精品解析：湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

荆州中学2024～2025学年高一上学期十月月考 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，与函数是相等函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果. 【详解】的定义域为； 对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确； 对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：B. 2. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键. 3. 下列说法正确的是 A. 定义在上的函数，若存在，，且，满足，则在上单调递增 B. 定义在上的函数，若有无穷多对，，使得时，有，则在上单调递增 C. 若在区间上单调递增，在区间上也单调递增，那么在上也一定单调递增 D. 若在区间上单调递增且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据递增函数的概念以及特征，可判断ABD选项，根据特殊值法，可判断C选项，进而可得出结果. 【详解】对于选项A，B，根据增函数的概念可知，应是：对于任意的，，且，满足，则在上单调递增；故A，B错误； 对于选项C，函数为，，显然在和上都是增函数，但整体不是增函数，故C错误； 对于选项D，根据单调函数的性质，在区间上单调递增，即随增大而增大，因此，由，可得. 【点睛】本题主要考查与增函数相关命题的判定，熟记增函数的概念即可，属于常考题型. 4. 已知函数为奇函数，则等于 （　　） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出即可得解. 【详解】设，则， 所以， 所以， 又当时，， 所以，故， 故选：D 5. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的对称轴为，根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围 【详解】，其对称轴为 若函数在区间上是单调增函数，则，∴ 若函数在区间上是单调减函数，则，∴ 所以，实数k的取值范围是. 故选：A. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集为可求得间的关系,再代入,化简根据分式不等式的方法求解即可. 【详解】因为不等式的解集为,故,且-2,3为的两根. 由根据韦达定理有,. 故即,故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次不等式解集的区间端点与系数的关系,同时也考查了分式不等式的求解,属于中档题. 7. “关于的不等式的解集为”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出关于的不等式的解集为的充要条件，即可判断. 【详解】若关于的不等式的解集为， 当时，，显然成立； 当时，则，解得； 综上可得. 即关于的不等式的解集为的充要条件为， 因为， 所以关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件可以是. 故选：C 8. 设正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值． 【详解】∵正数满足， ∴，且，则，， 设，，则，，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】令，利用换元法求得函数解析式，并求出定义域，可判断A，令代入解析式可判断B，根据抽象函数定义域的求法可判断C，D. 【详解】对于A，令，则， 则， 即，因此A错误； 对于B，由，则，因此B正确； 对于C，的定义域为，则中，即， 故的定义域为，因此C正确； 对于D，的定义域为，则中，即， 故的定义域为，因此D错误； 故选：BC. 10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质可得，即可根据选项逐一求解. 【详解】由已知可得， 对于A项，，所以，由及不等式性质得，故A成立. 对于B项，，因为，所以， 当时，，即，故B项不一定成立. 对于C项，当时，，所以；当时，成立，故C项一定成立. 对于D项，由，，得，所以，故D项一定成立. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的值域为 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用代入法，结合奇函数、单调性的定义逐一判断即可. 【详解】在中， 令，得，或， 在中，令，得， 因为时，，所以， 显然由，因此，因此选项A正确； 因为，所以函数不可能为奇函数，因此选项B不正确； 在中，令， 所以有， 当时，所以时，因此由， 而，所以的值域为，因此选项C正确； 设，显然，即有成立， 因为， 所以由，而， 所以由， 因为的值域为，所以， 因此由， 即在上单调递增，所以选项D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用代入法根据函数单调性的定义进行判断函数的单调性. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列方程组即可得解. 【详解】依题意，，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 又， 所以，即， 两式相加得. 故答案为： 13. 当时，有解，则实数的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为关于m的一次不等式小于0有解，根据对应的一次函数为增函数，列出不等式即可得解. 【详解】当时，有解， 即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数，若对任意的，恒有，则实数的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得函数图象，即可得到函数在上为减函数，又由，则，则有在，上恒成立，进而可得在，上恒成立，根据一次函数的性质得到，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】解：因为，函数图象如下所示： 由图可知函数在定义域上单调递减，且， 不等式在恒成立， 即在恒成立， 即有，解得，所以的最大值为； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，命题其中一个是真命题，一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求得，由充分条件定义可构造不等式组求得结果； （2）分别在真假和假真两种情况下求得的范围，综合可得结果. 【小问1详解】 由得：，即； 是的充分条件，，解得：，实数的取值范围为； 【小问2详解】 当时，； 当真假时，解集为；当假真时，或； 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知二次函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）①当时，不等式的解集为；②当时，不等式的解集为；③当时，不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案. （2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 注意到， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 ①当时，在上单调递增， 所以. ②当，即时，. ③当，即时，在上单调递减， 所以， 综上可得. 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为3680万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【小问1详解】 因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． 【小问2详解】 ①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 18. 已知函数是定义域为上的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出，得到函数解析式，再验证即可； （2）任取，且，作差比较与，进而可根据单调性定义判断出结果； （3）根据函数单调性，结合题中条件列出不等式组求解，即可得出结果. 【小问1详解】 因为是定义域为上的奇函数， 所以，即，解得，所以， 又，所以是奇函数，符合题意； 【小问2详解】 任取，且， 则， 因为，所以，， 因此，即， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 由得， 因为在上单调递增； 所以，解得. 故原不等式的解集为. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“依赖函数”；理由：是“依赖函数”，对于函数的定义域内任意， 若，则， 对任意，都有唯一的的倒数使得等式成立，故是“依赖函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由进行判断. （2）根据函数的单调性列方程，结合“依赖函数”的知识求得. （3）根据函数的单调性列方程，化简不等式，利用判别式来求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，在是严格增函数， 故，即， 由，得，又，所以， 解得，故. 【小问3详解】 因，故在上单调递增， 从而，即，进而， 解得或舍， 从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立， 故，即， 整理，得对任意的恒成立. 即方程无实根或有两个相等的实根， 所以，解得，即实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2024～2025学年高一上学期十月月考 数学试题 （全卷满分150分 考试用时120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，与函数是相等函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是 A. 定义在上的函数，若存在，，且，满足，则在上单调递增 B. 定义在上的函数，若有无穷多对，，使得时，有，则在上单调递增 C. 若在区间上单调递增，在区间上也单调递增，那么在上也一定单调递增 D. 若在区间上单调递增且，则 4. 已知函数为奇函数，则等于 （　　） A. B. 1 C. 0 D. 5. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. “关于的不等式的解集为”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的定义域为 10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的值域为 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则______. 13. 当时，有解，则实数的取值范围是___. 14. 已知定义在上的函数，若对任意的，恒有，则实数的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）若是的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，命题其中一个是真命题，一个是假命题，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，求的最小值. 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 18. 已知函数是定义域为上的奇函数. （1）求的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并简要说明理由； （2）若函数在定义域且上为“依赖函数”，求的值； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $