2024—2025学年人教版九年级数学下学期二轮复习专题方程和函数中的多元消参问题训练

人教版2024—2025学年九年级下学期二轮复习专题 方程和函数中的多元消参问题训练 1.已知x+2y+7z＝0，x﹣2y﹣3z＝0（），则＝　 　． 2.已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，则m的最小值为　 　． 3.若a＞2b＞3c，，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围． 4.若过点A（1,0）的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件： ①6a+3b+2c＝0； ②当 时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值． 5.若过点C（﹣2，0）的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c＝0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值． 6.二次函数y＝ax2+bx+c满足以下两个条件：①图象过C（4，2）、D（﹣1，﹣3），两点；②当1≤x≤2时，y有最大值2，求a的值． 7.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1•y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围． 8.已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0），其中A（m，﹣m）、B两点关于原点对称，其中m＞0． ①求m及b的值； ②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标的最小值为﹣5a，求此二次函数解析式． 9.若抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2bx﹣3c（b≠0）在同一坐标平面内交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且同时满足下列两个条件：①a＞b＞c，②抛物线经过点（1，0），试求 的范围． 10.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围； 11.若关于x的二次函数y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）图象上至少存在不同的两点关于原点对称，同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围． 参考答案： 1.解：由x+2y+7z＝0，x﹣2y﹣3z＝0，得到x＝﹣2z，y＝﹣2.5z， 则原式＝＝﹣， 2.解：由题意可得， 解得a＝﹣3，b＝7﹣，c＝， 由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣． 所以m最小值＝﹣． 3.∵a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0， 整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，） ∴OP2＝（）2+（）2＝（）2+（）2＝2（）2+2+1＝2（+）2+， 令m＝，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2（m+）2+，∵2＞0， ∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m＝﹣时，OP2有最大临界值，当m＝﹣时，OP2有最小临界值，当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m＝﹣时，OP2有最小临界值，当m＝时，OP2有最大临界值，∴≤OP2＜且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴≤OP＜且OP≠1． 4.抛物线经过点A，∴a+b+c＝0，又∵6a+3b+2c＝0，∴b＝﹣4a，c＝3a， 对称轴x＝2，取值范围﹣1≤x+1，①若a＞0，则开口向上， 由题意x＝﹣1时取得最大值＝2+2，即（﹣1）2a+（﹣1）b+c＝2+2， 解得a＝． ②若a＜0，则开口向下，由题意x＝2时取得最大值2+2，即4a+2b+c＝2+2， 解得a＝﹣2﹣2． 综上所述所求a的值为或﹣2﹣2． 5.∵抛物线经过点C（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，又∵a+b+c＝0，∴b＝a，c＝﹣2a， ∴y＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣a，∵﹣＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜﹣， ∴当x＝a时，取得最大值4a，则a•a2+a•a﹣2a＝4a，解得a＝﹣3或2（不合题意舍去）， 当x＝a+1时，取得最大值4a，则a（a+1）2+a（a+1）﹣2a＝4a， 解得a＝1或﹣4，综上所述所求a的值为﹣4或1． 6.二次函数y＝ax2+bx+c满足以下两个条件：①图象过C、D两点；②当1≤x≤2时，y有最大值2，∴，解得：，∴a＝﹣． 7.由2a+3b+6c＝0，可得6c＝﹣（2a+3b），∵函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1•y2＞0，∴c（a+b+c）＞0，∴6c（6a+6b+6c）＞0， ∴将6c＝﹣（2a+3b）代入上式得，﹣（2a+3b）（4a+3b）＞0， ∴（2a+3b）（4a+3b）＜0，∵a≠0，则9a2＞0，∴两边同除以9a2得， （+）（+）＜0， ∴或，∴﹣＜＜﹣， ∴二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围是＜﹣＜． 8.①二次函数图象上点A（m，﹣m）关于原点对称的点B为（﹣m，m）， 把点A（m，﹣m）代入二次函数解析式得：am2+bm﹣4a＝﹣m（Ⅰ）， 把点B为（﹣m，m）代入二次函数解析式得：am2﹣bm﹣4a＝m（Ⅱ）， （Ⅰ）式﹣（Ⅱ）式得：2bm＝﹣2m，∵m＞0，∴b＝﹣1， 把b＝﹣1代入（Ⅰ）得：am2﹣m﹣4a＝﹣m，∴am2﹣4a＝0，∵a＞0，m＞0， ∴m＝2； ②由①知二次函数解析式为：y＝ax2﹣x﹣4a，∴二次函数图象对称轴为x＝（a＞0）， 当0≤2时，因为a＞0，所以点C的纵坐标的最小值为＝﹣5a， 解得a＝，此时二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2； 当＞2时，因为a＞0，所以A点的纵坐标即为点C的纵坐标的最小值， 即﹣5a＝﹣2，解得a＝，此时，＜1，不合题意，舍去， 综上所述，二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2． 9.记为联立，得：ax2+3bx+4c＝0， ∵抛物线与直线交点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝， ∴2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（﹣）2﹣4×＝， ∵抛物线经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b， ∴2＝＝9（）2+16（）+16，∵a＞2b＞3c， ∴2b＞3（﹣a﹣b），∴b＞﹣a，又∵a＞2b，∴a＞﹣a，∴a＞0， ∴﹣＜＜，令＝t，则﹣＜t＜，∴2＝9t2+16t+16＝9（t+）2﹣， ∴当﹣＜t＜时，2随t的增大而增大，当t＝﹣时，2＝，＝， 当t＝时，2＝，＝， ∴的取值范围是：＜＜． 10.设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0）， 代入解析式可得：． ∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．∴c＝2x02+2020，∴c＞2020； 11.设H（p，q）和（﹣p，﹣q），代入得到， 解得ap2+3c＝0，2bp＝q，∵p2＞0，∴a，c异号， ∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0， ∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0， ∴c2＜4a2，∴＜4，∴﹣2＜＜2，设t＝，则﹣2＜t＜0， 设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根， ∴|x1﹣x2|＝＝＝ ＝＝2＝2， ∵﹣2＜t＜0， ∴2＜|x1﹣x2|＜2． 学科网（北京）股份有限公司 $$