精品解析：吉林省长春市农安县2024-2025学年九年级上学期10月期中考试数学试题

农安县2024—2025学年度第一学期期中学情调研 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共六页，包括三道大题，28道小题，全卷满分120分． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡的制定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解：两边都除以，得 ， 故选：B． 3. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、 B. 4、2、 C. 4、、1 D. 4、2、1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选C． 4. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先分别化简对应选项中的二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最短的线段和最长的线段相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解∶A．， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选∶B． 7. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，逐一解答判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得的中点分别是点 D，E，且，那么A，B两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵ 的中点分别是点 D，E, ∴． 故选：C． 10. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 二、填空题（每小题4分，共40分） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 13. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 一元二次方程方程的根的判别式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据一元二次方程根判别式的定义式可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 已知，是方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵x1，x2是方程2x2-5x-1=0的两个根， ∴x1+x2=-. 故答案是：. 【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2= ．要求熟练运用此公式解题． 16. 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1：1000000，那么两地间的实际距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为厘米， 根据题意， 解得厘米米． 即实际距离是米． 故答案为：． 【点睛】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用． 17. 如图在中，是三角形的重心，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题，延长交于点H，证明，，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点H， 则H是的中点， ∴， 又∵是三角形的重心， ∴， 故答案为：． 18. 如图，，若，，，则的长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出，则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：6． 19. 如图，四边形中，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查相似三角形的判定与性质，先由证明，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到，则，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有______． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（21－24题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键； （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 23. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，且两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒元，经过两次降价后每盒元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， ， 解得：，（舍去）， 答：每次降价的百分率为． 24. 求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明： ． ， ． 对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根情况，判断其根的情况，完全取决于的符号，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】略 25. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】略 26. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下： 则即为所求． （2） 解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下： 则即为所求． （3）是，Q点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 27. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： （1）的有理化因式是_______，分母有理化得_______； （2）比较大小：_______（用“＜”“＞”或“＝”填空）； （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，平方差公式，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）按照题干中的步骤进行有理化因式，分母有理化即可求解． （2）将和分母有理化，即可比较大小． （3）将原式分母有理化，化简就可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴分母有理化得， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， 又， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：将分母有理化，可得 原式 ． 28. 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】 [探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）；[应用] 或 【解析】 【分析】[探究]（1）由题意可求，，进而可证； （2）由题意知，，由（1）知，则，代入计算求解即可； [应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[探究]（1）略 （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，，则， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 农安县2024—2025学年度第一学期期中学情调研 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共六页，包括三道大题，28道小题，全卷满分120分． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡的制定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 5 3. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、 B. 4、2、 C. 4、、1 D. 4、2、1 4. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 7. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得的中点分别是点 D，E，且，那么A，B两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 二、填空题（每小题4分，共40分） 11. 计算______． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 13. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 14. 一元二次方程方程的根的判别式的值为______． 15. 已知，是方程的两个根，则的值是________． 16. 地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1：1000000，那么两地间的实际距离是________米． 17. 如图在中，是三角形的重心，，，则的长为______． 18. 如图，，若，，，则的长是______． 19. 如图，四边形中，，若，则_______． 20. 按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有______． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 三、解答题（21－24题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分） 21. 计算： （1） （2） 22. 解方程 （1） （2） 23. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，且两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 24. 求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 25. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 26. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 27. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： （1）的有理化因式是_______，分母有理化得_______； （2）比较大小：_______（用“＜”“＞”或“＝”填空）； （3）计算：． 28. 【感知】如图①，在正方形中，为边上一点，连结，过点作，交于点．易证：（不需要证明）； 【探究】如图②，在矩形中，为边上一点，连结，过点作，交于点． （1）求证：； （2）若，，为的中点，求的长； 【应用】如图③，在中，，，．为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作，交于点．当为等腰三角形时，的长为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $