精品解析：天津市实验中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性调查数学试卷

2024-2025学年度高二上学期第一次阶段学情调查数学学科试卷 命题人：高二备课组 审核人：高二备课组 一、单选题（本题共10个小题，每小题4分） 1. 三点在一条直线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由列方程来求得的值. 【详解】依题意， 即，解得. 故选：B 2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量基底的定义解答即可. 【详解】因为能与，构成基底的向量与，不共面. 又，，， 则，，都分别与，共面，故ABC错误； 假设与，共面， 则存在，使得， 则， 所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立， 所以与，不共面，可构成基底，故D正确. 故选：D. 3. 已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 0或6 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的与的斜率，利用两个斜率相等列方程即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点和，所以直线斜率为， 因为直线与平行，所以，解得：， 故选：C. 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 5. 直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，利用中点坐标公式即可得出a，b，利用截距式即可得出直线l的方程. 【详解】解：设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， ∴直线的方程为：， 化为：， 故选：D. 6. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 7. 已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】由题意知，， 将两圆的方程相减，得， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为. 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆的圆心到直线的距离. 所以这两圆的公共弦的弦长为. 故选：C. 8. 若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，若点M（a，b+3，2c+1）关于y轴的一个对称点M′的坐标为（-4，-2，15），则a+b+c的值（　　） A. 10 B. -17 C. -9 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点的对称性即可求解. 【详解】M（a，b+3，2c+1）关于y轴的一个对称点M′应为M（-a，b+3，-2c-1）， 所以： -a=-4，解得a=4； b+3=-2，解得b=-5； -2c-1=15,解得c=-8； 所以a+b+c的值为-9， 故选：C. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的个数为（ ） ①当时，//平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】应用空间向量研究4个命题，对于①，可研究与平面的法向量是否垂直即可；对于②，研究函数的最值即可；对于③，可研究函数的最值即可；对于④，可求解与平面的法向量垂直条件即可. 【详解】解：如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，， ，，， 设点，因为， 所以，即， 解之可得，所以. 当时，， 所以，，, 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以. 因为， 所以，所以与平面不平行.故①错误； 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确； 因为 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确； 当平面时，点平面， 因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 因为， 点平面，所以，所以.故④错误. 故选：B. 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分） 11. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_______________ 【答案】或. 【解析】 【分析】 分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可. 【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为,则,故,化简得. 当截距不为0时,设直线方程为,则.故,化简可得. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题,需要注意分截距为0与不为0两种情况进行求解.属于基础题. 12. 已知空间四个点，，，，点到平面的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】求平面的法向量，由向量法可得. 【详解】由题知， 设平面的法向量为 则，取得 所以，点到平面的距离为. 故答案为： 13. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 【详解】解：点，，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或，即， 故答案为：． 14. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心和半径，根据条件得到圆心到直线的距离，从而得到不等式，求出答案. 【详解】圆， 故圆心为，半径为6， 因为圆上有四个不同的点到直线的距离为3，为半径的一半， 设圆心到直线的距离为，则， 即，解得. 故答案为： 15. 《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则______，异面直线所成角的余弦值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过分别作，的高，垂足分别为，，证明，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】过分别作，的高，垂足分别为，，如图所示： 平面平面，，由得：， 又平面平面，面，故平面， 又面，故可得， ∵，，又，故，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则由题意可知，，，，， ∴，，， ∴， ， 即异面直线所成角的余弦值是． 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法， 定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； 向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 16. 中，，边上的中线所在直线方程为：，的平分线方程为：，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标，由中点在直线上，得到点坐标，从而得出直线方程，设直线方程，由角平分线的性质可以得到直线上任意一点到两边所在直线距离相等，由此建立方程，得出直线方程. 【详解】设，则中点， ∴，∴，∴， 则直线：， 设直线：，即， 取上一点 ，则点到直线和直线距离相等， 则，即， ∴或（舍去）， 故直线：. 故答案为： 三、解答题（本题共3个小题，每小题12分） 17. 已知直线，圆 （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）求直线被圆截得的最短弦长； （3）求经过（1）中的点，并且经过二次函数与轴两个交点、的圆的标准方程． 【答案】（1），证明如下： 因为， 由， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据交点直线系求证直线过定点. （2）根据勾股定理求最短弦长. （3）利用待定系数法求圆的标准方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线与直线垂直时，弦长最短. 此时弦心距为：，圆的半径. 所以最短弦长为：. 【小问3详解】 由或. 则圆C过点，. 设圆的标准方程为：， 由. 故圆的标准方程为：. 18. 如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，，且，，面，，为中点． （1）若是中点，求证：面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取的中点，连接， 因为是中点，为中中点，， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 故平面平面， 又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而证明出面面平行，即平面平面，证明出平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值，进而得到正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为面，平面， 所以， 又四边形是边长为3的正方形，⊥， 故，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以四边形为矩形， 其中，， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 故平面与平面夹角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值． 【答案】 （1）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，由点为棱的中点，得． 向量，，故． ∴． （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明，；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）向量，设为平面的法向量，则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 于是有， ∴直线与平面所成角的正弦值为． （3）， 由点在棱上，故， 由，得，解得，即． 设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．取平面的法向量，则． 易知，二面角是锐角，∴其余弦值为． 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二上学期第一次阶段学情调查数学学科试卷 命题人：高二备课组 审核人：高二备课组 一、单选题（本题共10个小题，每小题4分） 1. 三点在一条直线上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 0或6 4. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时，直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 8. 若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 在空间直角坐标系Oxyz中，若点M（a，b+3，2c+1）关于y轴的一个对称点M′的坐标为（-4，-2，15），则a+b+c的值（　　） A. 10 B. -17 C. -9 D. 2 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的个数为（ ） ①当时，//平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分） 11. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_______________ 12. 已知空间四个点，，，，点到平面的距离是________． 13. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是___________. 14. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是______． 15. 《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则______，异面直线所成角的余弦值是______. 16. 中，，边上的中线所在直线方程为：，的平分线方程为：，则直线的方程为________． 三、解答题（本题共3个小题，每小题12分） 17. 已知直线，圆 （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）求直线被圆截得的最短弦长； （3）求经过（1）中的点，并且经过二次函数与轴两个交点、的圆的标准方程． 18. 如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，，且，，面，，为中点． （1）若是中点，求证：面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $