精品解析： 重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

重庆实验外国语学校 初2025届九上十月数学定时练习 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如右图所示，是一个由9个相同大小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中个数表示该位置立方块的个数，则该几何体的主视图为是（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A B. 1 C. D. 3. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，，则位似比为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米． A. 9.6 B. 10 C. 7.2 D. 8 6. 随着重庆动物园熊猫新馆的建成和使用，以熊猫为主题的文创物品更受大众喜爱，国庆期间，某店熊猫玩偶平均每天可售出80个，每件盈利10元，经调查发现，售价每涨1元则销量减少4个，为了某天盈利900元，设熊猫玩偶售价上涨元，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，图1有6个黑色棋子，图2有9个，图3有12个，按此规律，图2024有（ ）个黑色棋子． A. 6072 B. 6075 C. 6069 D. 6066 8. 如图，四边形中，，，，，点为的中点，分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角），则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，点是的中点，连接交于点．若，，则的长为（ ） A. 16 B. 24 C. 20 D. 12 10. 关于的三个多项式分别为：，，，下列结论正确的有（ ）个． ①关于的多项式不含一次项，则； ②对于任意实数，式子的最小值为10； ③关于的方程有两个不相等的实数根，则； ④关于的函数：，该函数图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．直线与该函数图象交于，两点，与直线交于点．若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分．请将答案直接填在答题卡对应横线上） 11. 计算：____________． 12. 已知，且为的整数部分，则的值为____________． 13. 不透明盒子中装有除颜色外没有其它区别的4个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球不放回，然后搅匀再摸出一个球，两次都摸出红球的概率是____________． 14. 如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为____________． 15. 如图，在中，，，，为边上的一点，以为半径的半圆交于点、交于点．过点作半圆的切线交边于点，且，则的长为____________． 16. 已知关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是____________． 17. 如图，中，，把沿翻折得；把沿翻折得．延长，交于点，连接交于点，是的平分线，若，则_____________． 18. 对于各位数字均不为零的三位自然数，若满足各位数字之和的2倍能被百位数字整除，则称为“特倍数”，例如，，，，将的百位数字放在其个位数字后得，再将的百位数字放在其各位数字后得．记．现有“特倍数”，当最小时，____________．已知一个“特倍数”，若能被9整除，则所有满足条件的的最大值与最小值之差为____________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每个小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2）． 20. 同学们在学习了《相似三角形》之后，张老师给出了下面问题： 如图，与中，斜边与相交于点，过点作于点．探究、、之间的数量关系，并证明． 下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点作垂足为点． （2）请将①②③④⑤⑥补充完整并填写在答题卡上． ， ① ② ， ③ ④ ⑤ 小李进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮他写出、、这三条线段之间的数量关系 ⑥ ． 21. 某中学在七、八年级举行了“奥运会运知识竞赛”活动，现从七、八年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用表示，共分成四组：：；：；：；：）：八年级50名学生成绩数据中，落在组中的成绩分别是：91，94，94，93，92，91，93，94，91，90，94，91，94，92，92． 根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 七年级 91 92 95 八年级 91 96 （1）直接写出上述图表中、的值：__________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由． （3）该校八年级共1200人参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩为优秀的八年级学生有多少人？ 22. 某景区为迎接“十一”长假游客高峰，提前购进植物装扮景区中心区域，用2400元购进一批玫瑰，用1200元购进一批康乃馨，若购进康乃馨的价格比玫瑰每盆少2元，所购康乃馨数量恰好是购进玫瑰数量的． （1）求该景区购买玫瑰和康乃馨的单价分别为每盆多少元； （2）景区中心区域装扮完后焕然一新，随后景区工作人员决定再次购买玫瑰和康乃馨继续美化景区四周，购买玫瑰的数量与第一次相同，购买康乃馨的数量比第一次多盆，而玫瑰与康乃馨均有涨价，玫瑰的价格比第一次购买时的价格高元，康乃馨的价格比第一次购买时高元，最终发现第二次购买玫瑰和康乃馨的总价比第一次购买玫瑰和康乃馨的总价高元，求的值． 23. 如图，在等腰中，，，点为的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止，过点作于点，过点作于点，两点同时出发，设运动时间为秒，的周长与的周长之比为，线段的长度为． （1）请直接写出，分别关于函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的图象的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 24. 如下图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）周末小义和小飞相约一起去公园游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 25. 已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，若点为直线上方抛物线上一动点，过作于，轴交于，在下方作平行四边形，且点在轴上，连接，当的长度最大时，求点坐标以及的最小值； （3）如图2，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，过新抛物线对称轴上的点作直线的平行线交直线于点，新抛物线的对称轴交直线于点，连接、．若，直接写出点的坐标． 26. 如图中，，，以为一边向上作，且． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，点与的中点重合，点是上方一点且，连接．过点作于点，交于点，在上取点使得，连接、，延长交于点．写出、、的数量关系并证明． （3）如图3，是等边三角形，，点、分别是线段、上动点（不含端点）且，连接、交于点，将线段沿着某条直线折叠后得到线段，点恰好落在射线上，连接、．在、运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆实验外国语学校 初2025届九上十月数学定时练习 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如右图所示，是一个由9个相同大小的立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中个数表示该位置立方块的个数，则该几何体的主视图为是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】】此题考查了三视图判断几何体，根据俯视图可得从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为1，3，3，再表示为平面图形即可． 【详解】解：根据俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数，得出主视图有3列，从左到右的列数分别是1，3，3． 故选：D． 2. 的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入计算即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查的是特殊角的锐角三角函数值的计算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 3. 如图，与是位似图形，点为位似中心，且，，则位似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先根据与是位似图形，得出，相似比为，据此即可作答． 【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心， ∴， ∵，， ∴相似比为， 即位似比为． 故选：B． 4. 已知点，，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵点，，在函数的图象上，， ∴， 故选：A． 5. 如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米． A. 9.6 B. 10 C. 7.2 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 6. 随着重庆动物园熊猫新馆的建成和使用，以熊猫为主题的文创物品更受大众喜爱，国庆期间，某店熊猫玩偶平均每天可售出80个，每件盈利10元，经调查发现，售价每涨1元则销量减少4个，为了某天盈利900元，设熊猫玩偶售价上涨元，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设熊猫玩偶售价上涨元，则销售量为个，每件熊猫玩偶盈利元，再根据总盈利900元列出方程即可． 【详解】解：设熊猫玩偶售价上涨元，则销售量为个，每件熊猫玩偶盈利元， 由题意得，， 故选：A． 7. 如图，图1有6个黑色棋子，图2有9个，图3有12个，按此规律，图2024有（ ）个黑色棋子． A. 6072 B. 6075 C. 6069 D. 6066 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，先由上图得出，第一个图的黑色棋子个数是，第二个图的黑色棋子个数是，第三个图的黑色棋子个数是，第四个图的黑色棋子个数是，以此类推得出第个图的黑色棋子个数是，据此即可作答． 【详解】解：依题意，第一个图黑色棋子个数是， 第二个图的黑色棋子个数是， 第三个图的黑色棋子个数是， 第四个图的黑色棋子个数是， 以此类推得出第个图的黑色棋子个数是， ∴ 即图2024有个黑色棋子 故选：B． 8. 如图，四边形中，，，，，点为的中点，分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角），则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，得出， ，再结合勾股定理算出，，然后算出，运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵，，点为的中点， ∴， ， ∴， 则， ∵，，点为的中点， ∴， 则， ∴， 则， ∵分别以、为圆心为半径作圆得扇形与扇形（、为圆心角）， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为． 故选：C． 9. 如图，中，，，点是的中点，连接交于点．若，，则的长为（ ） A. 16 B. 24 C. 20 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，延长与交于点，根据可得，，，即可由求出的长． 【详解】延长与交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 10. 关于的三个多项式分别为：，，，下列结论正确的有（ ）个． ①关于的多项式不含一次项，则； ②对于任意实数，式子的最小值为10； ③关于的方程有两个不相等的实数根，则； ④关于的函数：，该函数图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．直线与该函数图象交于，两点，与直线交于点．若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，绝对值化简，二次函数的性质，一元二次方程的判别式，把，，分别代入各个小问中计算即可． 【详解】解：∵，，， ①，当关于的多项式不含一次项，则，即，故①正确； ②， 当时，，即最小值不是10，故②错误； ③化为，整理得， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得且，故③错误； ④， 令，解得，则，， 函数图象如下： 由函数图象可得直线与该函数图象交于，两点，与直线交于点．若，则，故④正确； 综上所示，结论正确的有①④， 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分．请将答案直接填在答题卡对应横线上） 11. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据特殊三角函数，二次根式，负整数指数幂化简，再计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 已知，且为的整数部分，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则混合运算和无理数的估算等知识点，先利用乘法分配律进行二次根式的乘法运算，再进行加减运算，然后估算出m的整数部分，进而即可得解，熟练掌握无理数的估算是解决此题的关键． 【详解】∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴m的整数部分为1， ∵n为m的整数部分， ∴， 故答案为：1． 13. 不透明盒子中装有除颜色外没有其它区别的4个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球不放回，然后搅匀再摸出一个球，两次都摸出红球的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，利用列表的方法找出所有的可能，进而找出两次都为白球的情况数，即可求出两次都摸到白球的概率． 【详解】解：列表如下： 红 红 红 红 白 白 红 --- （红，红） （红，红） （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） --- （红，红） （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （红，红） --- （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （红，红） （红，红） --- （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （红，白） （红，白） --- （白，白） 白 （红，白） （红，白） （红，白） （红，白） （白，白） --- 可得出所有的可能有30种情况，其中两次都为红球的占了12种情况， 则两次都摸出红球的概率是． 故答案为：． 14. 如图，点、在反比例函数的图象上，点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，，过点作轴，垂足为，连接，，与的面积之比为，则的值为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，先求出，根据与的面积之比为，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点的横坐标为2，经过点的直线与轴交于点，， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∵轴， ∴． 故答案为：12． 15. 如图，在中，，，，为边上的一点，以为半径的半圆交于点、交于点．过点作半圆的切线交边于点，且，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，设半径为，接，，过作交于，设半径为，接，，先证明是等边三角形，得到，求出，再根据可求得结果． 【详解】解：设半径为，接，过作交于，则， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作半圆的切线交边于点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 16. 已知关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到且，进而确定符合题意的m的值即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴，解得， 关于y的分式方程，去分母得：， 去括号得：， 解得：， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∴在且范围内，且使是非负整数的的值可以为，，，， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 17. 如图，中，，把沿翻折得；把沿翻折得．延长，交于点，连接交于点，是的平分线，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，折叠的性质，正方形的判定与性质，先由翻折得到四边形为正方形，设，则， 再由，设，则，证明可得，再证明，得到，推出，即，整理得，解得，然后求出，由是的平分线可得，，求出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵把沿翻折得，把沿翻折得， ∴，，，， ∴平分，四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∵由四边形内角和得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 18. 对于各位数字均不为零的三位自然数，若满足各位数字之和的2倍能被百位数字整除，则称为“特倍数”，例如，，，，将的百位数字放在其个位数字后得，再将的百位数字放在其各位数字后得．记．现有“特倍数”，当最小时，____________．已知一个“特倍数”，若能被9整除，则所有满足条件的的最大值与最小值之差为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义内容，根据“特倍数”定义计算，然后代入各个小问计算即可． 【详解】解：为“特倍数”，则为整数， ∵，，， ∴， ∵“特倍数”， ∴为整数， ∵， ∴或， ∴当最小时，最小，此时， ∴； ∵“特倍数”， ∴是整数， ， ∴ ∵能被9整除， ∴能被9整除， ∵，均为整数， ∴当时，是整数，能被9整除，则，此时最小； 当时，是整数，则，此时不能被9整除，不合题意； 当时，是整数，当时，此时能被9整除，此时最大， ∴所有满足条件的的最大值与最小值之差为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每个小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先进行乘法运算，再进行加减运算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 20. 同学们在学习了《相似三角形》之后，张老师给出了下面的问题： 如图，与中，斜边与相交于点，过点作于点．探究、、之间的数量关系，并证明． 下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． （1）请在答题卡上完成尺规作图：过点作垂足为点． （2）请将①②③④⑤⑥补充完整并填写在答题卡上． ， ① ② ， ③ ④ ⑤ 小李进一步探究，如果把题设中的三个垂直关系改为：，请你帮他写出、、这三条线段之间的数量关系 ⑥ ． 【答案】（1）见解析 （2），，，，， 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的性质与判定； （1）根据题意，过点作垂足为点； （2）根据相似三角形的性质与判定，完成填空，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作垂足为点． 【小问2详解】 ， ， 如果把题设中的三个垂直关系改为：， ， ，， ∴ 故答案为：，，，，，． 21. 某中学在七、八年级举行了“奥运会运知识竞赛”活动，现从七、八年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用表示，共分成四组：：；：；：；：）：八年级50名学生成绩数据中，落在组中的成绩分别是：91，94，94，93，92，91，93，94，91，90，94，91，94，92，92． 根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 七年级 91 92 95 八年级 91 96 （1）直接写出上述图表中、的值：__________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由． （3）该校八年级共1200人参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩为优秀的八年级学生有多少人？ 【答案】（1）；； （2）八年级成绩较好，理由见解析 （3）840人 【解析】 【分析】（1）先求得八年级C组占比，即可求得D组占比，求出m的值；根据中位数的定义可求得n的值； （2）根据八年级中位数和众数都高于七年级的中位数和众数即可得到结论； （3）样本估计总体可能求解． 【小问1详解】 解：八年级C组占比为， ∴八年级D组占比：， ∴． 八年级50名学生成绩数据中，A、B组人数为， 中位数是第25、26个数据（按照成绩从低到高排列），落在C组， 将C组中的成绩重新排列为：90，91，91，91，91，92，92，93，93，93，94，94，94，94，94． ∴中位数； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：八年级成绩较好，理由如下 从中位数看，八年级的中位数高于七年级的中位数；从众数看，八年级的众数高于七年级的众数． ∴八年级成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计参加此次比赛成绩优秀（）的八年级学生人数是人 【点睛】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体，中位数和众数，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．样本估计总体是统计中常用的方法． 22. 某景区为迎接“十一”长假的游客高峰，提前购进植物装扮景区中心区域，用2400元购进一批玫瑰，用1200元购进一批康乃馨，若购进康乃馨的价格比玫瑰每盆少2元，所购康乃馨数量恰好是购进玫瑰数量的． （1）求该景区购买玫瑰和康乃馨的单价分别为每盆多少元； （2）景区中心区域装扮完后焕然一新，随后景区工作人员决定再次购买玫瑰和康乃馨继续美化景区四周，购买玫瑰的数量与第一次相同，购买康乃馨的数量比第一次多盆，而玫瑰与康乃馨均有涨价，玫瑰的价格比第一次购买时的价格高元，康乃馨的价格比第一次购买时高元，最终发现第二次购买玫瑰和康乃馨的总价比第一次购买玫瑰和康乃馨的总价高元，求的值． 【答案】（1）该景区购买玫瑰的单价为元，则康乃馨的单价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用； （1）设该景区购买玫瑰的单价为x元，则康乃馨的单价为元，根据“所购康乃馨数量恰好是购进玫瑰数量的”列出分式方程，解方程即可； （2）根据第二次购买玫瑰和康乃馨的总价比第一次购买玫瑰和康乃馨的总价高元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该景区购买玫瑰的单价为x元，则康乃馨的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程解，且符合题意， ∴， 答：该景区购买玫瑰的单价为元，则康乃馨的单价为元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，学校购买玫瑰的数量为（盆），康乃馨的数量为（盆）， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． 23. 如图，在等腰中，，，点为的中点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止，过点作于点，过点作于点，两点同时出发，设运动时间为秒，的周长与的周长之比为，线段的长度为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的图象的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）见解析，函数的图象在时，有最大值3 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据局 等腰三角形三线合一证明是的角平分线，是垂直平分线，求出，再利用直角三角形30度角所对的边是斜边的一半，得到，勾股定理求出，即可得到； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到的性质； （3）根据函数图象， ，即为函数的图象在函数图象上方时，的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：等腰中，，，点为的中点， ，是的角平分线，， ， ， ， 的周长为：； 根据题意得：， ，， ， ， 在中，， 周长为：， ； ， 当时，点Q在上运动，此时，； 当时，点Q在上运动，此时，； 综上，； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 函数的图象在时，有最大值3； 【小问3详解】 解：根据函数图象： 当时，， 时，或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 24. 如下图，、、、是某个景区的四个游客休息区（只有，可骑行），在的正西方向，在的正北方向；在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的东北方向，米．（参考数据：，，，，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）周末小义和小飞相约一起去公园游玩，他们到达后发现有两条路线可到，小义选择路线①，步行速度为每分钟90米；小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景，请你通过计算说明，小义和小飞谁先到达． 【答案】（1） （2）小飞先到达 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，矩形的判定和性质，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作交延长线于，交于，得到四边形是正方形，在中根据求出，，再在中求出，最后根据计算即可； （2）根据题意分别求出和的长，即可求出两人花费的时间，最后比较大小即可得到结论． 【小问1详解】 解：过作交延长线于，交于， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为米； 【小问2详解】 解：由（1）得，，， ∵小义选择路线①，步行速度为每分钟90米， ∴小义到达用时（分钟）， ∵小飞选择路线②，他租了一辆共享单车，骑行速度为每分钟240米，中途在处停留5分钟观赏风景， ∴小飞到达用时（分钟）， ∴小飞先到达． 25. 已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，若点为直线上方抛物线上一动点，过作于，轴交于，在下方作平行四边形，且点在轴上，连接，当的长度最大时，求点坐标以及的最小值； （3）如图2，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，过新抛物线对称轴上的点作直线的平行线交直线于点，新抛物线的对称轴交直线于点，连接、．若，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与线段最值，平行四边形的性质，相似三角形的性质； （1）把，代入计算即可； （2）延长至，交轴于，使，连接，，根据可得，利用二次函数的性质即可求出的最大值，由可得，则根据可以求出的最小值为的长； （3）求出平移后的抛物线解析式，设坐标，表示出解析式，分别求出，，表示出对应边长，根据相似列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 小问2详解】 解：令，解得， ∴，， ∴， ∴， 延长至，交轴于，使，连接，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 设，由轴交于可得， ∴ ∴， ∴当时，的长度最大，此时，， ∵，， ∴与关于轴对称， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小，最小值为长， ∵，， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴， ∴把抛物线沿射线方向平移个单位即为先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴新抛物线解析式为， ∴新抛物线对称轴为直线， ∵当时，， ∴新抛物线的对称轴交直线于点， ∵过新抛物线对称轴上的点作直线的平行线交直线于点， ∴设解析式为， ∵当时，， ∴， 联立，解得， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 整理得， ∴， 当时，解得，此时或； 当时，方程无解， 综上所述，或． 26. 如图中，，，以为一边向上作，且． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，点与的中点重合，点是上方一点且，连接．过点作于点，交于点，在上取点使得，连接、，延长交于点．写出、、的数量关系并证明． （3）如图3，是等边三角形，，点、分别是线段、上动点（不含端点）且，连接、交于点，将线段沿着某条直线折叠后得到线段，点恰好落在射线上，连接、．在、运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解 （3）的面积为或 【解析】 【分析】（1）作，由题意可推出；设，则，；根据即可求解； （2）延长交于点，依题意得出四点共圆，得出是等边三角形，证明，得出，进而根据即，得出，即，即可得出结论； （3）依题意点在以为直径的圆上运动，半径为，根据是等边三角形，画出图形，得出在以为直径的圆上，证明，即可求解． 【小问1详解】 解：作，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴ 【小问2详解】 ，证明如下， 如图所示，延长交于点， ∵，， ， ∵，， ∴四点共圆， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴，则 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴， 在中，， ， 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 又∵ ∴ 在中， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴，即 ∴， 【小问3详解】 解：∵中，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动，半径为， ∵是等边三角形， ∴，，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， 当时， ∵将线段沿着某条直线折叠后得到线段， ∴，则， ∴点为的中点， ∴， ∴ ∵ ∴是等边三角形， 则在以为直径的圆上 同理可得是等边三角形，则 ∴， ∴ ∴， 又∵是直径， ∴ ∴ ∴ 当时，如图所示，此时在的垂直平分线上，连接并延长交的垂直平分线于点，连接交于点，则即为的中点， 同上可得，则是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，直角所对的弦是直径，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$