精品解析：云南省昆明市官渡区西南大学官渡实验学校2025届高三上学期9月综合素质测评数学试卷

高2023级2024年秋季学期9月综合素质测评 数 学 试卷满分：150分 测试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号及姓名，在规定的位置贴好条形码. 2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项.其他试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框. 4.考生必须按规定的方法和要求答题，不按要求答题所造成的后果由本人自负. 5.考试结束后，将答题卡交回；本试卷由考生自己收好. 第I卷 （客观性试题 58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】， 而，则. 故选：A. 2. 下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B. 该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C. 经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D. 该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数、极差的定义即可判断BD；结合图形，分析数据即可判断AC. 【详解】A：由图可知该地区2016-2019年旅游收入逐年递增，故A正确； B：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为亿元，故B错误； C：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C正确； D：2016-2023年旅游收入的极差是亿元，故D正确. 故选：B. 3. 下列函数最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数性质，基本不等式确定最小值后判断． 【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错． 故选：B． 4. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，即，代入即可求解. 【详解】已知向量，，若，则， 即， 所以的值为. 故选：C 5. 已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由直线与圆有公共点， 可得圆心到直线的距离为， 解得，所以的取值范围为． 故选：B. 6. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解. 【详解】因为且，可得， 由，可得， 所以函数的一个周期为，则. 故选：B. 7. “”是“直线：与直线：垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为直线：与直线：垂直， 所以，解得， 所以“”是“直线：与直线：垂直”的充要条件. 故选：C 8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. 【详解】，圆台的侧面积为,母线长． 圆台的高， 则圆台上下底面面积为， 由圆台的体积计算公式可得：． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，部分选对得部分分.） 9. 已知复数z，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“z为实数”的充要条件 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,先化简再由模长公式即可判断；对于B，由共轭复数概念即可判断；对于C,D结合共轭复数概念及复数运算即可判断 【详解】对于A：由得，故，故A正确； 对于B：若，则 ，故B错误； 对于C、D：设，则， 若，即，即，则z为实数； 若z为实数，则，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于直线对称 C. 点是曲线的对称中心 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由题干条件求函数的最小正周期，可判断A选项，利用正弦型函数的对称性可判断BC选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】设的最小正周期为，故A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以点是曲线的对称中心,C正确； 由得，在上单调递减，所以D错误． 故选：AC． 11. 若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（ ） A. 圆与圆内切 B. C. 公切线l的方程为 D. 公切线l的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程. 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷 （主观性试题 92 分） 三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共15分） 12. 甲､乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出两人均没能破译这份密码的概率，进而利用对立事件求概率公式求出答案. 【详解】两人均没能破译这份密码的概率为， 故甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率为. 故答案为： 13. 函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域是： ，解得：. 故答案为：. 14. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，那么______，设边的中点为，若，且的面积为，则的长是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合余弦定理可解；（2）运用余弦定理，面积公式，结合中线长向量式可解. 【详解】在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 化简得，， 在中，由余弦定理得，， 又因为，所以 由，得， 由，得，所以. 又因为边的中点为，所以， 所以 故答案为：，. 四、解答题（本大题共5题，77分，要求写出文字说明，过程） 15. 已知点在圆上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 【答案】（1）圆心坐标为，半径长为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径； （2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【小问1详解】 因为点在圆上， 所以，解得， 所以该圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为； 【小问2详解】 因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且． （1）求的值； （2）若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积公式得到方程，由正弦定理和，得到，结合同角三角函数关系得到方程，求出； （2）利用正弦定理得到，由余弦定理和基本不等式求出，从而得到面积的最大值. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故，故， 又，故， 又，故，解得； 【小问2详解】 由正弦定理得， 由（1）知，， 所以， 又，， 由余弦定理得， 所以， 由基本不等式得，故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故， 故面积的最大值为32. 17. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程； （2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程． 【小问1详解】 由已知得解得， ∴两直线交点为. 设直线的斜率为， ∵直线与垂直，∴， ∵直线过点， ∴直线的方程为，即. 【小问2详解】 设圆的半径为，依题意，得圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得，∴， ∴圆的标准方程为. 18. 如图，四边形为菱形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 【答案】（1） ∵平面且平面 ∴， 在菱形中，，且平面， ∴平面 又∵平面 ∴平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直得出线线垂直，再证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）由二面角定义得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的边角关系得出线段长度，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面且平面，平面， ∴，，即二面角是， ∴， 取与交点为，设， 则， ∴，∴， 以为坐标原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ∴. 所以所成角的余弦值为. 19. “中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下： 首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名； 紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名. 现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. （1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若. （I）求甲连胜三场获得冠军的概率； （Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率； （2）除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠? 【答案】（1）（I）；（Ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可； （2）结合对立事件概率和独立事件概率公式再作差比较计算. 【小问1详解】 记甲在第i场比赛获胜的事件为，，2，3，4，则，. 由不同对阵结果相互独立， （I）甲连胜三场获得冠军的概率为：. （Ⅱ）甲在“双败淘汰制”下获得冠军的情况有：胜胜胜、胜败胜胜、败胜胜胜， 故概率为：. 【小问2详解】 “双败淘汰制”下甲夺冠的概率为： . “单败淘汰制”下甲夺冠的概率为：. 令得，解得：. 所以当时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级2024年秋季学期9月综合素质测评 数 学 试卷满分：150分 测试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号及姓名，在规定的位置贴好条形码. 2.考生必须把所有的答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案选项框涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案选项框，不要填涂和勾划无关选项.其他试题用黑色碳素笔作答，答案不要超出给定的答题框. 4.考生必须按规定的方法和要求答题，不按要求答题所造成的后果由本人自负. 5.考试结束后，将答题卡交回；本试卷由考生自己收好. 第I卷 （客观性试题 58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下图是某地区2016-2023年旅游收入(单位:亿元)的条形图，则下列说法错误的是（ ） A. 该地区2016-2019年旅游收入逐年递增 B. 该地区2016-2023年旅游收入的中位数是4.30 C. 经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D. 该地区2016-2023年旅游收入的极差是3.69 3. 下列函数最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. “”是“直线：与直线：垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，部分选对得部分分.） 9. 已知复数z，下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“z为实数”的充要条件 D. 10. 已知函数，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线关于直线对称 C. 点是曲线的对称中心 D. 在上单调递增 11. 若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（ ） A. 圆与圆内切 B. C. 公切线l的方程为 D. 公切线l的方程为 第Ⅱ卷 （主观性试题 92 分） 三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共15分） 12. 甲､乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是__________. 13. 函数的定义域是_______． 14. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，那么______，设边的中点为，若，且的面积为，则的长是______. 四、解答题（本大题共5题，77分，要求写出文字说明，过程） 15. 已知点在圆上． （1）求该圆的圆心坐标及半径长； （2）过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且． （1）求的值； （2）若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 17. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 18. 如图，四边形为菱形，平面． （1）证明：平面平面； （2）若，二面角的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值． 19. “中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下： 首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名； 紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名. 现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. （1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若. （I）求甲连胜三场获得冠军的概率； （Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率； （2）除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $