专题二 三角函数与解三角形 第1讲　三角函数的图象与性质-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第1讲　三角函数的图象与性质（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点一】三角函数的运算 3 【考点二】三角函数的图象 4 【考点三】三角函数的性质 6 【专题精练】 8 考情分析： 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题. 2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·全国·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 7．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 三、填空题 8．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是 ． 9．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 考点突破 【考点一】三角函数的运算 一、单选题 1．（2024·浙江宁波·二模）若为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．的最小正周期为 D．的图象关于直线对称 三、填空题 5．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则 . 6．（2024·江苏·一模）已知，且，，则 ． 核心梳理： 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65 规律方法： (1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知， sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二． 【考点二】三角函数的图象 一、单选题 1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 二、多选题 3．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．的值域为 4．（22-23高一上·广东肇庆·期末）已知函数，部分图象如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题 5．（2024·重庆·模拟预测）已知，过函数与函数的公共点作的切线，若存在一条经过原点，则 ． 6．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 . 核心梳理： 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65 规律方法： 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝. (2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 【考点三】三角函数的性质 一、单选题 1．（2024·山东淄博·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的最小正周期 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 3．（23-24高一下·江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·山东济宁·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B．若，则函数在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D．若函数在上恰有一个零点，则 5．（2024·广东·二模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江嘉兴·二模）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：.对于函数，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在区间上单调递增 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D．方程在区间上有两个不同的实数解 三、填空题 7．（2024·广东深圳·一模）若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则 ． 8．（23-24高三上·上海宝山·期末）若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 9．（2024·上海·三模）函数的最小正周期为 ． 核心梳理： 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间． (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴． (3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． 2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65 规律方法： 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知，则（    ） A．0 B． C． D．1 2．（2024·广东茂名·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东江门·一模）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川泸州·三模）已知函数（）在有且仅有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江西九江·模拟预测）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知函数，下列选项中正确的有（    ） A．若的最小正周期，则 B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 C．若在区间上单调递减，则的取值范围是 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是 10．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11．（2024·山东济南·一模）已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称 三、填空题 12．（2024·湖南株洲·一模）已知函数（，），若为奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值为 . 13．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数为偶函数，则 ． 14．（2024·上海·一模）已知中，为其三个内角，且都是整数，则 ． 四、解答题 15．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积． 17．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求在上的单调递增区间； (2)在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围. 18．（2024·山东临沂·一模）已知向量，，函数. (1)若，且，求的值； (2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 19．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数． (1)若方程在上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围； (2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲　三角函数的图象与性质（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 7 【考点一】三角函数的运算 8 【考点二】三角函数的图象 11 【考点三】三角函数的性质 17 【专题精练】 24 考情分析： 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题. 2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·全国·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 7．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 三、填空题 8．（2024·全国·高考真题）函数在上的最大值是 ． 9．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B D C BC AD 1．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2．C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 3．B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 4．D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 5．C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即． 故选：C． 6．BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 7．AD 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 8．2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 9．2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 考点突破 【考点一】三角函数的运算 一、单选题 1．（2024·浙江宁波·二模）若为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．的最小正周期为 D．的图象关于直线对称 三、填空题 5．（2024·辽宁·模拟预测）已知，则 . 6．（2024·江苏·一模）已知，且，，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D AB ACD 1．A 【分析】根据同角关系得，即可由和差角公式求解. 【详解】为锐角，,故， 所以， 故选：A 2．D 【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 3．AB 【分析】A选项由同角三角函数的基本关系式可解； B选项先结合诱导公式化简，再利用两角和与差的正切公式化简求值； C选项将原式变形得，再代值求解； D选项活用“1”，再结合三角函数的基本关系式化简求值. 【详解】对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，，故C选项错误； 对于D选项，，故D选项错误． 故选：AB． 4．ACD 【分析】A.结合正弦函数的奇偶性，利用函数奇偶性的定义判断；B. 令，转化为对勾函数求解判断；C. 结合诱导公式，利用周期函数的定义判断；D.结合诱导公式，利用函数的对称性判断. 【详解】解：因为的定义域为，关于原点对称，又，故是奇函数，故A正确； 令，由对勾函数的性质得，故B错误； 因为，所以的最小正周期为，故C正确； 因为，所以的图象关于点直线对称，故D正确； 故选：ACD 5．/ 【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式可求得答案． 【详解】因为，则. 故答案为：. 6．/ 【分析】变形后得到，利用辅助角公式得到，得到，两边平方后得到，利用同角三角函数关系求出. 【详解】由题可知，所以， 所以， 因为，所以， 又，所以，故， 所以， 两边平方后得，故， ． 故答案为： 核心梳理： 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65 规律方法： (1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知， sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二． 【考点二】三角函数的图象 一、单选题 1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（    ） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 二、多选题 3．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．的值域为 4．（22-23高一上·广东肇庆·期末）已知函数，部分图象如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题 5．（2024·重庆·模拟预测）已知，过函数与函数的公共点作的切线，若存在一条经过原点，则 ． 6．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知函数.给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，，使得对任意，都有.其中所有正确结论的序号是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D ABD ABC 1．A 【分析】 根据平移变换得到，且，结合函数零点个数得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 由题意得，故当时，， 显然当，即为的一个零点， 要想在上恰有三个不同的零点， 若，解得， 若，无解， 若，无解. 故选：A 2．D 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D 【详解】由，得且， 因为，所以函数为奇函数， 所以的图象关于原点对称，所以选项A正确． 因为， 所以是函数的一个周期， 由选项A知点是函数的图象的对称中心， 则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确． 因为， 所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确． 方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误． 方法二：因为，所以在区间上单调递减， 所以选项D错误． 故选：D． 3．ABD 【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D. 【详解】对于A，根据诱导公式可知： ，故的一个周期为，即A正确； 对于B，根据诱导公式可知： ，所以的图象关于对称，即B正确； 对于C，易知 ，即为偶函数， 当时，，显然此时函数单调递减， 由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误； 由B结论可知为的一个周期， 此区间上，故D正确. 故选：ABD 4．ABC 【分析】根据函数的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断． 【详解】解:由函数的图象可得，由，求得． 再根据五点法作图可得，又，求得， ∴函数， 当时，，不是最值，故A不成立； 当时，，不等于零，故B不成立； 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C不成立； 当时，， ∵，， 故方程在上有两个不相等的实数根时，则的取值范围是，故D成立． 故选:ABC. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数的部分图象求出函数解析式，属于基础题． 5．1 【分析】设与的一个交点坐标为，且过作的切线过原点，得出，求出切线方程及切线过原点得出，结合得出，即可计算出． 【详解】设与的一个交点坐标为，且过作的切线过原点， 则，即，， ，则， 所以过上一点的切线为， 由该切线过原点及得，， 所以，解得， 因为，所以， 又，所以， 则， 故答案为：1． 6．②④ 【分析】取可判断①，取化简后可判断②，先化简，取可判断③，取可判断④. 【详解】对于①，当时，其最大值为1，最小值为0，的最大值与最小值的差为1，故①错误； 对于②，当时，，，因此对任意，，故②正确； 对于③，，，当时，故③错误； 对于④，当时，取，，使得对任意，都有，故正确. 故答案为：②④ 核心梳理： 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65 规律方法： 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝. (2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 【考点三】三角函数的性质 一、单选题 1．（2024·山东淄博·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的最小正周期 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 3．（23-24高一下·江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·山东济宁·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B．若，则函数在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D．若函数在上恰有一个零点，则 5．（2024·广东·二模）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江嘉兴·二模）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：.对于函数，则（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在区间上单调递增 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D．方程在区间上有两个不同的实数解 三、填空题 7．（2024·广东深圳·一模）若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则 ． 8．（23-24高三上·上海宝山·期末）若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 9．（2024·上海·三模）函数的最小正周期为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D D ACD AC AB 1．D 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的最小正周期，A错误； 对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误； 对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误； 对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 故选：D 2．D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】，可化为， 故单调增区间满足：，， 解得，. 令，，令，， ， 所以的单调递增区间是，. 故选：D 3．D 【分析】由条件列方程求，结合正切函数的性质求的单调递增区间. 【详解】依题意，，且， 即且， 因为，所以， 则， 所以，化简得， 因为，所以时，故， 所以． 由，得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 4．ACD 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的值域可判断B选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，若和为函数图象的两条相邻的对称轴， 则函数的最小正周期为，则， 所以，，此时，，合乎题意，A对； 对于B选项，若，则， 当时，则，所以，， 故当时，则函数在上的值域为，B错； 对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则为奇函数， 所以，，解得， 因为，当时，取最小值，C对； 对于D选项，因为，当时，， 因为函数在上恰有一个零点，则，解得，D对. 故选：ACD. 5．AC 【分析】由偶函数的定义判断奇偶性，由给定的区间，去掉绝对值，化简选项中的函数式，在由正弦函数的单调性判断区间是否符合函数的单调递增区间，即可得到答案. 【详解】对于A：，为偶函数， 当时，，， 的单调递减区间为， 的递增区间为， 而， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B：，为偶函数， 当时，，， 的单调递增区间为， 的单调递减区间为， 而， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C：，为偶函数， 当时，， 的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 而， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D：， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 故选：AC. 6．AB 【分析】由三角函数定义可得，根据题意，可得，利用正切函数的性质依次判断求解各个选项. 【详解】根据题意，，， 对于A，由正切函数的性质得，，解得， 所以函数的对称中心为，，故A正确； 对于B，，，由正切函数的性质可知在上单调递增，故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故C错误； 对于D，，，令， 由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且， 所以方程在区间上只有一个实数解，故D错误. 故选：AB. 7． 【分析】由三角函数的周期公式求出，再由正弦型函数的对称中心即可求出. 【详解】由得，，所以， 又的图象关于点中心对称， 所以,解得，又， 所以，. 故答案为： 8． 【分析】根据整体法可得零点满足，即可利用时，，求解符合条件的结合周期性验证所求满足其他区间即可. 【详解】令,则， 函数的零点 ， 当时，，此时符合条件的两个零点为故， 故，解得， 当 时，的零点为， 因此零点为，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间上恰好有两个零点。 故答案为： 9． 【分析】利用函数的最小正周期计算公式即可求解. 【详解】因为的最小正周期为, 所以函数的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为, 故答案为：. 核心梳理： 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间． (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴． (3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． 2单+2多+2填+2解 （有的加） 0.85-0.65 规律方法： 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项． 专题精练 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知，则（    ） A．0 B． C． D．1 2．（2024·广东茂名·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东江门·一模）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川泸州·三模）已知函数（）在有且仅有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江西九江·模拟预测）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南郑州·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南·模拟预测）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·山东滨州·期末）已知函数，下列选项中正确的有（    ） A．若的最小正周期，则 B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 C．若在区间上单调递减，则的取值范围是 D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是 10．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11．（2024·山东济南·一模）已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称 三、填空题 12．（2024·湖南株洲·一模）已知函数（，），若为奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值为 . 13．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数为偶函数，则 ． 14．（2024·上海·一模）已知中，为其三个内角，且都是整数，则 ． 四、解答题 15．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积． 17．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求在上的单调递增区间； (2)在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围. 18．（2024·山东临沂·一模）已知向量，，函数. (1)若，且，求的值； (2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 19．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数． (1)若方程在上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围； (2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A B C B D ACD AD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】由两角和与差的三角函数，结合求解. 【详解】已知， 则， ， ，， 则，， 则 . 故选：A. 2．C 【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可. 【详解】令，，得，则， 即，整理得，且， 那么，则. 故选：C. 3．A 【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则， 故选：A 4．A 【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案. 【详解】设，则 . 故选：A 5．B 【分析】当时，，依题意有，解出即可. 【详解】因为，所以， 因为函数（）在有且仅有三个零点， 结合正弦函数的图象可知， 解得， 故选：B. 6．C 【分析】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项. 【详解】， 定义域为，关于原点对称， 由， 所以为奇函数，排除BD； 当时，，因为为上减函数，为上的增函数， 则为上的减函数，且当，，则当， ，故，排除A. 故选：C. 7．B 【分析】根据题意可得，再利用值域可限定，解得的取值范围为. 【详解】由及可得， 根据其值域为，且， 由正弦函数图象性质可得， 即可得，解得. 故选：B 8．D 【分析】首先利用平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解的值. 【详解】由题意可知，， 因为函数关于原点对称，所以， 则，,得，且， 所以. 故选：D 9．ACD 【分析】利用最小正周期公式可得，可判断A；利用三角函数图象的平移可得，可判断B；利用余弦函数的减区间列不等式组求的取值范围，可判断C；结合在区间上只有一个零点，列不等式组可求的取值范围，可判断D. 【详解】对于A：由的最小正周期可得，又，解得，故A正确； 对于B：当时，，将其图象向右平移个单位长度后，得的图象，故B错误； 对于C：由得，令， 则在区间上单调递减， 于是，解得，即，故C正确； 对于D：因为在区间上只有一个零点， 所以在区间只有一个零点， 于是，解得，即，故D正确. 故选：ACD. 10．AD 【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的解析式，判断新图象的对称中心. 【详解】由函数图象可知，，的最小正周期为，A选项正确； ，，， 则，由，得， 所以. 当时，，，的值域为，B选项错误； 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，C选项错误； 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的图象， ，函数的图象关于点对称，D选项正确. 故选：AD 11．AC 【分析】由题意求出，然后由余弦型函数的性质判断即可. 【详解】函数的图象在y轴上的截距为， 所以，因为，所以.故A正确； 又因为是该函数的最小正零点， 所以，所以， 解得，所以，， 所以，故B错误； 当时，，故C正确； 将的图象向右平移个单位，得到， 是非奇非偶函数，图象不关于轴对称，故D错误. 故选：AC. 12．/ 【分析】根据奇偶性先求解出的值，然后化简，采用整体代换法得到所满足的不等式组，由此分析并求解出的最大值. 【详解】因为为奇函数，所以， 又因为，所以， 所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 当且仅当时能成立，所以， 所以的最大值为， 故答案为：. 13． 【分析】根据函数为偶函数得恒成立，利用两角和与差的正弦公式化简得恒成立，根据余弦函数的性质可得结果. 【详解】函数为偶函数， 所以恒成立，即， 所以， 即恒成立，又不恒成立， 所以恒成立，即， 又，所以， 故答案为：. 14．6 【分析】不妨令，利用正切函数的单调性，结合已知求出，再利用和角的正切公式分析求解即得. 【详解】在中，不妨令，显然为锐角，而是整数， 若，又函数在上单调递增，则， 此时与矛盾，因此，， ，整理得， 又都是整数，且，因此， 所以. 故答案为：6 15．(1)； (2)，； (3)． 【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式； （2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值； （3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.    由图象可知符合题意的的取值范围为. 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据三角恒等变换将化为一般式，再利用整体法，结合正弦函数单调性，即可求得值域； （2）根据题意，求得，利用等面积法和余弦定理，求得，再求三角形面积即可. 【详解】（1） , 当时，，又，故， 又在上单调递增，在单调递减，且， 故函数在上的值域为. （2）由（1）知，，由其最小正周期为， 可得，又，解得，则； 由，即，又，可得，则，即； 为的平分线，故可得， 则，即，； 在三角形中由余弦定理可得，即， 将代入上式可得：，即， 解得，或（舍去）； 故的面积为. 17．(1)； (2). 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可； （2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得继而得到整体代入求函数值的范围即可. 【详解】（1） . 因为所以 故. 由 解得 当时又 所以在上的单调递增区间为. （2）由 得（ 所以. 因为所以 又所以 又三角形为锐角三角形，则，则，所以， 又，， 则， 所以的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，依题意可得，即可求出，最后由利用两角差的余弦公式计算可得； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，，函数， 所以 ， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 . （2）将图象上所有的点向右平移个单位得到， 再将向下平移1个单位得到， 最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到， 即， 由，即，所以，， 解得，， 令可得，令可得， 又，所以， 即在时不等式的解集为. 19．(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，再探讨在上的性质，画出图象，数形结合求解作答. （2）由（1）求出B，由正弦定理求出，进而求出，再利用等腰三角形性质求解作答. 【详解】（1）依题意， ， 当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2， 当时，单调递减，函数值从减小到， 方程在上有2个不同的实数根，即直线与函数在的图象有两个公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，    观察图象，当时，直线与函数在的图象有两个公共点， 所以实数m的取值范围是. （2）由（1）知，，即， 在中，，即，则，解得，    在中，，，由正弦定理得， 则，显然，有， 于是，即有，则，是等腰三角形， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$