精品解析： 2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中复习试卷

九年级上学期数学期中复习试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 一个几何体如图水平放置，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为（　　） A. B. C. D. 3. 方程的解是（　　　） A. B. C. D. 无实数根 4. 已知反比例函数，下列各点中，在此函数图象上的点的是（ ） A. （，1） B. （2，2） C. （1，2） D. （2，） 5. 在中，，，，下列四个选项，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，，，则DE的长度是（ 　 ） A. 6 B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形对角线相交于点O，点E在边上，点F在上，过点E作，垂足为点G，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（ ） A 96 B. 88 C. 86 D. 98 10. 已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是（ ） ①至少存一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能化简结果共有8种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 若，则_________． 12. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 13. 已知是关于x的方程的一个根，则______． 14. 如图，线段BD、CE相交于点A，DE∥BC．如果AB＝4，AD＝2，DE＝1.5，那么BC的长为_____． 15. 如图，点，反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，点E在上，，的面积为10，则点E的坐标是_____． 三、解答题 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，在中，连接． （1）用直尺和圆规过点B作的垂线，交线段的延长线于点E，连接，要求尺规作图（用基本工具作图，要保留作图痕迹，不写作法，不写结论）． （2）若，求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴_________________， ∵在中，， ∴， ∴_________________， ∴， ∵， ∴_________________， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为 _________________， ∵， ∴四边形为菱形（__________________________________）． 18. 在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86 抽取的七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图 抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78．9 79 八年级 78．9 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______________________，____________． （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）． （3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 19. 甲、乙两支队伍计划自驾去旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程1600千米，乙队走路线，全程2000千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的1.5倍，这样乙队用以比甲队提前1天到达目的地． （1）求甲、乙两队分别多少天到达目的地？ （2）在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为336元．甲队最开始计划有13个人同行，计划每人每天花费400元，后来又有若干个人一起加入甲队，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少40元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费48000元，后来有多少人加入甲队？ 20. 居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的倍息解答下列问题： （1）本次被抽查的居民人数是　 　人，将条形统计图补充完整． （2）图中∠α的度数是　 　度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有人 （3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 21. 如图，正方形中，，E上一点，过E作交于点F，连接． （1）证明：． （2）当时，求的长． 22. 2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元． （1）求该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率． （2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？ 23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求点C的坐标和的面积． （3）直接写出不等式的解集． 24. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 25. 如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标； （3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期数学期中复习试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 一个几何体如图水平放置，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握主视图的定义是解题关键． 2. 已知a，b，c，d是成比例线段，若，则d的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例线段．注意根据题意构造方程是关键．根据比例的性质即可得到结论． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：C． 3. 方程的解是（　　　） A. B. C. D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答. 【详解】解：由x(x一2)=0得：x=0或x﹣2=0， 解得、x1=0，x2=2， 故选：B. 【点睛】本题考查解一元二次方程，会利用因式分解法解一元二次方程是解答的关键. 4. 已知反比例函数，下列各点中，在此函数图象上的点的是（ ） A. （，1） B. （2，2） C. （1，2） D. （2，） 【答案】D 【解析】 【分析】分别将各点的坐标代入关系式，成立即符合题意，验证即可． 【详解】解：对于A，将，代入，得，所以该点不在函数图像上； 对于B，将，代入，得，所以该点不在函数图像上； 对于C，将，代入，得，所以该点不在函数图像上； 对于D，将，代入，得，所以该点在函数图像上． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象上的点，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键． 5. 在中，，，，下列四个选项，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】解：如图，根据勾股定理得：， ∴，，，， ∴C正确，A、B、D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键． 6. 如图，，若，，，则DE的长度是（ 　 ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例是，代入求出即可． 【详解】解∶∵， ∴DF=DE+4， ∵， ∴， ∵，，DF=DE+4， ∴， ∴DE=， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握抛物线开口、对称轴、与x轴y轴交点等与a、b、c的关系是解题的关键． 由抛物线开口方向，对称轴位置可判断A、B，由时可判断C，由抛物线与x轴交点以及b的范围可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故A正确，不符合题意； 由函数图象得抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴，故选项B错误，符合题意； 由图象可得时， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在上，过点E作，垂足为点G，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，可得，再利用等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 9. 下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（ ） A. 96 B. 88 C. 86 D. 98 【答案】A 【解析】 【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解． 【详解】解：第①个图形中三角形有：（个）， 第②个图形中三角形有：（个）， 第③个图形中三角形有：（个）， ， 依此类推，第个图形中三角形有（个）， 所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个）， 所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）． 故选：A． 【点睛】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键． 10. 已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减法运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如：，等，下列结论正确的个数是（ ） ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与原多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的意义求解． 【详解】解：①， 故①正确； ②， 则，添绝对值变为16，则之和为0， 故②正确； ③， 可得：的符号不变，、、、的符号会发生变化， 列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种， 故③正确， 综上，正确的有①②③海，共3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，理解新定义及绝对值是的意义是解题关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 12. 时光飞逝，十五六岁我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵口袋中有6个小球，分别为2个红球和4个绿球， ∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，牢记概率公式是求解本题的关键，难度较小． 13. 已知是关于x的方程的一个根，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，将代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：把是关于x的方程 得：， 解得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了是一元二次方程的根，解题的关键是将方程根代入原方程得到关于m的一元一次方程． 14. 如图，线段BD、CE相交于点A，DE∥BC．如果AB＝4，AD＝2，DE＝1.5，那么BC的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由DE∥BC可证△CAB∽EAC，然后根据相似三角形的对应边成比例列式即可求出BC的值. 【详解】∵DE∥BC, ∴△CAB∽EAC， ∴ , ∴. 故答案为3. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似. 15. 如图，点，反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，点E在上，，的面积为10，则点E的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 用待定系数法求得m，n的值，从而得出k，设，则，，根据，得出x的值，即可得出点E坐标． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ，， 将代入得：， 则反比例解析式为； 设，则，， 轴，轴， ， 连接，， 则 ， 解得：， 则． 故答案为． 三、解答题 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用整式的混合运算法则即可求解． （2）利用分式的混合运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算及分式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 17. 如图，在中，连接． （1）用直尺和圆规过点B作的垂线，交线段的延长线于点E，连接，要求尺规作图（用基本工具作图，要保留作图痕迹，不写作法，不写结论）． （2）若，求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴_________________， ∵在中，， ∴， ∴_________________， ∴， ∵， ∴_________________， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为 _________________， ∵， ∴四边形为菱形（__________________________________）． 【答案】（1）见解析 （2），，，平行四边形，邻边相等的平行四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）如图，以为圆心，适当长为半径画弧，交、的延长于，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交点为，连接，交的延长线于，连接即可； （2）按照步骤进行作答即可． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）． 故答案为：，，，平行四边形，邻边相等的平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查了作垂线，平行四边形判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18. 在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86 抽取七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图 抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78．9 79 八年级 78．9 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______________________，____________． （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）． （3）若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 【答案】（1）82，85，24 （2）八年级学生的劳动能力更强；理由见解析 （3）该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩，由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个，即可求出a；根据抽取的八年级学生成绩在、组共有17人，求出八年级B组和C组学生人数所占百分比，即可求出m；求出八年级A、D两组组学生人数，根据题意可得：成绩为85分的有7人，即可求出b； （2）根据表格中数据进行分析即可； （3）用该校七、八年级总人数乘以抽取的七八年级学生中成绩为优秀的人数所占百分比即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得：七年级抽取25名学生的测试成绩， ∴七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩， 由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个， 将抽取的七年级学生成绩在组的全部数据排序为：81、81、82、83、84、84、86、87、88、89， ∴七年级第13名学生测试成绩为82，即； 根据题意可得：抽取的八年级学生成绩在、组共有17人， ∴八年级B组和C组学生人数所占百分比为：， ∴八年级D组学生人数所占百分比为：，则； ∴八年级A组学生人数：（人），八年级D组学生人数为：（人）， 根据抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据可得：成绩为85分的有7人，是B、C两组中出现次数最多的，且大于A、D两组人数， ∴八年级学生测试成绩众数为85，即； 故答案为：82，85，24； 【小问2详解】 解：八年级学生的劳动能力更强，理由：七年级和八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级学生测评成绩的中位数和众数都高于七年级，故八年级学生的劳动能力更强； 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀． 【点睛】本题主要考查了根据统计图获取信息，求中位数和众数，用样本估计总体，解题的关键是掌握中位数和众数的定义，用样本估计总体的方法． 19. 甲、乙两支队伍计划自驾去旅游．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地汇合．甲队走路线，全程1600千米，乙队走路线，全程2000千米，由于路线高速公路较多，乙队平均每天行驶的路程是甲队的1.5倍，这样乙队用以比甲队提前1天到达目的地． （1）求甲、乙两队分别多少天到达目的地？ （2）在他们的旅行计划中，乙队每人每天的平均花费始终为336元．甲队最开始计划有13个人同行，计划每人每天花费400元，后来又有若干个人一起加入甲队，经过计算，甲队实际每增加1人时，每人每天的平均花费将减少40元．若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同，且旅行天数与各自原计划天数一致，两队共需花费48000元，后来有多少人加入甲队？ 【答案】（1）甲队花了6天到达目的地，乙队花了5天 （2）后来有7人加入甲队 【解析】 【分析】（1）设甲队花了x天到达，则乙队花了天，由题意，列出分式方程求解即可得到答案； （2）设后来有人加入甲队，由题意，列一元二次方程方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲队花了x天到达，则乙队花了天，由题意可得 ，解得， 经检验，为原方程的解且符合题意， ∴（天）， 答：甲队花了6天到达目的地，乙队花了5天； 【小问2详解】 解：设后来有人加入甲队，由题意可得 ， 整理得，即， 解得∴，（舍去） 答：后来有7人加入甲队． 【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． 20. 居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A，非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的倍息解答下列问题： （1）本次被抽查的居民人数是　 　人，将条形统计图补充完整． （2）图中∠α的度数是　 　度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有人 （3）据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）40，见解析；（2）54，对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人；（3）见解析，． 【解析】 【分析】（1）用A层次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出C层次的人数，然后补全条形统计图； （2）用A层次的人数所占的百分比乘以360°得到∠α的度数；用3000分别乘以样本中A、B层次的人数所占的百分比，用它们的和可估计出小区对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的人数； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解． 详解】解：（1）12÷30%＝40， 所以本次被抽查的居民人数是40人， C层次的人数为40﹣6﹣12﹣8＝14（人）， 条形统计图补充为： （2）∠α＝360°×＝54°， 3000×＝1350， 所以估计对“广场舞”表示赞同（包括A层次和B层次）的大约有1350人； 故答案为40；54； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2， 所以恰好选中甲和乙的概率＝＝． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，正方形中，，E是上一点，过E作交于点F，连接． （1）证明：． （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法，求证即可； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 22. 2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元． （1）求该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率． （2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？ 【答案】（1） （2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入能达到4200元 【解析】 【分析】（1）设该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率为x，得，解关于x的一元二次方程，取其正值即可得出结论； （2）利用该家庭2023年家庭年人均纯收入=该家庭2022年家庭年人均纯收入×(1+增长率)，可求出该家庭2023年家庭年人均纯收入，再将其与4200比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率为x，根据题意得， ， 解得：（舍去）， 该家庭2022年到2022年人均收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 元， ， 若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入能达到4200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系：该家庭2022年家庭年人均纯收入=该家庭2020年家庭年人均纯收入，正确列出一元二次方程． 23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求点C的坐标和的面积． （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式：，一次函数解析式： （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出m的值，然后求出点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入一次函数利用待定系数法求解即可； （2）令一次函数即可求出点C的坐标，利用代入数据求解即可； （3）根据题意得到不等式的解集即为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，根据A，B两点的横坐标求解即可． 【小问1详解】 将代入，得到， ∴反比例函数解析式为； 将代入，得， ∴ 将，代入 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 在，令，即， 解得， ∴点， ∴ ； 【小问3详解】 由图象可得，的解集为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围， ∴或； 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积问题，图象法解不等式问题等知识，解题的关键是正确利用数形结合思想解题． 24. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 25. 如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标； （3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或 P（0，﹣1） 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解； （2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解. 【详解】（1）把点A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2， ∴A（1，2）， 把A（1，2）代入反比例函数y=， ∴k=1×2=2； ∴反比例函数的表达式为； （2）∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C， ∴C（3，0）， 设P（x，0）， ∴PC=|3﹣x|， ∴S△APC=|3﹣x|×2=5， ∴x=﹣2或x=8， ∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）； （3）存在， 理由如下：联立， 解得：或， ∴B点坐标为（2，1）， ∵点P在y轴上， ∴设P（0，m）， ∴AB=，AP=，PB=, 若BP为斜边， ∴BP2=AB2+AP2 ， 即 =2+， 解得：m=1， ∴P（0，1）； 若AP为斜边， ∴AP2=PB2+AB2 ， 即 =+2， 解得：m=﹣1， ∴P（0，﹣1）； 综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）. 【点睛】此题考查一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与动点构成的三角形面积问题，勾股定理，直角三角形的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$