精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次月考数学(文科)试卷

鹤岗一中2021-2022学年度高三第四次月考 数学文科试题 一、单选题：（共12小题，每题5分，共60分） 1. 集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的解法求得集合A、B，再由集合的交集运算可求得答案. 【详解】解：由得，解得，所以， 又由，解得，所以，故. 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算，带入即可. 【详解】∵，∴， 故选: D. 3. “”是“的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的最小正周期求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可的解. 【详解】解：由的最小正周期为，可得，所以， 所以“”是“最小正周期为”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的性质，再借助“媒介”数即可比较大小并判断作答. 【详解】函数在上单调递增，，则，即， 函数在上单调递增，，则，即， 函数在R上单调递增，，则，即， 所以. 故选：A 5. 设偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，由函数的单调性可得出，解之即可. 【详解】因为函数为偶函数，则， 因为函数在上单调递增，则，即，解得. 故选：C. 6. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列下标的性质即可求解. 【详解】∵，∴， ∴. 故选：C. 7. 已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可； 【详解】对于A：若，，则，又，则，故A正确. 对于B：若，，则或，故B不正确. 对于C：若，则，又，则或，故C不正确. 对于D：若，，则或或，故D不正确. 故选：A 8. 如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解. 【详解】因为在中，，,， 为边上的高，所以在中，， 又， ， 为的中点， ， ， ， 故选：D. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据三角形内的隐含条件得到，再根据正弦定理进行角化边可得出；然后结合条件可得出，从而运用余弦定理即可求出的值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以由正弦定理，得， 又因为，所以， 由余弦定理，可知． 故选：A． 10. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求x＋2y的最小值即可. 【详解】因为， 所以． 当且仅当，即时取等号， 又因为恒成立， 所以，解得． 故选：D. 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解. 【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以． 故选：A 12. 已知函数，若对任意，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数，将不等式转化为，再利用导数求解的最小值即可. 【详解】由题，可得在上恒成立； 设，由于， 所以在上是增函数，则有当时，； 令，则有，， 所以函数； 由于，当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数； 所以当时，，则有； 故. 故选：B. 二、填空题：（共4小题，每题5分，共20分） 13. 甲､乙､丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我没去过A城市； 乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断甲去过的城市为___________ 【答案】B 【解析】 【分析】通过三句话逐一验证排除. 【详解】由甲、丙的叙述，可知甲去过的城市是B或C， 又由乙、丙的叙述，可知甲没有去过城市C， 由此可判断甲去过的城市为B. 故答案为: B. 14. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，根据目标函数所在的直线与可行域有交点时使最大，由几何意义知：与x轴的截距最大，进而确定其所过的点，求最大值即可. 【详解】由题设，可得如下可行域， ∴要使有最大值，即目标式所代表的直线与可行域有交点时，在x轴的截距最大， 由图知：当过时，有最大值. 故答案为：5 15. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】设圆锥的底面半径为r， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的表面积为． 故答案为：. 16. 已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线的右支上，且的中点在圆：上，其中为双曲线的半焦距，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得，，再由离心率可得，在中，，，由即可得出答案. 【详解】如图，由题意可得， 因为为的中点，，所以, 所以，， 双曲线：（，）的离心率为2，， 故在中，，， . 故答案为： 三、解答题（共70分，17-21题每题12分） 17. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据和的关系得到，再根据等比数列的通项公式进行求解； （2）取对数得到，利用等差数列的前项和公式求得，利用裂项抵消法进行求和，再利用放缩法进行证明. 【小问1详解】 解：因为,， 所以当时，， 则，所以， 所以数列是以2为首项、公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 证明：由（1）知，， 所以， 所以 . 18. 在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理将，推导出，由此求出角. （2）由已知条件推导出，从而由余弦定理得出，最后利用基本不等式求出的最小值. 【小问1详解】 △中，，由正弦定理知，， ∵，∴ ， ∴，∴， ∴， 又∵ , ∴； 【小问2详解】 由（1）及得， 所以, 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 19. 如图所示的四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】(1)根据给定条件证得及即可推理作答. (2)由给定条件可得点到平面的距离是点到平面的距离的，再借助三棱锥等体积法转化求解即得. 【小问1详解】 在中，，为的中点，则，又平面平面， 平面平面，平面，于是得平面， 而平面，则，又底面是正方形，，分别是，的中点，即， 因，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的，如图， 因此，， 所以三棱锥的体积为. 20. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，且右顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与椭圆交于不同的，两点（，不是左右顶点），若以为直径的圆经过点．求证：直线过定点，并求出定点． 【答案】（1）； （2）证明过程见解析，定点为. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线焦点和椭圆的右顶点的定义进行求解即可； （2）根据圆直径的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、平面向量数量积的性质和坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 双曲线的半焦距为：，所以椭圆的焦点坐标为：，椭圆的右顶点为， 设椭圆的标准方程为：， 所以， 因此椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 直线方程与椭圆方程联立， 得，设， 于是有：， ， 因为以为直径的圆经过点， 所以， 即，化简得： ，而， 所以有：，化简得： 或 ， 显然满足， 当时，，此时直线过椭圆的右顶点不符合题意； 当时，，此时直线恒过点， 综上所述：直线过定点，定点为. 【点睛】关键点睛：利用圆直径的性质，结合平面向量垂直的坐标运算公式是解题的关键. 21. 已知函数. （1）若，求证；函数在上单调递增； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求整数m的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求，在区间上分析的正负，进而确定函数的单调性； （2）利用将问题放缩为在上恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题进行求解 【小问1详解】 依题意，， 则， 故当时，，故函数在上单调递增. 【小问2详解】 依题意，，对任意的恒成立， ∵，∴， 只需对任意的恒成立即可. 构造函数，由（1）可知， ， ∵，∴，且单调递增. ∵， ∴一定存在唯一的，使得，即， ∴的单调递增区间为，单调递减区间为， ∴， ，所以 故整数m的最小值为. 四、（选考题，10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做题的第一题记分.） 22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和． （1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程； （2）若射线：与圆的交点为O､P，与圆的交点为O､Q，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据公式即可得到答案； （2）将代入两个圆的极坐标方程得到P,Q两点的极径，进而得到答案. 【详解】（1）圆：即，则， 圆：即，则， 两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：. （2）将代入圆和圆的极坐标方程得：，所以. 23. 设 （1）解不等式； （2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式． （2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决． 【详解】（1） 令 当时 当时 当时 综上所述 （2）恒成立等价于 （当且仅当时取等） 恒成立 【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号．属于中等题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤岗一中2021-2022学年度高三第四次月考 数学文科试题 一、单选题：（共12小题，每题5分，共60分） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C D. 5. 设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 6. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. 10 D. 7. 已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 8. 如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为（ ） A B. C. D. 10. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（ ） A 6 B. 7 C. D. 5 12. 已知函数，若对任意，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（共4小题，每题5分，共20分） 13. 甲､乙､丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我没去过A城市； 乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断甲去过的城市为___________ 14. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________． 15. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 16. 已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线的右支上，且的中点在圆：上，其中为双曲线的半焦距，则______. 三、解答题（共70分，17-21题每题12分） 17. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项； （2）若，数列的前项和为，求证：. 18. 在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角； （2）若，求的最小值． 19. 如图所示的四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 20. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，且右顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与椭圆交于不同的，两点（，不是左右顶点），若以为直径的圆经过点．求证：直线过定点，并求出定点． 21. 已知函数. （1）若，求证；函数在上单调递增； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求整数m的最小值. 四、（选考题，10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做题的第一题记分.） 22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和． （1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程； （2）若射线：与圆交点为O､P，与圆的交点为O､Q，求的值． 23. 设 （1）解不等式； （2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $