利用等比数列的性质解题） （1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； （2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量． 题型一：等比数列的判断 【典例1-1】（2024·高二·全国·随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【解析】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 【典例1-2】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 【答案】A 【解析】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 故选：A 【方法技巧与总结】 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 【变式1-1】（2024·高二·全国·单元测试）下列各组数成等比数列的是（    ） ①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，， A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高三·贵州毕节·期中）下列三个数依次成等比数列的是（    ） A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 【答案】C 【解析】，A选项错误；，B选项错误. 因为，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确. ，D选项错误. 故选：C 【变式1-3】（2024·高二·陕西延安·阶段练习）下面各数列是等比数列的是（    ） （1），，，； （2）1，2，3，4； （3）x，x，x，x； （4），，，. A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（4） D．（1）（2）（4） 【答案】C 【解析】对于（1），公比为2，即为等比数列； 对于（2）由于，即（2）不是等比数列； 对于（3）当x＝0时，不是等比数列； 对于（4）公比为，即为等比数列. 故选：C. 【变式1-4】（2024·高二·全国·课后作业）下列数列一定是等比数列的是（    ） A．数列1，2，6，18，… B．数列中，， C．常数列，，…，，… D．数列中， 【答案】D 【解析】对于A，，，故不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列； 对于C，当时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列． 故选：D． 题型二：等比数列的通项公式及其应用 【典例2-1】（2024·高二·全国·课后作业）在等比数列中，构成等差数列，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 因为构成等差数列，可得，即，所以， 又因为，所以，解得， 则． 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知等比数列满足，且，，成等差数列，则 . 【答案】32 【解析】设等比数列的公比为， 由，可得，解得， 由，，成等差数列，可得， 即为， 解得，所以， 故答案为：32. 【方法技巧与总结】 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）在正项等比数列中，，则 ． 【答案】486 【解析】由得． 因为，所以， 所以，即， 所以，所以，故． 故答案为：486. 【变式2-2】（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中， (1)已知，求 (2)已知，求. 【解析】（1）设公比为，则，所以， 解得，由， 所以可知或； （2）设公比为q，由题意得：， 两式相除得：，所以， 又因为，所以， 解得. 【变式2-3】（2024·高二·全国·课前预习）在等比数列中： (1)若，，求和； (2)若，，求． 【解析】（1）因为，则，解得， 当时，； 当时，． 综上所述：或. （2）因为，则，即． 又因为，则，即． 两式相除得，所以． 【变式2-4】（2024·高二·西藏林芝·期中）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【解析】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 题型三：等比数列的证明 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列． 【解析】因为， 所以，则， 因为，所以， 所以，又， 所以数列为等比数列． 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，． (1)求，并猜想的通项公式（不需证明）； (2)证明：数列是等比数列． 【解析】（1）由得． 结合可猜想数列的通项公式为． （2）因为， 所以为正项递增数列，所以， 所以， 故数列是等比数列． 【方法技巧与总结】 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知在数列中，，判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【解析】不是等比数列， 因为，所以， 解得或． 又，所以，故或， 可取满足要求，不是等比数列. 所以数列不是等比数列． 【变式3-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列中，，，满足.求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【解析】∵，∴， ∴，即． ∵，∴． ∵，∴，∴， ∴数列为等比数列，首项为2，公比为2， ∴． ∵，∴． 【变式3-3】（2024·高二·全国·专题练习）在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【解析】（1）由于，所以． 又，所以． 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，所以． 【变式3-4】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列和满足，，，其中为常数，n为正整数. (1)证明：对任意实数，数列不是等比数列； (2)试判断数列是否为等比数列. 【解析】（1）∵且，∴，． 假设存在一个实数，使数列是等比数列， 则，即，即，得，矛盾． 故对任意实数，数列不是等比数列． （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，，此时数列不是等比数列； 当时，，此时，数列是等比数列． 【变式3-5】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，.设，求证：数列是等比数列. 【解析】由，，可得． 因为，，所以，， 所以是首项为1，公比为3的等比数列． 题型四：等比中项及应用 【典例4-1】（2024·高二·上海·阶段练习）为等差数列的前项和，，则与的等比中项为 . 【答案】 【解析】因为为等差数列，且， 所以， 所以， 解得， 所以与的等比中项为. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高二·吉林·期末）若为等比数列，4和16为其中的两项，则4和16的等比中项为 . 【答案】 【解析】令4和16的等比中项为，则. 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【变式4-1】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则 ． 【答案】5 【解析】因为，所以是与的等比中项，则， 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 综上所述：. 故答案为：5. 【变式4-2】（2024·高二·上海松江·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， 因为，且成等比数列，可得， 即，解得， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高二·辽宁沈阳·期末）若是与的等差中项，2是与的等比中项，则 ． 【答案】17 【解析】因为是与的等差中项，所以， 因为2是与的等比中项，所以，而. 故答案为：17 【变式4-4】（2024·高二·西藏林芝·期中）已知构成各项为正的等比数列，且则 . 【答案】4 【解析】因为构成各项为正的等比数列，所以，又， 所以，解得或（舍去）， 故答案为：. 【变式4-5】（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）在等比数列中，，，则 . 【答案】8 【解析】因为是等比数列， 所以， 故答案为：8. 题型五：等比数列的实际应用 【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（   ） A．80里 B．86里 C．90里 D．96里 【答案】D 【解析】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， ∴此人第二天走的路程为（里）． 故选：D 【典例5-2】（2024·高二·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【答案】B 【解析】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 【变式5-1】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（   ）升粟. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列， 设马主人应偿还升粟，则，解得， 所以马主人应偿还升粟. 故选：C 【变式5-2】（2024·高二·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【答案】C 【解析】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬． 故选：C． 【变式5-3】（2024·高二·广东湛江·期中）某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【解析】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 【变式5-4】（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【解析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗， 由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗. 故选：C. 题型六：等比数列性质的应用 【典例6-1】（2024·高二·福建龙岩·开学考试）已知是公比为的等比数列，若，则 . 【答案】25 【解析】因为 所以 故答案为：25 【典例6-2】（2024·高二·江苏·阶段练习）若数列是等比数列，且则 【答案】 【解析】等比数列中，，， 则． 故答案为：8． 【方法技巧与总结】 利用等比数列的性质解题 （1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． （2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量． 【变式6-1】（2024·高二·全国·课后作业）在正项等比数列中，，则 ，公比 ． 【答案】 1 2 【解析】因为正项等比数列中，，所以. 又，则， 又因为，所以，解得. 又因为，解得， 故公比． 故答案为：1；2. 【变式6-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列为等比数列，，则 ． 【答案】/ 【解析】由于， 则，所以． 故答案为： 【变式6-3】（2024·高三·北京·开学考试）已知等比数列满足：，，，则公比 ，的最小值为 . 【答案】 【解析】由，可得， 又因为，所以， 又因为， 即，解得； 因为，， 所以， 所以， 因为当或时，取小值， 所以取最小值， 即的最小值为. 故答案为：2； 【变式6-4】（2024·高二·安徽池州·期中）已知等比数列为递增数列，且，，则 ． 【答案】2 【解析】因为递增的等比数列中，，，且， 可知和是一元二次方程的两个根， 且，解得，， 可得，所以 故答案为：2. 题型七：灵活设元求解等比数列问题 【典例7-1】（2024·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数． 【解析】设前三个数为. 所以前三个数为 因为后三个数成等比数列， 所以， 所以或. 当时，不满足题意，所以舍去. 所以这四个数为. 【典例7-2】（2024·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数. 【解析】设四个数分别为a，b，c，d， 则，，，， 将代入得：， 将，代入得：， 将，代入得： ， 解得：或2， 当时，则，这与前三个数成等比数列，矛盾，舍去； 当时，解得：，，，故满足要求， 故这四个数为1,2,4,6. 【方法技巧与总结】 几个数成等比数列的设法 （1）三个数成等比数列设为． 推广到一般：奇数个数成等比数列设为， （2）四个符号相同的数成等比数列设为． 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为， （3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为． 【变式7-1】（2024·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数． 【解析】设四个数依次为、、、． 则，解得或． 故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，． 【变式7-2】（2024·江苏·高二课时练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数． 【解析】不妨设这三个数分别为、、，则这三个数的乘积为， 这三个数的平方和为，整理可得，解得或. 若，则这三个数分别为、、； 若，则这三个数分别为、、； 若，则这三个数分别为、、； 若，则这三个数分别为、、. 综上，这三个数分别为、、或、、或、、或、、. 【变式7-3】（2024·全国·高二专题练习）有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数. 【解析】设前三个数分别为、、，则第四个数为. 由题意得，解得或. 当，时，这四个数为、、、； 当，时，这四个数为、、、. 【变式7-4】（2024·全国·高二课时练习）已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数． 【解析】设四个数依次为a，aq，aq2，aq3， 则，解得或， 故所求四个数依次为或 题型八：等比数列前项和的有关计算 【典例8-1】（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ． 【答案】 【解析】设公比为，由题意得， 即， 所以，故， 解得. 故答案为：. 【典例8-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，且满足，则 ． 【答案】或 【解析】当时，由，所以， 当时，由，即， 即，解得或. 故答案为：或． 【方法技巧与总结】 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【变式8-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列是等比数列，，若，则 ． 【答案】 【解析】因为，可得，解得， 因为，可得， 即，化简得， 所以，解得． 故答案为：. 【变式8-2】（2024·高二·全国·专题练习）等比数列的前项和为，满足，则的值是 . 【答案】 【解析】由， 当时，， 两式相减得， 即，，因为数列是等比数列， 所以数列的公比， 由中，令，， 即，得， 所以. 故答案为：. 【变式8-3】（2024·高二·上海·随堂练习）已知等比数列满足，，若的前n项和，则 ． 【答案】5 【解析】设等比数列的公比为， 因为，，所以，解得， 所以. 因为，所以， 所以，解得， 故答案为：5. 【变式8-4】（2024·高二·上海·随堂练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】255 【解析】设等比数列的首项为，公比为，则显然， 因为， 所以，解得， 由，得， 所以. 故答案为：255. 【变式8-5】（2024·高二·江西景德镇·期末）记为等比数列的前项和，若，则公比为 . 【答案】/-0.5 【解析】由，可得， 即， 故答案为： 题型九：等比数列前项和的性质 【典例9-1】（2024·高二·甘肃张掖·阶段练习）设等比数列的前项和为，则 . 【答案】1 【解析】设等比数列的公比为， 由可知， 因为，， 所以，且，解得， 故答案为：1 【典例9-2】（2024·高二·江苏南通·期中）若是等比数列，且前项和为，则 . 【答案】 【解析】当时，，当时，， 所以， 又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列， 此数列的前项和，则的值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 处理等比数列前项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【变式9-1】（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】60 【解析】由题意， 因为成等比数列， 故， 即，解得， 则， 所以，. 所以. 故答案为：. 【变式9-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，则 ． 【答案】 【解析】解法一：当时，， 显然不合题意，可得； 当时，； 若为等比数列，则，且，解答； 解法二：因为， 设等比数列的公比为，由题可知，1， 因为等比数列的前项和（为常数，且）， 所以，得． 故答案为：. 【变式9-3】（2024·高二·上海普陀·期中）若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为 . 【答案】1 【解析】当时，，当时，， 所以， 又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列， 此数列的前项和，则的值为. 故答案为：1. 【变式9-4】（2024·高二·湖北孝感·期中）已知等比数列的前项和，则 . 【答案】 【解析】由已知，，， 成等比数列，则，解得， 此时，也适合， 所以，满足题意. 故答案为：， 题型十：递推公式在实际问题中的应用 【典例10-1】（2024·高二·福建三明·期末）某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，… (1)写出，，，并证明数列是等比数列； (2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？ 【解析】（1），， ， 因为，所以， 又，所以是首项为3，公比为的等比数列； （2）由（1）得， 故，令，解得， 其中， 所以，所以， 故至少需要在年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元. 【典例10-2】（2024·高二·河北保定·期末）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，……. (1)写出和，并求出与之间的递推关系式； (2)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式. 【解析】（1），， ， （2）证明： 是以50为首项，为公比的等比数列. ， 【方法技巧与总结】 用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论． 【变式10-1】（2024·高二·上海·随堂练习）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除． (1)设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？ (2)设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？ 【解析】（1）由题意可知，使用策略A时，； 使用策略B时，， 令， 即当时，使用策略B第二周严重程度更小； 当时，使用两种策略第二周严重程度一样； 当时，使用策略A第二周严重程度更小； （2）由（1）知，最优策略为策略B， 即，， 所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列， 所以，即， 令，可得， ，所以虫害最快在第9周解除． 【变式10-2】（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）2021年12月8日~11日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行.假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元；设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为． (1)请用一个递推关系式表示与之间的关系； (2)求的通项公式； (3)预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关． 【解析】（1）由题意可得． （2）， ， ，， 所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 故，即． （3）由（2）可知． 令，则, 由于,故， 所以预计2025年株洲轨道产业的年利润将首次突破干亿元大关． 【变式10-3】（2024·高二·上海·课堂例题）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【解析】（1）由题意得 ， 所以． （2）由（1）得， ． 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， 即． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， ， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 【变式10-4】（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元． (1)写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列； (2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，） 【解析】（1）由题意知． 即，所以． 由题意知， 所以数列的首项为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知数列的首项为1500，公比为． 所以，所以． 当，得． 两边取常用对数得，所以， 所以，因为，所以． 即至少经过年，该项目的资金达到翻一番． 题型十一：利用错位相减法求数列的前项和 【典例11-1】（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知数列的满足. (1)求数列的通项公式. (2)设数列前项和为，求. (3)证明：． 【解析】（1）， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）由题意， 从而 ； （3）， 当时，， 当时，， 当时， . 【典例11-2】（2024·高二·甘肃天水·阶段练习）已知数列满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1）证明：因为，所以， 又， 所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即， 所以， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 【方法技巧与总结】 错位相减法的适用范围及注意事项 （1）适用范围：它主要适用于是等差数列，是等比数列，求数列的前项和． （2）注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出与的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出的表达式． ②利用此法时要注意讨论公比是否等于1的情况． 【变式11-1】（2024·高二·河北邯郸·期末）已知数列中． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； 【解析】（1）由，得，即， 又，有， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则有， ， ， ①-②得 ， ，即. 【变式11-2】（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）已知为等差数列，各项为正的等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【解析】（1）由已知，设公差为，则，解得， 所以， 又，公比为，所以； （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， 所以． 【变式11-3】（2024·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，其中，且. (1)求的通项公式. (2)设，求的前项和. 【解析】（1）由，可得，则， 两式相减，可得，即， 又由，易知， 所以当时，， 所以数列的通项公式为. （2）因为，可得， 则， 所以， 两式相减得 ， 所以. 题型十二：等比数列中与的关系 【典例12-1】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知为数列前项和，满足． (1)求； (2)若，数列的前项的和为，求． 【解析】（1）因为满足①， 当时，②， ①式减②式得：，即， 当时，，所以， 所以数列从第二项起是首项为3，公比为2的等比数列， 所以， 因为，不满足上式， 所以. （2）由， 当时，， 当时，③， ④， ③式减④式得： ， 所以， 所以. 【典例12-2】（2024·高二·广西贵港·期末）已知数列的前项和满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）当时，， 当时，由，得， 则， 因为，所以； （2）由（1）可知，， 则， 则， 则 ， 所以． 【方法技巧与总结】 与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 【变式12-1】（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）证明：， 时，，相减可得：，可得． 时，，解得． 数列为等比数列，首项，公比为． ． （2）由（1）可得，， 数列的前项和， ， 相减可得， 化为得． 【变式12-2】（2024·高三·江苏宿迁·阶段练习）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【解析】（1）当时，，两式相减得，， 又，，． 所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以． （2）证明：， 因为， 所以 ， 因为，所以． 【变式12-3】（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知数列的前n项和分别为，且， (1)求数列的通项公式 (2)求的通项公式 【解析】（1）因为，令，可得，则， 当时，， 所以，化简得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由，可得， 则， 所以， 两式相减得， 即， 故. 【变式12-4】（2024·高三·福建福州·开学考试）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【解析】（1）法一：由，得 设等比数列的公比为q， 所以 解得或（舍去）． 所以． 法二：因为，① 所以当时，，② ①－②得， 所以等比数列的公比． 由①式得，得， 所以． （2）法一：， 故，， 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 法二： ． 【变式12-5】（2024·高二·云南保山·期末）已知在数列中，，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，当时，有， 两式相减得：， 所以. 又， 所以数列是首项，公比的等比数列， 所以通项公式为 （2）由（1）知， 所以， 从而， 两式相减得 所以. 题型十三：等比数列片段和的性质 【典例13-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项和为，且，则 ． 【答案】42 【解析】由等比数列满足，可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也为等比数列， 即，可得，解得． 故答案为：. 【典例13-2】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）一个等比数列前项的和为，前项的和为，则其前项的和为 . 【答案】 【解析】由题意可知：，且为等比数列， 则，即，解得, 所以其前项的和为52. 故答案为：52. 【方法技巧与总结】 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【变式13-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 【答案】 【解析】由题意得，则， 因为，，成等比数列，故， 即，解得， 故. 故答案为：. 【变式13-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由数列为等比数列， 当时，，则，此方程无解， 法一： 当时，， 所以，化简可得， 所以； 法二： 由等比数列可知当时，，不满足题意， 且当时，，，仍成等比数列， 即， 即， 解得， 故答案为：. 【变式13-3】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【答案】210 【解析】由等比数列的性质可得：，，也成等比数列， 所以，即. 所以. 故答案为：210 【变式13-4】（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）在等比数列中，前项和为，，，则 . 【答案】1270 【解析】由题意得成等比数列， 故成等比数列， 从而，解得， 同理可得，解得， ，解得， ，解得， ，解得. 故答案为：1270 题型十四：等比数列的奇数项与偶数项和 【典例14-1】（2024·高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【解析】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 【典例14-2】（2024·高二·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 【方法技巧与总结】 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 【变式14-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【解析】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 【变式14-2】（2024·高二·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【解析】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 【变式14-3】（2024·高三·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 . 【答案】120 【解析】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 【变式14-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为， 则， 所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：. 1．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）设等比数列前n项和为，且，，则的最大值为（    ） A．32 B．16 C．128 D．64 【答案】D 【解析】设该等比数列的公比为， 因为，所以， 由， ， 即， 显然当，或时，最大，最大值为， 故选：D 2．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】C 【解析】对于A，若，因为，则，，不满足， 若，因为，则，，不满足， 显然， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，，且，所以，故B正确，C错误； 对于D，由等比数列可得当时，，当时，，所以的最大项为，故D正确； 故选：C. 3．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知是等比数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 因为为等比数列，，所以， 可得：，， 易知构成首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A. 4．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列中，存在，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，结合等比数列的性质可得， 则， 当且仅当时等号成立，又，所以， 因为，所以等号取不到， 设，则， 设函数，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由以上可得不成立，则2两侧满足条件的数值有，此时， 以及，此时， ，， 因为，所以的最小值为， 所以的最小值为， 故选：B. 5．（2024·高三·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 当等比数列的公比时，，显然不合题意； 所以，等比数列为常数列，所以可设，，， 所以可得，故C正确. 故选：C. 6．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得数列为类周期数列，且以变化， 而，，，，…， 则． 故选：A 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，且，则（    ） A． B．129 C． D．130 【答案】C 【解析】因为，所以， 则，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以． 故选：C. 8．（2024·高二·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解析】由题得，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以，即，故的最大值为9． 故选：A. 9．（多选题）（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）数列前n项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】对于A：，正确； 对于B: ，有， 两式相加，得，又， 所以，为偶数 由，得：，也即，为奇数， 所以，正确； 对于C:由B可知： ， 则，错误. 对于D：数列的前项和记为， ，正确 故选：ABD 10．（多选题）（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答案】AD 【解析】∵， ∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则， ∴，故B错误； 因为， 所以为递减数列， 故C错误； 所以数列的前n项和为： ，故D正确. 故选：AD. 11．（多选题）（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）设为等比数列的前n项和，若，则的公比可取的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】AB 【解析】因为，所以. 当时，，显然不满足； 当时，有，此时，不符合题意； 当时，， 又，所以，解得. 故选：AB 12．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知集合中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数列和一个等比数列，则 ． 【答案】5 【解析】因为，所以是与的等比中项，则， 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 若，则为与的等差中项，可得，解得，， 所以； 综上所述：. 故答案为：5. 13．（2024·高二·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以数列是一个等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 14．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，记为第n个图形的周长，记为第n个图形的面积，则 ， ． 【答案】 【解析】设第个图形的边长为 由题意知，从第2个图形开始，每一个图形边长均为上一图形边长的，即， 是一个以1为首项，为公比的等比数列 从第2个图形开始，每一个图形的边数都是上一个图形边数的4倍， 第个图形边数为：，设 第个图形的周长为：； （2）设第个图形的面积为，则 故第个图形的面积为：. 故答案为：； 15．（2024·高二·甘肃·期中）已知是递增的等比数列，，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，且满足，又，求数列的前项和. 【解析】（1）记数列的公比为，由题知，即， 解得或， 又是递增的等比数列，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）当时，，得 当时，，整理得， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，得， 又，所以， 所以 16．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，. (1)求数列的通项公式. (2)设数列的前项和为，若，求. 【解析】（1）数列为等比数列，设公比为， ，，则， 则，解得，所以，则. （2）数列为等差数列，设公差为， 由（1）知，， 则，解得：， 则. 17．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）数列满足为常数， (1)当时，记，求证：是等差数列，求的通项公式； (2)是否存在实数，使得数列成为等比数列，若存在，找出所有的，并求出对应的通项公式；若不存在，说明理由； 【解析】（1）当时，数列满足， 两边除以得， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，则. （2）假设存在实数，使得数列成为等比数列， 而， 则， 由得，整理得. 所以，， ， 也符合上式，所以， 则，所以数列是等比数列. 所以存在实数，使得数列成为等比数列, 且. 18．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)求证：对于任意正整数， 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，， 则 ， 解得， 所以； （2）由，得， 则，，， 所以以为首项，为公比的等比数列， 故，则. （3）当时，， . 19．（2024·高二·江苏镇江·阶段练习）已知函数，数列满足，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【解析】（1）因为函数， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有； （2）由（1）可知：， 所以 （3）由（2）可知：， 所以由， 因为， 所以由， 设， 由， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有， 因此实数k的最大值. 20．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）因为知数列满足：，且， 由，可得， 由，可得， 由，可得. （2）由可得，且， 所以，数列是公比和首项都为的等比数列， 所以，，故. （3）设等差数列的公差为，且， 因为，可得， 因为、、成等比数列，即， 因为，解得，所以，， ， 且数列的前项和为，则数列单调递增，所以，， 因为， 综上所述，对任意，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$