第十三章《轴对称》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第十三章《轴对称》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ）． A．  B．  C．   D．   2．已知平面直角坐标系内的点和关于轴对称，则（    ） A．2 B． C． D．1 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 4．如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   5．在中，，D是边上的动点（不与B、C重合），连接，若为等腰三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 7．如图所示，在长方形纸片中，点M为边上的一点，将纸片沿，折叠，使点A落在处，点D落在处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（  ） A．15 B．12 C．13 D．10 10．如图，和都是等边三角形，连接、相交于点M，连接、．①；②；③；④平分．其中正确的有（　　）个．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 12．如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .    13．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ． 14．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 15．如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有 .（填序号） 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：    (1)在图中作，使和关于轴对称， (2)并写出点的坐标． (3)求的面积． 17．如图，在中，，D为上一点，E为外一点，，连接，连接交于，且平分． (1)用尺规完成以下基本作图：过点A作的垂线，垂足为M；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)求证：．请根据下列证明思路完成填空： 18．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 20．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)求∠FAE的度数； (3)求证：CD＝2BF+DE． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图1，是等边三角形，、分别是、上的点，、相交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，当时，延长至，使得，连接、， ①求证：平分； ②若，，求的长度． 23．【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；    【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：    ①与的位置关系为： ； ②线段、、之间的数量关系为： ； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章《轴对称》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（    ）． A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．已知平面直角坐标系内的点和关于轴对称，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 【答案】C 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4．如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键． 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 5．在中，，D是边上的动点（不与B、C重合），连接，若为等腰三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键． 根据三角形内角和为为等腰三角形，分三种情况分别计算即可． 【详解】解： ∵， ， ， ∵为等腰三角形， 当时，， ； 当时，， 这时点与点重合，不符合题意， 当时，， ， 综上，的度数为或． 故选：D． 6．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD， 即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°， 故选A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键． 7．如图所示，在长方形纸片中，点M为边上的一点，将纸片沿，折叠，使点A落在处，点D落在处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据角的和差可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 8．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：C 9．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（  ） A．15 B．12 C．13 D．10 【答案】C 【分析】由AC=BC，，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案 【详解】如图： 是等边三角形 ， 作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点 ，交CD于P， 为最小值 ， 故答案选C 【点睛】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作图是关键． 10．如图，和都是等边三角形，连接、相交于点M，连接、．①；②；③；④平分．其中正确的有（　　）个．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】可证，从而可证()，进而可求，即可判断①③；过作交于，作交于，可证，即可判断④；当、、在一条直线上时，可判断②；即可求解． 【详解】解： 和都是等边三角形， ，， ， ， 即：， 在和中 ， ()， ， ， ， ， 即：， ， 故①③都正确； 如图，过作交于，作交于，    ， ， 平分， 故④正确； 如图，当、、在一条直线上时，    此时满足已知条件，但与显然不平行，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，和关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，点、、、在同一条直线上，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 12．如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .    【答案】13 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 13．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4． 【详解】解：如图，连接D， ∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称， ∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2， ∴∠CB=60°， ∴∠CB=∠B， ∵BD=BD， ∴△CBD≌△BD， ∴CD=D， ∴AD+CD=D+CD， ∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4， 故答案为：4． ． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键． 14．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 15．如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有 .（填序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】根据等腰三角形“三线合一”可以得到，即可判断①；根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，，再根据可得结论②；根据“”证明，由全等三角形的性质可得，在根据可得结论③；根据等腰三角形“三线合一”可以得到，再根据含角的直角三角形的性质可得结论④；根据得到，再根据可以得到，则结论⑤可得． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边的底边上的高， ∴，， 故①正确； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ， 故②错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∵，是的中点， ∴是等腰的底边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤正确； ∴正确的结论有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：    (1)在图中作，使和关于轴对称， (2)并写出点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) (3) 【分析】本题考查作图——轴对称变换，坐标与图形，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可得出， （2）根据图象写出点的坐标即可； （3）利用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （3）解：的面积是：． 17．如图，在中，，D为上一点，E为外一点，，连接，连接交于，且平分． (1)用尺规完成以下基本作图：过点A作的垂线，垂足为M；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)求证：．请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵， ∴． ∵平分，，， ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ， ∴（ ）． ∴ ． ∵， ， ∴ ． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）按基本作图“过一点作已知直线的垂线”作出图形即可； （2）由，得，而，由角平分线的性质得，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，再由，可得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：射线就是所求的图形． （2）证明：， ， 平分，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：，，，． 【点睛】此题重点考查尺规作图、过一点作已知直线的垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出图形并且证明是解题的关键． 18．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论， 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴ （2）如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形， ∴， ∵， 又∵，且， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴为等边三角形 ∴， 又∵，且， ∴， 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形． 20．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)求∠FAE的度数； (3)求证：CD＝2BF+DE． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解； （3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在△BAC和△DAE中， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长BF到G，使得， ∵， ∴， 在△AFB和△AFG中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证； （2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ， 即， ≌； （2）解：≌， ， ， ； （3）证明：如图，作于点于点， ， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．如图1，是等边三角形，、分别是、上的点，、相交于点，． (1)求的度数； (2)如图2，当时，延长至，使得，连接、， ①求证：平分； ②若，，求的长度． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，得到，则 由三角形外角的性质可得； （2）①如图所示，过点C作于M，过点C作交延长线于N，利用四边形内角和定理求出，由等边三角形的性质得到，证明，得到，则由角平分线的判定定理即可证明平分；②设，则，求出，则由含30度角的直角三角形的性质得到，则，由全等三角形的性质得到；证明，得到，进一步证明，得到，则，解得，由此可得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点C作于M，过点C作交延长线于N， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； ②设，则， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；    【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：    ①与的位置关系为： ； ②线段、、之间的数量关系为： ； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2) 平行 (3)有最小值，5 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，， ， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； （2）平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接，    ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为5．    【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$