精品解析：河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题

武安一中2024-2025学年第一学期10月期中考试 高一 数学 一、单选题（每小题5分） 1. 下列图象中，不能表示函数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列表示正确个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则；（5）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知非负实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合．若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分） 9. 已知满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为假命题的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. “”是“”充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “且”是“”的必要不充分条件 11. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则x的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分） 12. 已知，，且，满足这样的集合的个数______. 13. 单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为______m. 14. 已知函数表示不大于的最大整数，如，，则不等式的解集为______. 四、解答题 15. 设全集，集合，集合 （1）若，求； （2）若，求实数取值范围． 16. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数，，，用表示、中的较小者，记为，求的解析式. 17. 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元． （1）设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式； （2）若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元? 18. 已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19. 已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． （1）请将这个事实表示一个不等式，并证明这个不等式； （2）利用（1）的结论比较的大小； （3）证明命题：设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武安一中2024-2025学年第一学期10月期中考试 高一 数学 一、单选题（每小题5分） 1. 下列图象中，不能表示函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值值与之对应. 【详解】C选项的函数图像中存在，对应两个不同的函数值，故不是函数图像. 故选：C 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则；（5）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的概念、元素与集合的关系、集合间的基本关系进行判断． 【详解】空集中不含任何元素，故（1）正确；空集是任何集合的子集，故（2）正确； 由得，所以，故（3）错误； 若，即集合是集合的子集，则，故（4）正确； 两个集合间的关系不能用符号，故（5）错误. 故选：C. 3. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质可得A错误，D错误；作差之后通分化简可得B正确；举反例令，，可得C错误； 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，，时，，，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D错误． 故选：B． 4. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 5. 已知非负实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得，利用“”乘以构建基本不等式，再根据不等式性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 根据不等式性质可知， 当且仅当时等号成立，即满足条件， 所以， 所以的最小值为. 故选：B 6. 若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 7. 已知集合．若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，，使得成立，只需，解之即可. 【详解】因为，所以，则. ，，使得成立， 所以只需， 所以，所以. 故选：B 8. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据题中条件，先判断函数单调递减，再由分段函数解析式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为在上满足， 所以在上单调递减， 需满足以下三个条件： （1）在上单调递减，只需； （2）在上单调递减，此时显然，函数的对称轴为，所以只需且； （3）在处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即； 因此由，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 二、多选题（每小题6分） 9. 已知满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，判断出，由不等式性质得到A正确；B选项，先得到，结合得到B正确；C选项，求出，由不等式性质得到C错误；D选项，作差法比较出. 【详解】A选项，因为，所以，又，故，A正确； B选项，因为，，所以， 又，故，所以，B正确； C选项，因为，所以， 两边同乘以，得，C错误； D选项，因为，所以，故，D正确. 故选：ABD 10. 下列命题为假命题的是（ ） A. “，”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “且”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定判断选项A；由不等式性质结合充分条件必要条件的定义判断选项B,D, 充分条件必要条件的定义判断选项C. 【详解】对A，全称量词命题的否定是特称命题，“，”的否定是“，”A选项为假命题； 对B，可以得出，“”是“”的充分条件， 当符合得出，“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确； 对C，可以得出，“”是“”的充分条件， 当符合得出，“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，C选项正确； 对D，且，可得，得，“且”是“”的充分条件 符合，但是且不成立，“且”是“”的不必要条件 则“且”是“”的充分不必要条件，D选项为假命题． 故选：AD． 11. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则x的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确. 【详解】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分） 12. 已知，，且，满足这样的集合的个数______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据子集和真子集概念的理解，从元素由少到多的顺序将集合逐个列举即得. 详解】由题意，集合可以取：共7个. 故答案为：7. 13. 单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为______m. 【答案】97.5 【解析】 【分析】由题意直接代入后解一元二次不等式即可； 【详解】由题意可得，， 即， 解得， 因此，运动员水平距离最多为97.5m. 故答案为：97.5. 14. 已知函数表示不大于的最大整数，如，，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求解的范围，再根据函数的定义，即可求解. 【详解】不等式，得， 所以，所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 15. 设全集，集合，集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， . 【小问2详解】 因为，所以， 又 ，， 即 ， 解得， 故实数的取值范围为. 16. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数，，，用表示、中的较小者，记为，求的解析式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）令，则，可得出，，由此可得出的表达式，由此可得出函数的解析式； （2）分别解不等式、，结合可得出函数的解析式. 【详解】（1）设，则，则，所以，， 所以，，其中， 则． （2）由，即，即，解得， 由，即，即，解得或， 所以，. 17. 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元． （1）设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式； （2）若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元? 【答案】（1）； （2）2100. 【解析】 【分析】（1）利用几何图形的特征计算图形面积即可； （2）利用（1）的结论结合基本不等式可知，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意可得，正方形面积为，阴影部分面积为， 所以，且，则， 则 ； 【小问2详解】 由（1）可知， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 由于投入到该休闲场所的资金最多29500元， 所以 解得，当时，符合题意， 所以花坛造价最多投入每平方米2100元． 18. 已知函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 19. 已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． （1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； （2）利用（1）的结论比较的大小； （3）证明命题：设，证明：． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【小问1详解】 由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. 【小问2详解】 由， 由（1）中的结论，可得，即. 【小问3详解】 证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$