湖南省衡阳市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

一中2024年高一上第一次月考数学 一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 随值变化而变化 4. 满足条件的集合个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，，那么“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 下列说法正确的是（ ） A. 一个四边形的对角线互相垂直是该四边形为菱形的充要条件 B. ，使方程有唯一根，则 C. 使，则 D. 的最大值为 8. 对于任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 的最小值为 D. ，且，则的最小值为 10. 设，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ） A. B. C. D. 三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知，，则的取值范围是__________. 13. 周末不忙，来趟衡阳，某校高一一班的58名同学国庆假期自愿报名参加游园活动，据统计其中38人参观酃湖公园，48人参观了石鼓书院，48人参观了船山书院，32人既参观了酃湖公园又参观了石鼓书院，40人既参观了石鼓书院又参观了船山书院，30人既参观了酃湖公园又参观了船山书院，24人三个地方都参观过，则三个地方都没参观的同学有__________人. 14. 记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则__________. 四.解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求. （2）若不等式的解集为，求，的值. 16. 已知集合，，且. （1）若命题，是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，是假命题，求实数的取值范围. 17. （1）已知，，比较与的大小. （2）已知，，，均为正实数，且，求证：. 18. 某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. （1）求全年所付运费和保管费之和关于的函数； （2）若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 19. 对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. （1）判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； （2）求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； （3）若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 一中2024年高一上第一次月考数学 一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BC 三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】9 四.解答题（共5小题，满分77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2）， 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）当时，；当时，；当且时，. （2） ， 当且仅当即时等号成立， 所以，命题成立. 【18题答案】 【答案】（1） （2）每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，此时还需补元 【19题答案】 【答案】（1）不是，理由如下： 当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； （2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. （3）7 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $