精品解析：河南省开封市通许县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期教学质量检测二 九年级数学 华东师大 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使二次根式有意义，则的取值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的取值可以是5． 故选：A． 2. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握，是解题的关键． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系作答即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为， ∴， 故选：B． 3. ，且相似比为，则它们的面积比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴它们的面积比等于， 故选：C 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据A点平移前后的坐标确定整个三角形的平移规律，再计算点的坐标即可求解． 【详解】解：∵平移前坐标为，平移后坐标为， ∴平移规律为先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∵点坐标为， ∴点的坐标为，即． 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用、平方差公式、二次根式的混合运算，利用积的乘方变形原式为，然后利用平方差公式计算即可，熟记运算法则、正确计算是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 7. 如图，已知，，若的长度为10，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等知识点，由，可得，可得，再由和的长度为10即可得解，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长度为10， ∴， ∴， 故选：B． 8. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．这次会议到会的人数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设这次会议到会的人数是x，则每人握手次，列出方程求解即可． 【详解】解：设这次会议到会的人数是x， ， ， ， 或， 解得：（舍去）， 答：这次会议到会的人数是12人， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 9. 如图，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：、，， ∴，故此选项不合题意； 、，， ∴，故此选项不合题意； 、， ，， ∴，故此选项不合题意； 、，不存在夹角相等，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 10. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得，再由正方形的性质得由，得，推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点M，N分别是和的中点，若， ∴是的中位线， ∴， 四边形是边长为6的正方形， ，， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 若，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质和分式的化简；利用已知条件得到，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 故答案为：2． 13. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 14. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴相似比为， 故答案为：． 15. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式________．（要求答案为具体的数值） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，先估算出，再根据新定义得到，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 【答案】x=24，y=28，α=75° 【解析】 【分析】 【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题． 【详解】∵两个四边形相似， ∴20：5=x：6=y：7， 解得：x=24，y=28， ∵四边形内角和等于360°， ∴α= =75°， ∴x=24，y=28，α=75°． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键． 17. 嘉淇同学解方程的过程如下表表示． 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 （1）嘉淇同学是用 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第 步开始出现错误． （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 【答案】（1）配方法，二 （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解方程时，注意变形时要保证等式左右两边的值不变； （2）可使用公式法求解． 【小问1详解】 解：由解方程步骤可知：嘉淇同学是用的配方法求解 第二步等式右边没有加，出现错误 故答案为：配方法，二 【小问2详解】 解：公式法：，，． ， ， 即，． 【点睛】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出与位似的图形，且与的相似比为． 【答案】（1） 如图，即为所作． （2） 如图，即为所作． 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和位似图形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）分别作出点A、B 、C关于x轴的对称点，顺次连接即可； （2）分别连接、、并分别延长到、、，使得、、，顺次连接、、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根互为相反数，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∵， ∴，即， ∴无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键． （1）化简得到，即可证明； （2）设两根为，则由题意得：，由根与系数得关系得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设两根为， 则由题意得：， ∴， ∴ 20. 【新考向】细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题：；（是的面积）； ；（是的面积）； ；（是的面积）； …… （1）请用含有n（n为正整数）的式子表示__________； （2）求的值．（提示：由，得）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了对题干的理解，勾股定理以及二次根式的化简，关键是根据题意找出规律和有关二次根式的化简运算． （1）根据已知内容归纳总结出规律，即可解题； （2）代入相关数值，利用分母有理化，以及二次根式的混合运算化简整理后即可得到答案． 【小问1详解】 解：由规律可知：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 21. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸） 【答案】竹竿的长度为45尺． 【解析】 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 解得（尺）， 答：竹竿的长度为45尺． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 22. 【教材变式】如图，在一块矩形花园基地上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为a米，宽为b米，其中两条道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区． （1）若，，且6块空地的面积和为792平方米，求每条道路的宽x； （2）若，道路的宽为2米，且6块空地的面积和为208平方米，求矩形的长和宽各为多少米？ 【答案】（1）每条道路的宽为1米 （2）原矩形空地长为20米，宽为15米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； （1）设每条道路的宽x米，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，结合6块空地的面积和为792列方程求解即可； （2）设长为米，宽为米，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，结合6块空地的面积和为208列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每条道路的宽x，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，由题意得： ， 解得：（舍去）， ∴每条道路的宽为1米； 【小问2详解】 解：， ∴设长为米，宽为米， ∴空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（舍）， ， ∴矩形长为20米，宽为15米． 23. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、． （1）若与相似，求动点的运动时间； （2）在运动过程中，当时，求动点的运动时间； （3）在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 【答案】（1）秒或秒 （2）秒 （3） 不能，理由如下： 如图， 若为的中位线，则， 则， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∴不可能为的中位线． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握知识点，找到相似三角形是解题的关键． （1）已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间； （2）当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间； （3）若若为的中位线，则，则，求出，此时，，故，故不能为的中位线． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得 设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； ①当，即时， ； ，即， ． ②当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期教学质量检测二 九年级数学 华东师大 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使二次根式有意义，则的取值可以是（ ） A. 5 B. 3 C. 0 D. 2. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. ，且相似比为，则它们的面积比等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，已知，，若的长度为10，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．这次会议到会的人数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 12 9. 如图，下列条件不能判定的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简的结果为______． 12. 若，则的值为________． 13. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 14. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为__________． 15. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式________．（要求答案为具体的数值） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 17. 嘉淇同学解方程的过程如下表表示． 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，．……第三步 （1）嘉淇同学是用 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第 步开始出现错误． （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出与位似的图形，且与的相似比为． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根互为相反数，求m的值． 20. 【新考向】细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题：；（是的面积）； ；（是的面积）； ；（是的面积）； …… （1）请用含有n（n为正整数）的式子表示__________； （2）求的值．（提示：由，得）． 21. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸） 22. 【教材变式】如图，在一块矩形花园基地上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为a米，宽为b米，其中两条道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区． （1）若，，且6块空地的面积和为792平方米，求每条道路的宽x； （2）若，道路的宽为2米，且6块空地的面积和为208平方米，求矩形的长和宽各为多少米？ 23. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、． （1）若与相似，求动点的运动时间； （2）在运动过程中，当时，求动点的运动时间； （3）在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $