精品解析：重庆市育才中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

重庆市育才中学校高2026届高二（上）十月月考 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点，的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用经过两点的直线斜率的计算公式，即可求解. 【详解】因为直线经过两点，，所以直线的斜率为， 故选：A. 2. 经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长． 【详解】 为椭圆的两个焦点， ， 的周长为． 故选：D． 3. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意可得， 故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则， 易知，故两圆内切. 故选：B 4. 下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ） A. B. ，，两两垂直 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断三个向量是否共面即可得． 【详解】选项AD中，三个向量一定共面，选项C中，可能共面，只有选项B中，一定不共面， 故选：B． 5. 已知圆锥的母线长为4，底面的半径，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥底面的半径，则截得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，利用，求得圆台的高为，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，作出圆锥的轴截面等腰， 则，可得， 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥底面的半径， 由，可得，所以， 则，即圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：C. 6. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，过作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解. 【详解】 过作，因为侧面是正三角形，所以O是CD的中点， 又因为平面底面，且为两平面的交线，平面， 所以底面， 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 则. 故选：C 7. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，从而得到⊥平面，从而点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 故选：B 8. 已知三棱锥中，△是边长为2的正三角形,，，若三棱锥的外接球体积为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】点作平面，连接，易知过中点，连接，易知直线与平面所成角为；由，知三棱锥的外接球的直径，据外接球体积为可求出及所需边长，利用余弦定理求即可. 【详解】设三棱锥的外接球的半径为，如图所示，取中点为， 由于，，则， 故是三棱锥的外接球的球心， ， ∵三棱锥的外接球体积为，∴,∴， 过点作平面，连接，易知过中点，连接. 因为， ，， 则直线与平面所成角为， 由余弦定理可得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若曲线表示两条直线，则，或， B. 若曲线表示圆，则 C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线表示椭圆，则仅需 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线方程形式可得A正确，根据椭圆以及圆方程可判断BCD正确. 【详解】对于A，若曲线表示两条直线，则两者须有一个为零，此时表示的两条直线为或，可得A正确； 对于B，若曲线表示圆，则根据圆的方程可知，即B正确； 对于C，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，可将化为， 所以，可得，即C正确； 对于D，若曲线表示椭圆，则根据椭圆方程可知，且，即D错误. 故选：ABC 10. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A 若，则 B. 若两条平行直线与间的距离为，则 C. 直线过定点 D. 点到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】结合题设直线的方程易得，，进而结合直线垂直与斜率的关系即可判断A；先根据直线平行与斜率的关系可得时，，再结合平行直线之间的距离公式求解判断B；根据直线过定点问题可判断C；分析可得时，点到直线距离最大，进而求出即可判断D. 【详解】由直线，， 则，. 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 此时，即，， 因为与间的距离为， 所以，解得或15，故B错误； 对于C，由，令，即， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C知，直线过定点， 要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在直棱柱中，底面为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足则下列说法正确的是（ ） A. 若时，三棱锥的体积为定值 B. 若时，有且仅有一个点，使得 C. 若，则的最小值为3 D. 若，，则平面截该直棱柱所得截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别根据每一个选项确定点的轨迹，然后判断选项即可. 【详解】对于选项A：当时，，故点在上运动，而平行于平面， 所以三棱锥的体积为定值.故A正确. 对于选项B：当时，取中点记为连接，易得点在上运动， 当与点，，重合时，由勾股定理可得，所以，故B错误. 对于选项C：当时，取中点记为，取中点记为连接，则点在线段上运动 ，易得点关于直线的对称点为，连接，此时点、、三点共线， 故点与点重合时取得最小值为3，故C正确. 对于选项D：当，时，为的中点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，即可得到截面，易知, 所以,,,， ，易得周长为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆方程为，得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设椭圆方程为，则， 解得，故椭圆方程为. 故答案为： 13. 若，，为空间中两两夹角都是的单位向量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】由，，为空间中两两夹角都是的单位向量， 得， 所以. 故答案为： 14. 已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，圆心到，的距离分别为，，则______，四边形的面积的最大值为______. 【答案】 ①. 7 ②. 9 【解析】 【分析】利用圆的性质计算，求出四边形面积关系式，借助基本不等式求出最大值. 【详解】取的中点，连接，依题意，，又， 则四边形是矩形，； ，，四边形的面积为： ，当且仅当时取得等号， 所以当时，四边形的面积的最大值为9. 故答案为：7；9 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过点，点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用直线方程的两点式得直线方程，再化简，即可求解； （2）根据条件，利用圆的几何性质，求出圆心和半径，即可求解. 【小问1详解】 过点，点的直线的两点式方程为：， 整理得：，所以直线的方程为. 【小问2详解】 设线段的中点为，则由，有， 且直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线的方程为：，即， 由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上， 则有，解得，所以圆的坐标是， 圆的半径， 所以圆的标准方程是. 16. 如图，在三棱柱中，，，，，点是的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出的方向向量与平面的法向量，再由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 连接，设，连接，由三棱柱的性质可知， 侧面为平行四边形，为的中点， 又为中点，在中，， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 由题意可知，，两两垂直，故以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 所以，，， 设平面法向量为， 则，令，得； 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，在三棱锥中，，且. （1）证明：平面平面； （2）若棱上存在不同于，的动点，满足，使二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，分别证得和，利用线面垂直的判定定理。证得平面，进而证得平面平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，得到向量的坐标，再分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 证明：由，且，所以， 取的中点，连接，可得， 再由，可得，即， 因为，且为的中点，可得， 又因为，且面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，又由， 以为坐标原点，以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，， 令，其中，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以； 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，其中，则上式可化为，即， 解得或舍去，所以，解得 18. 已知动点与两个定点，的距离的比为. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用两点距离公式及已知距离关系求轨迹方程即可； （2）设直线方程并联立的轨迹方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算列方程求参数，进而确定弦长即可. 【小问1详解】 设动点的坐标为， 由，即， 整理得. 【小问2详解】 设直线的方程为，，两点的坐标分别为，， 联立，整理得. ，即或. 因为式两根为，，所以，， 则， 将，代入上式，化简解得. 而满足，故直线的方程为. 因为圆心在直线上，所以. 19. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为. （1）计算的大小； （2）若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线. （i）判断是什么曲线，并求出对应的方程； （ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）曲线是椭圆，；（ii） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得，利用勾股定理和余弦定理，结合题设条件，依次求得三边，再利用余弦定理求出即得； （2）（i）依题建系，利用（1）已得，借助于向量的夹角公式建立方程，化简即得对应的方程；（ii）将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转得到椭圆方程为，直线的方程为.设点，由引理，可得，利用辅助角公式和正弦型函数的值域即可求得. 【小问1详解】 在中，平分，， 则，设，则， 由勾股定理，，解得，即，则， 在中，，， 在中，由余弦定理，，即， 又因二面角为直二面角，且平面平面，，故有平面， 因平面，故，则， 在中，由余弦定理，， 因，故得； 【小问2详解】 （i）曲线是椭圆. 由（1）已得，如图1，不妨取的中点为，以为轴， 为轴，过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系. 则点，， 设，，， 由（1）可知， 从而， 化简可得：，即为的方程. （ii）将立体几何平面化，只需研究平面上的几何关系. 不妨将（i）中椭圆所在坐标系逆时针旋转得到图2， 在新坐标系下椭圆方程为，直线的方程为， 引理：点与直线上一动点的最小曼哈顿距离为. 证明：如图3，当，即时， 由于， 当点在点处取得等号成立，即， 同理可以得出时的最小曼哈顿距离，综上得证. 设点. 由引理可知： ， 其中， 则当时，， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市育才中学校高2026届高二（上）十月月考 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点，的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 20 3. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 4. 下列可使，，构成空间一个基底的条件是（ ） A. B. ，，两两垂直 C. D. 5. 已知圆锥的母线长为4，底面的半径，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的小圆锥底面的半径，则截得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 7. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知三棱锥中，△是边长为2的正三角形,，，若三棱锥的外接球体积为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A 若曲线表示两条直线，则，或， B 若曲线表示圆，则 C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D 若曲线表示椭圆，则仅需 10. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若两条平行直线与间的距离为，则 C. 直线过定点 D. 点到直线距离的最大值为 11. 如图，在直棱柱中，底面为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足则下列说法正确的是（ ） A. 若时，三棱锥体积为定值 B. 若时，有且仅有一个点，使得 C. 若，则的最小值为3 D. 若，，则平面截该直棱柱所得截面周长为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是______. 13. 若，，为空间中两两夹角都是的单位向量，则______. 14. 已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，圆心到，的距离分别为，，则______，四边形的面积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，点. （1）求直线的方程； （2）若圆经过点，点，且圆心在直线上，求圆的方程. 16. 如图，在三棱柱中，，，，，点是的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在三棱锥中，，且. （1）证明：平面平面； （2）若棱上存在不同于，的动点，满足，使二面角的余弦值为，求的值. 18. 已知动点与两个定点，的距离的比为. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点且斜率为的直线与动点的轨迹交于，两点，若，求的值. 19. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，它是一种使用几何度量空间的几何用语，定义如下：在平面直角坐标中的任意两点，的曼哈顿距离为.已知在四边形中，，，，且平分，若将沿线段向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后点在新图形中对应点记为. （1）计算的大小； （2）若所在平面为，设，且，记点的轨迹为曲线. （i）判断是什么曲线，并求出对应的方程； （ii）设为平面上过点且与直线垂直的直线，已知在直线上，在上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$