精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2025届高三上学期10月模块测试数学试题

2024-2025学年度第一学期高三10月模块检测 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 8 B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 一块扇形薄铁板半径是30，圆心角是，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 7. 已知数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且成等比数列，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 两个边长为4的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 函数的最小值为 10. 用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ） 0 x a b c 1 3 1 d 1 A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数与表示同一函数 11. 如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积不变 D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______. 13. 蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为______.（参考数据：） 14. 已知函数，则的最小值为______；设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）比较的大小，并写出过程； （2）设数列的前项和为，证明：. 16. 在中，，D为中点， . （1）若，求的长； （2）若 ，求的长. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 设为等差数列的前n项和，其中，且． （1）求常数值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数的最小值． 19. 设函数. （1）讨论的单调区间. （2）已知直线是曲线在点处的切线. （i）求直线的方程； （ii）判断直线否经过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期高三10月模块检测 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解. 【详解】由题意集合，，，则，. 故选：A. 2. 已知，且，则的最大值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值. 【详解】由，，得， 当且仅当，即时取等号， 因此， 所以的最大值为. 故选：B 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性排除两个选项，再利用时，函数值的正负判断即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AC； 当时，，则，排除D，选项B符合题意. 故选：B 4. 一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积. 【详解】半径为30，圆心角为的扇形围成圆锥的底面圆半径，则，解得， 该圆锥的高，体积为， 截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径，则，解得， 该圆锥的高，体积为， 所以该圆台的体积为. 故选：C 5. 设等比数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由可得或，由递增得出恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】令等比数列的公比为，由，得，则或， 由数列为递增数列，得，即，，因此， 所以“数列为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，分段探讨函数的单调性，进而求出最小值. 【详解】当时，函数在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，. 故选：B 7. 已知数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且成等比数列，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式求出，，再根据成等比数列，可求的值. 【详解】因为点在函数的图象上， 所以， 所以，，，， 因为成等比数列，所以或（舍去）. 故选：A 8. 两个边长为4的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，找到球心的位置及点在平面上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球的半径，进而得到球的表面积. 【详解】取的中点，连接， 因为正三角形与的边长为4，所以⊥，⊥， 且， 故为二面角的平面角，， 所以是等边三角形， 取的中点，连接，则⊥，，， 因为⊥，⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 取的中心，则点在上，且，故， 则球心在点正上方，连接，过点作⊥于点， 则， 设，则， 由勾股定理得，， 故，解得， 故外接球半径， 故球O的表面积为. 故选：B 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 函数的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A举反例即可；对B根据不等式性质即可判断；对C，利用指数函数单调性即可判断；对D举反例即可. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，当，则，则，故B正确； 对C，根据指数函数在上单调递增，且，则，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：BC. 10. 用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ） 0 x a b c 1 3 1 d 1 A. 函数的最小正周期是 B. 函数图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数与表示同一函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可. 【详解】根据表格可知，且，则， 由正弦函数的周期性可知的最小正周期为，故A正确； 由已知结合正弦函数的对称性可知： ， 显然此时取得最小值，所以的图象不关于点对称，故B错误； 由已知结合正弦函数的对称性可知： ，此时取得最大值， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 由诱导公式可知，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积不变 D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的最小值为等边三角形的高，可求得A正确；将与矩形沿翻折到一个平面内，可知所求最小值为，利用余弦定理可求得B错误；利用体积桥可求得三棱锥的体积为定值，知C正确；利用体积桥可求得点到平面的距离，根据交线为圆可求得交线长，知D正确. 【详解】对于A，在中，，即是边长为的等边三角形， 的最小值为的高，，A正确； 对于B，将与矩形沿翻折到一个平面内，如图所示， 则的最小值为； 又，，， 在中，由余弦定理得：， ，即，B错误； 对于C，平面，平面，； 四边形为正方形，， 又，平面，平面； ， 即三棱锥的体积不变，C正确； 对于D，设点到平面的距离为， ，，即，解得：， 以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆， 交线长为，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得. 【详解】依题意，，，显然， 由“”是“”的充分不必要条件，得， 当时，，符合题意，当时，方程的根为和， 显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意， 所以实数的所有取值组成的集合是. 故答案为： 13. 蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形构成，，设，则上顶的面积为______.（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解. 【详解】依题意，由，得， 在菱形中，连接并取其中点，连接，则， 由正六边形的边长，得， 由蜂巢结构特征知，，又都垂直于平面，则， 于是四边形是平行四边形，有，则， 因此一个菱形面积为， 所以上顶的面积为. 故答案为： 14. 已知函数，则的最小值为______；设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1，直接求导利用的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可. 【详解】由题可知定义域为 显然，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以最小值为； 由题可知， 所以 由题可知恒成立， 当，显然当时，，故不成立； 当时，，因为，所以，故成立； 当时，由恒成立，得恒成立， 即 不妨令，所以 所以显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即 综上所述： 故答案为：； 【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）比较的大小，并写出过程； （2）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）证明数列单调性，可比较给出的两项的大小. （2）先根据统计得到，再求进行判断即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 若，则，这与矛盾. 所以. 故. 【小问2详解】 由， 所以. 所以. 由（1）可知：，所以. 16. 在中，，D为中点， . （1）若，求的长； （2）若 ，求的长. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案； （2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案. 【小问1详解】 在中，， 则 ， 在中， ， 所以. 【小问2详解】 设， 在和中，由正弦定理得，， 又，得， 在中，， 由，有， 所以，整理得：，① 又由，整理得：，② 联立①②得，，即.， 解得或， 又，故， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再利用线面垂直的性质得，最后线面垂直的判定即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】 记，如图. 因为，，所以， 所以， 由等腰三角形三线合一知，即， 又底面平面，所以， 因为，且平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，则，所以平面， 所以三条直线两两互相垂直， 以所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意及（1）知， 则， 所以， 设平面的法向量为， 同理设平面的法向量为， 则，可取. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 【点睛】 18. 设为等差数列的前n项和，其中，且． （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数的最小值． 【答案】（1），. （2）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得，，结合数列为等差数列，列出方程组，求得，得到，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法求得，把不等式，转化为，令，结合，根据数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由，且， 令，可得，解得； 当，可得，解得， 因为数列为等差数列，可得，解得， 所以，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，所以， 则， 可得， 两式相减可得 ， 所以 要使得，即，即， 令，可得， 则， 当时，； 当时，，即， 即， 所以当时，恒有， 故存在时，对于任意时，都有成立. 19. 设函数. （1）讨论的单调区间. （2）已知直线是曲线在点处的切线. （i）求直线的方程； （ii）判断直线是否经过点. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ii）不经过. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按和分类求出的单调区间. （2）（i）由（1）结合导数的几何意义求出切线的方程；（ii）令，求出的值并判断与2的大小. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，则恒有，函数在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无递减区间. 【小问2详解】 （i）由（1）知，，而， 则直线的方程为，即. （ii）由（i）知，直线的方程为， 当时，， 令，而， 求导得，函数上单调递增， 因此，即，，而，于是， 所以直线不经过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$