精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校2023-2024学年下学期学情调研九年级数学试卷

九年级数学素养反馈练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 … … p 1 p m … 有以下几个结论： ①抛物线与轴的交点坐标是； ②抛物线的对称轴为直线； ③关于x的方程的根为和； ④当时，的取值范围是． 其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，反比例函数(x>0)的图象经过□OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上，若□OABC的面积为18，则k的值为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 11. 如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线上．若，则_________°． 12. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为________． 13. 用一个半径为4的半圆围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为____． 14. 一支原长为20的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如下表： 烧烧时间／分 10 20 30 40 50 剩余长度/cm 19 18 17 16 15 当这支蜡烛的剩余长度为10时，这支蜡烛燃烧了_______分钟． 15. 如图，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是______． 16. 如图，在矩形中，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点M，则的长为______． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．） 17. 计算：； 18. 解不等式组并写出不等式组的整数解． 19. 先化简，再求值:，其中. 20. 已知函数（m为常数）． （1）若该函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围： （2）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点． 21. 如图，的对角线，相交于点O．E是的中点，连接并延长交于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求证：． 22. 为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女姓各名进行分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，分钟跳绳的个数用表示，分成了四个等级，其中：，：，：，：，下面给出了部分统计信息： 信息一：女生分钟跳绳个数等级扇形统计图 信息二：男生分钟跳绳个数等级频数统计表 等级 频数 信息三：男生和女生分钟跳绳个数的平均数，众数，中位数，等级所占百分比如下表： 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比 男生 女姓 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______． （2）根据以上数据分析，你认为九年级分钟跳绳男生成绩更优异，还是女生成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在跳绳个数达到等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少？ 23. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （2）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 24. 如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． （1）求直线和反比例函数的表达式； （2）点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 25. 如图，AB是⊙O直径，CG是⊙O的切线，C为切点，于D，DB的延长线交⊙O于点E，连接BC，CE． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，，求CD长． 26. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“佳点”． （1）如图2，已知，在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“佳点”； （2）关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有______（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． （3）如图③，中，，点D是边上的“佳点”，求线段的长． 27. 【项目式学习】如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（A、B分别在原点左右两侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上第一象限内一动点，过点A、点P的直线交y轴于点M，过点B、点P的直线交y轴于点N，连接，试探究之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式： （1）设． ①若点P的横坐标为2，计算：______，______； 比较大小：______（填“>”、“=”或“<”）． ②若点P的横坐标为m，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）根据上述研究经验，当A、B两点的横坐标为、时，之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由． （3）若，求出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素养反馈练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 2. 如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图的意义和画法即可解题． 【详解】解：球的左视图一个大圆，正方体的左视图是一个正方形， 该几何体的左视图是一个大圆与一个正方形， 故选：A． 3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 4. 如图，在中，弦相交于点P，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，解题的关键是掌握圆周角定理． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得． 【详解】解：∵， ， 又， ， 故选：D． 5. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 利用无理数的估算确定出所求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是5． 故选C． 6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 7. 已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 … … p 1 p m … 有以下几个结论： ①抛物线与轴的交点坐标是； ②抛物线的对称轴为直线； ③关于x的方程的根为和； ④当时，的取值范围是． 其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、抛物线与轴的交点，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断结论是否成立，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键 【详解】解：由表格可知该抛物线的对称轴为，故②正确； 根据对称轴可得当时，与时的值相同，均为，所以抛物线与轴的交点坐标是，故①正确； ∵与轴的交点坐标是， ∴， 由表格可知该抛物线过， ∴，解得， ∴抛物线方程为：， 令，解得或， ∴的根为和，故③正确； ∵，中， ∴该抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或，故④错误； 综上①②③是正确的， ∴正确的个数有3个， 故选：C． 8. 如图，反比例函数(x>0)的图象经过□OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上，若□OABC的面积为18，则k的值为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，则可用k表示出CD，利用平行四边形的性质可表示出EF，则可求得E点横坐标，且可求得AE=EF=CF=m，从而可表示出四边形OABC的面积，可求得k． 【详解】解：如图，分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F， ∵反比例函数的图象经过▱OABC的顶点C和对角线的交点E，设A（m，）， ∴OD＝m，CD＝， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴E为AC中点，且EF∥CD， ∴EF＝CD＝，且DF＝AF， ∵E点在反比例函数图象上， ∴E点横坐标为2m， ∴DF＝OF﹣OD＝m， ∴OA＝3m， ∴S△OAE＝OA•EF＝×3m×＝， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴S四边形OABC＝4S△OAE， ∴4×＝18，解得k＝6， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由分式有意义的条件可知：2-x≠0， ∴x≠2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 10. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将所求式子变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握方程的两根之和与两根之积与方程各系数之间的关系是解题的关键． 11. 如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线上．若，则_________°． 【答案】117° 【解析】 【分析】依据AB∥CD，即可得出∠2=∠ABC=∠1+∠CBE． 【详解】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠2=∠ABC=∠1+∠CBE=27°+90°=117°， 故答案为：117°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 12. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵黑色区域面积为正方形的内切圆的面积的一半， ∴针尖落在黑色区域内的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率：某事件的概率某事件所占有的面积与总面积之比． 13. 用一个半径为4的半圆围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算．设圆锥的底面圆的半径为，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为4的半圆的弧长为：， 围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：2． 14. 一支原长为20的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如下表： 烧烧时间／分 10 20 30 40 50 剩余长度/cm 19 18 17 16 15 当这支蜡烛的剩余长度为10时，这支蜡烛燃烧了_______分钟． 【答案】100 【解析】 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律可得剩余长度与燃烧时间的函数关系式，根据关系式令求出相应的的值即可． 【详解】解：设燃烧时间为分钟，蜡烛剩余长度为， 由表格中两个变量对应值的变化规律可得， ， 当时，则， 解得：， 故答案为：100． 【点睛】本题考查函数关系式，根据表格中两个变量对应值的变化规律得出函数关系式是解决问题的关键． 15. 如图，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，本题中由图像得出为中点是解题的关键． 由题意可知，易证，可得，根据二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，列出二次函数解析式即可解题． 【详解】解：若点在上时，如图 ，， ， 在和中，，， ， 由二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，此时， ， 即， ， 当时，代入得到 解得：，（不合题意舍去）， ， ， ∵， 矩形的面积为； 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点M，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的延长线于点E，设与交于点G，根据矩形性质和翻折性质，设，利用勾股定理求出的值，证明，求出，然后证明，得，再由，得，求出，证明，对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， 由翻折可知：， ， ， 由翻折可知：， ， ， 设， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法，负整数指数幂和立方根的意义，先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂和立方根的意义计算，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ． 18. 解不等式组并写出不等式组的整数解． 【答案】不等式组的解集，整数解为3． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答此题的关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，即可求得整数解． 【详解】解： 解不等式①，， ． 解不等式②，， ． 原不等式组的解集为． 不等式组的整数解为：3． 19. 先化简，再求值:，其中. 【答案】 【解析】 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时,原式 【点睛】考查分式的混合运算，掌握分式混合运算顺序是解题的关键. 20. 已知函数（m为常数）． （1）若该函数图象与y轴的交点在x轴上方，求m的取值范围： （2）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点． 【答案】（1） （2） 证明：令，则． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴该方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数图象与x轴有两个不同的公共点． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论；． （2）由，再证明即可； 【小问1详解】 解：令，则． ∵函数的图像与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 如图，的对角线，相交于点O．E是的中点，连接并延长交于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 证明：， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证； （2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，进一步即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 22. 为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女姓各名进行分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，分钟跳绳的个数用表示，分成了四个等级，其中：，：，：，：，下面给出了部分统计信息： 信息一：女生分钟跳绳个数等级扇形统计图 信息二：男生分钟跳绳个数等级频数统计表 等级 频数 信息三：男生和女生分钟跳绳个数的平均数，众数，中位数，等级所占百分比如下表： 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比 男生 女姓 根据以上信息，解答下列问题： （1） ______， ______． （2）根据以上数据分析，你认为九年级分钟跳绳男生成绩更优异，还是女生成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在跳绳个数达到等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少？ 【答案】（1）， （2）九年级分钟跳绳男生成绩更优异， 理由如下：男生和女生分钟跳绳个数平均数相同，但男生的中位数和等级所占的百分比都高于女生， 九年级分钟跳绳男生成绩更优异（答案不唯一，言之有理即可）． （3）将两名男生分别记为，，一名女生记为，列表如下： 共有种可能得结果，其中选到这名女生的结果有：，，，，共种，选到这名女生的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图求出等级所占的百分比，再用分别减去，，等级所占的百分比可得，即可得的值；用分别减去，，等级的频数，可得的值． （2）比较男生女生分钟跳绳的平均数、众数、中位数、等级所占的百分比，可得结论． （3）列表可得出所有等可能得结果数以及选到这名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可知，等级所占的百分比为， ， ． ． 故答案为：；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？ （2）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，证明出四边形是矩形然后在中利用三角函数得到，进而求解即可； （2）首先得到，四边形是矩形，然后在中利用三角形函数求出，然后利用三角形的外角求解即可． 【小问1详解】 过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴悬臂端点C到桌面l的距离约为； 【小问2详解】 ∵摄像头点D到桌面l的距离为， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 24. 如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． （1）求直线和反比例函数的表达式； （2）点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 【答案】（1）直线为，反比例函数的表达式为 （2）的坐标为：或． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式； （2）分两种情况：如图，连接，，当在的右边时，当时，则，如图，当在的左边时，如，连接，，交于，当为的中点时，则，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解： 中，，，轴，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， 设直线为 ， 解得， 直线为， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，，当在的右边时， 当时，则， 设直线为，而， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴令， 解得：，（不符合题意，舍去） 此时， ∴； 如图，当在的左边时，如，连接，，交于， 当为的中点时，则， 设，，而， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，平行线分段成比例定理，一元二次方程的解法，求得坐标是解决问题的关键． 25. 如图，AB是⊙O直径，CG是⊙O的切线，C为切点，于D，DB的延长线交⊙O于点E，连接BC，CE． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，，求CD长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接OC， ∵CG是⊙O的切线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴BC平分∠ABD． （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接OC，由切线的性质可知，由可得，则，由等边对等角可知，则，进而结论得证； （2）如图2，连接AC，由直径所对的圆周角为90°可知，由同弧所对的圆周角相等可得，则，可得，由可知，则，可得，在中，由勾股定理得求出CD的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接AC， ∵AB是⊙O直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴CD长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，平行线的性质，角平分线，直径所对的圆周角为90°，同弧所对的圆周角相等，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 26. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“佳点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“佳点”． （1）如图2，已知，在四边形中，平分于点E，，求证：点E是中边上的“佳点”； （2）关于直角三角形斜边上的“佳点”个数有______（填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． （3）如图③，中，，点D是边上的“佳点”，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵平分于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴点E是中边上的“佳点”； （2）③ （3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，本题要结合已知“佳点”的定义求解是关键． （1）证明，然后得到，再根据中点的定义即可得到结论； （2）根据“佳点”的定义利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半和直角三角形斜边上的高把该三角形分成了两个相似的直角三角形的性质即可判断直角三角形的“佳点”个数； （3）根据三角函数，转化为边的比例，求出 ，结合点的位置分类讨论，利用已知定义建立方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若直角三角形为非等腰直角三角形， 则斜边上的中线与斜边的交点和斜边上的高与斜边的交点都是直角三角形有一个“佳点”，共两个， 若直角三角形为等腰直角三角形，则斜边上的高与中线重合，故只有一个“佳点”， ∴若直角三角形为等腰直角三角形有一个“佳点”，若直角三角形为非等腰直角三角形，则有两个“佳点”，故直角三角形有或者个“佳点”， 故答案为：③； 【小问3详解】 作 于, ， ， 设 则， ， ， 解得， ， 设， 如图①，当点在点左侧时， 由点是边上的“佳点”有 ， 解得：或(舍去)， ， 如图②，当点在点右侧时， ， ， 解得：或(舍)， ， 综上：的长为或 ． 27. 【项目式学习】如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（A、B分别在原点左右两侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上第一象限内一动点，过点A、点P的直线交y轴于点M，过点B、点P的直线交y轴于点N，连接，试探究之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式： （1）设． ①若点P的横坐标为2，计算：______，______； 比较大小：______（填“>”、“=”或“<”）． ②若点P的横坐标为m，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）根据上述研究经验，当A、B两点的横坐标为、时，之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由． （3）若，求出k的取值范围． 【答案】（1）①； ②解：仍成立，理由如下： ∵点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 同理可求直线的解析式为， ， ， ， ； （2） 解：仍然成立，理由： ∵A、B两点的横坐标为、， ∴， ， 设， ∴同（1）得直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①由已知确定函数的解析式，求出的坐标，再由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； ②同理①，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； （2）分别求出的坐标，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； （3）令，根据面积公式求出的表达式为，再求的范围即可． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，， 解得：或， ， ， ， ∵点的横坐标为2， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 同理可求直线的解析式为， ， ， ， ， 故答案为：； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， 令， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式的方法，准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $