精品解析：天津市第四十五中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题

天津市第四十五中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月） 数学试题 一、单选题： 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 直线：，：，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. C. D. 7. 若方程表示圆，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知分别是曲线：，：上的两个动点，为直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题： 10. 已知两点、，则直线的斜截式方程是 __． 11. 设，向量，，，且，，则__________. 12. 若直线与平行，则实数的值为______；与间的距离为____________． 13. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为__________. 14. 经过点的圆的标准方程为______. 15. 已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为_________． 三、解答题 16. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点 且垂直于直线的直线的方程； （2）求过点 并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 17. 分别求满足下列条件的圆的标准方程： （1）经过点，圆心在轴上； （2）经过直线与的交点，圆心为点. 18. 如图，平面 （1）求证：BF//平面ADE； （2）求平面CEB与平面BDE夹角的正弦值； （3）求点F到平面BDE的距离. 19. 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面 （1）求证:BE⊥平面ABCD; （2）求点C到直线AF的距离； （3）设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，求AH的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十五中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月） 数学试题 一、单选题： 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，， 所以. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中的点关于坐标平面的对称点的特征，即可求解. 【详解】点关于平面的对称点的坐标为， 所以点关于平面的对称点的坐标为. 故选：D 3. 圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆的半径即可得解. 【详解】依题意，圆心为，且经过坐标原点的圆的半径， 所以所求圆的标准方程为. 故选：D 4. 直线：，：，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两直线垂直时a的值，进而可判断充分必要条件． 【详解】直线：，：， 当时,有，解得或. 所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 5. 若直线过第一、三、四象限，则实数满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形知． 【详解】直线过第一、三、四象限，如图所示， 则． 即且． 故选：C． 6. 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得 ，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 7. 若方程表示圆，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出关于实数的不等式，解出即可. 【详解】方程表示圆，则，即， 解得或，因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 8. 已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出关于直线的对称点，再求出与所在的直线方程即为入射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则解得即. 所以人射光线所在直线的方程为，即. 故选：A 9. 已知分别是曲线：，：上的两个动点，为直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为求的最小值，求得的对称点，根据对称性即可求得结果. 【详解】曲线是以 为圆心,2为半径的圆, 是以为圆心,1为半径的圆, 则的最小值为的最小值为, 如下图所示,作点关于直线的对称点,设其坐标为, 可得,解得,即, 连接,分别交直线､圆于点,连接，交圆于点, 可得, 当且仅当三点共线时的最小值为, 则的最小值为, 故选：A. 【点睛】本题综合考查了点与圆,点关于直线对称的应用,需要学生能灵活运用所学知识. 二、填空题： 10. 已知两点、，则直线的斜截式方程是 __． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 11. 设，向量，，，且，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 12. 若直线与平行，则实数的值为______；与间的距离为____________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据两直线平行的公式求解，再根据平行线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 经检验，当时，两直线重合， 所以， 故，， 所以与间的距离为. 故答案为：；. 13. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】整理直线知过定点，求出，由数形结合即可得解. 【详解】直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 经过点的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径.要求圆的标准方程，需要先求出圆心坐标和半径.我们可以利用圆的性质，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，通过已知的三个点列出方程组来求解圆心坐标和半径. 【详解】设圆的标准方程为. 因为圆经过点，将其代入方程可得，即 ①. 因为圆经过点，将其代入方程可得，即 ②. 因为圆经过点，将其代入方程可得 ③. 用② - ①可得： 即则. 将代入①和③组成新的方程组： 将展开得，即. 用减去可得： 即解得. 将，代入，可得，即，. 所以圆的标准方程为. 故答案为:. 15. 已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为_________． 【答案】或除去点 【解析】 【分析】根据题意，设另一个端点的坐标为，由，列出方程，化简即可得到结果. 【详解】设底边的另一个端点的坐标为，则， 化简可得， 因为三点构成三角形，所以三点不共线且不重合， 当三点共线时，， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以点的轨迹方程为或除去点. 故答案为：或除去点. 三、解答题 16. 已知直线 与直线交于点. （1）求过点 且垂直于直线的直线的方程； （2）求过点 并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程求得点的坐标，结合题中条件即可得解； （2）分两种情况考虑，过原点和不过原点，不过原点时，利用待定系数法求解即可. 【小问1详解】 由 得 交点 由题直线 的斜率， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线 过原点时， 直线斜率为，此时直线方程为:，即， 当直线 不过原点时，设直线， 代入点 得，解得， 此时直线方程: 综上， 直线 的方程为:或. 17. 分别求满足下列条件的圆的标准方程： （1）经过点，圆心在轴上； （2）经过直线与的交点，圆心为点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将两点坐标代入求解即可； （2）联立两直线方程，求出交点坐标，进而求出圆的半径，即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题意得：解得：， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 联立与， 解得：，所以交点为， 则圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 18. 如图，平面 （1）求证：BF//平面ADE； （2）求平面CEB与平面BDE夹角的正弦值； （3）求点F到平面BDE的距离. 【答案】（1） 因为，BC平面ADE，平面ADE， 则平面ADE；因为，CF平面ADE，平面ADE， 则平面ADE.又因，则平面CFB//平面ADE. 又平面BCF，则BF//平面ADE； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）通过证明平面CFB//平面ADE，可证明结论； （2）如图建立空间直角坐标系，后求出平面CEB与平面BDE的法向量，结合空间向量知识可得答案； （3）由（2）利用空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，平面ABCD， 则，又，故如图可建立以A为原点的空间直角坐标系. 则. 则. 设平面CEB与平面BDE法向量分别为. 则. 则取. 设平面CEB与平面BDE夹角为，则. 得； 【小问3详解】 由（2）可得，则. 又平面BDE法向量可取， 则点F到平面BDE的距离. 19. 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面 （1）求证:BE⊥平面ABCD; （2）求点C到直线AF的距离； （3）设H为线段AF上的点，如果直线BH和平面CEF所成角的正弦值为，求AH的长度. 【答案】（1） 证明：因为四边形OBEF为矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质证明线面垂直即可. （2）建立适当的空间直角坐标系，应用空间距离向量的求法求点线距离； （3）根据（2）所得坐标系，由线面角的向量求法及其正弦值列方程，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），知平面，又平面，所以， 而在正方形中有，所以两两垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故，则， 所以， 则点C到直线AF的距离为. 【小问3详解】 由（2）知，则， 设平面的法向量为，则，取，则， 设且，则， 故， 所以，解得或， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $