精品解析：江苏省苏州外国语学校2023-2024学年下学期学情调研九年级数学试卷

苏州外国语学校2023-2024学年度第二学期学情调研初三数学 考试时间：120分钟　满分：130分 一、单选题：每小题3分，共24分 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答． 【详解】解：， 则信号最强的是， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键． 2. 下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．将一个图形沿着一条直线翻折后，直线两侧能完全重合的图形是轴对称图形，将一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合的图形是中心对称图形；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，逐一判断即可解答． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，熟知计算法则是解题的关键． 4. 如图，在 中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于 内一点F.连结并延长，交 于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【详解】根据题中所给的作图步骤可知， 是 的角平分线，即． 当 时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 5. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义． 6. 如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，再利用四边形BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝a，则S正方形BEOF＝a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝AN＝MN＝x，即3x＝a，解得x＝x，则S正方形MNGH＝a2，然后根据几何概率的意义，用两个小正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概率． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a， ∵四边形BEOF为正方形， ∴CF＝OF＝BF， ∴S正方形BEOF＝（a）2＝a2， 设正方形MNGH的边长为x， ∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形， ∴CM＝AN＝MN＝x， ∴3x＝a，解得x＝a， ∴S正方形MNGH＝＝a2， ∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣＝ 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键. 7. 如图1，点P从等边三角形 的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形 的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，令点 从顶点 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点 ．结合图象可知，当点 在上运动时，，，易知，当点 在上运动时，可知点 到达点 时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形 的边长． 【详解】解：如图，令点 从顶点 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点 ． 结合图象可知，当点 在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 当点 在上运动时，可知点 到达点 时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴， 即：等边三角形 的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 8. 如图， 经过 的顶点C，与边分别交于点M，N，与 边相切．若，则线段长度的最小值是（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于点F，当CF为 的直径时，此时最小，的长度也最小，连接，，过O作于E，根据圆周角定理和垂径定理得到，，，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得直径，然后解直角三角形求得即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵即为定值，且垂线段最短， ∴当CF为 的直径时，此时最小，的长度也最小， 连接，，则， 过O作于E，则，， ∵，，， ∴，则， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，解答的关键是找到直径最小时，线段的长度也最小． 二、填空题：每小题3分，共24分 9. 2024年春节档电影《热辣滚烫》的预计票房为34.95亿，将数据34.95亿用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，将数写成的形式即可，其中，n为正整数． 【详解】34.95亿， 所以． 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可求解x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，则2x-6＞0，解得：x＞3． 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 如图，已知，， 与的面积和为7，则的长为 _________________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图，过点A作 于点H，过点D作于点K．证明，推出，设，，构建方程组求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点A作 于点H，过点D作于点K． ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 设， 与的面积和为7， 即， 化简得：， 在中，,即， 则有， ， ． 故答案为：8． 13. 已知一次函数（ ， 为常数， ），当时，，则的值为_______． 【答案】2或##或2 【解析】 【分析】由与 的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出 与 的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：当时， 随的增大而增大， ∵当时，， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， ②①得：， 解得：， 把代入①得：， 此时； 当时， 随的增大而减小， 一次函数图象上的点坐标为和， 代入得：， 解得：， 此时， 故答案为：2或． 14. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则 ________（用含，的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出，，找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： ， ；， ， 故答案为：． 15. 如图，点A、B在x轴上，分别以， 为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，，平分，过 作，垂足为 ，若，，，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作交的延长线于点 ，可得，，设，则，在中，，根据定理可得，建立方程，解得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作交的延长线于点 ， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵，， ∴， 设，则 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 三、解答题：本大题共11小题，共82分 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中x是整数且满足不等式组． 【答案】不等式组得解集为，； ． 【解析】 【分析】先解每个不等式，求出其公共解，再进行分式运算，先通分，把除变乘，因式分解，约分化为最简分式，根据分式有意只能取x=-3代入求值即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组得解集为， = =； ∵x为整数，且分式有意义，x≠-1，-2 ∴x=-3， 当x=-3时， ． 【点睛】本题考查不等式组得解法，分式化简求值，掌握不等式组得解法，分式化简求值，注意分式有意义的条件是解题关键． 19. 小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… （1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 20. 如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，证明即可； （2）推导，即解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 21. 北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座19-22星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为 、 、 、 ． （1）小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，利用概率公式求概率． （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择不同模块的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的结果有12种， 小明和小亮选择不同模块的概率． 22. 某学校九年级共有320名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． I．A课程成绩的频数分布直方图如下图（数据分成6组：，，，，，）： II． A课程成绩在这一组的是： 70 71 71 71 73 73.5 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5 III．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表 课程 平均数 中位数 众数 A 75.3 m 84.5 B 72.2 70 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）m＝ ； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为75分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ； （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数． 【答案】（1）76 （2）B，该学生A课程的成绩小于中位数，而B课程的成绩大于中位数 （3）160人 【解析】 【分析】（1）根据课程A的中位数是第30和第31位数的平均数，找出第30和第31位数，然后取算术平均数即可； （2）根据成绩大于中位数则排名靠前，小于中位数则排名靠后进行判断即可； （3）求出A课程中成绩大于平均数的占比，再乘以总人数求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，课程A的中位数是第30和第31位数的平均数 由条形图可知，，，，，；各成绩段的人数依次是2、8、12、14、18、6 ∵， ∴第30和第31位数落在成绩这一组，且第30和第31位数分别为74、78 ∴ 故答案为：76． 【小问2详解】 解：由表可知，A课程的中位数为76，B课程的中位数为70 ∵， ∴B课程的成绩排名更靠前 故答案为：B；该学生A课程的成绩小于中位数，而B课程的成绩大于中位数． 【小问3详解】 解：由题意得，（人） ∴估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数为160人． 【点睛】本题考查了中位数，样本估计总体．解题的关键在于熟练掌握中位数的求解． 23. 某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高 为，连杆 长度为，手臂的长度为，B，C是转动点，且 ， 与始终在同一平面内． （1）转动连杆 ，手臂，使，，如图2，求手臂端点 离操作台的高度 的长（精确到，参考数据：，）． （2）物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆 ，手臂端点 能否碰到点？请说明理由． 【答案】（1）手臂端点 离操作台的高度 的长约为 （2） 手臂端点 不能碰到点，理由如下： 由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点 能碰到的距离最远， ∴此时， ∵，， ∴， 即手臂端点 不能碰到点． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键． （1）过点 作于点 ，过点 作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，，再解直角三角形可得 的长，由此即可得； （2）当点共线时，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点 作于点 ，过点 作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 则， 答：手臂端点 离操作台的高度 的长约为． 【小问2详解】 略 24. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点 ，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交 于点，连接． （1）反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集； （3）直线沿 轴方向平移，当 为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1） （2） （3）时，的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、二次函数的最值问题、反比例函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入一次函数解析式求出m的值即可得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，即可确定反比例函数解析式； （2）只需要找到当时，一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可解答； （3）先求出，，进而得到，再根据三角形面积公式得到，利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴当时，，即， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由题意，点，的坐标为，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴时，的面积最大，最大值为． 25. 如图，已知 是 的直径，C为 上一点， 的角平分线交 于点D，F在直线 上，且，垂足为E，连接、 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，的长为2，求 的半径和 的长． 【答案】（1）见解析 （2）半径为3； 【解析】 【分析】（1）连接 ，通过等边对等角和角平分线的定义得到，利用平行线的性质与判定即可得证； （2）通过证明，求出线段和 的长度，根据，求得，再根据， ，通过三角函数的定义即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接 ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是圆的半径， 是 的切线． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴ 的半径为3， ， ， ∴，即， ∴， ， ∴，即， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴． 26. 图1，在平面直角坐标系中，的直角边在 轴的正半轴上，且，斜边，点 为线段 上一动点． （1）请直接写出点 的坐标； （2）若动点 满足，求此时点 的坐标； （3）如图2，若点 为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点 的对应点为，当时，求此时点 的坐标； （4）如图3，若 为线段上一点，且，连接，将线段绕点 顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 【答案】（1） （2） （3） （4）的最小值为4， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出 即可； （2）如图1中，过点 作于点 ．设，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出 即可； （3）如图2中，设交于点．利用相似三角形的性质求出，再求出 ，可得结论； （4）如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于．证明，推出，推出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小． 【小问1详解】 解：如图1中，在中， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：如图1中，过点 作于点 ． ， ， 设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2中，设交于点． ，， ， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，； 【小问4详解】 解：如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于． ， ， ，， ， ， 点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为4， ，， 是等边三角形， ，即， 线段扫过的面积． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 27. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，交 轴于点 ． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，点 在抛物线第一象限上，过点 作轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 ，的长为，求与 的函数关系式：（不要求写出 的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，点在抛物线第四象限上，连接、，与 交于点 ，，若，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式： （2）与 的函数关系式： （3） 【解析】 【分析】（1）将点，点，代入，即可求解， （2）由点 、点 坐标，求出直线 解析式，用 表示出 、 的纵坐标，根据，即可求解， （3）由，得出，由，解得：，根据三角形外角定理，与，可得，构造，得到，直线与抛物线交点，即为点，求出解析式，联立抛物线解析式，即可求解， 本题考查了，求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，求一次函数与二次函数交点坐标，解题的关键是：找到已知条件（，若）的转化方法． 【小问1详解】 解：将点，点，代入， ，解得：， 故答案为：抛物线的解析式：， 【小问2详解】 解：由（1）结论可知，点 坐标为， 设直线 解析式为：，将点代入，解得： ， 直线 解析式为：， 点 的横坐标为 ，则点 的纵坐标为， 点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为， 点 在抛物线第一象限上， ，即：， 故答案为：与 的函数关系式：， 【小问3详解】 解：，， ， ，即：，整理得：， ，， ， ，即：，整理得：， ，， ， ，即：，即：， 解得：或（舍）， ， ，， ，即：， 作点，作轴，垂足为，连接， 则：，， ， ，， ， ， ， ， 直线与抛物线交点，即为点， 设直线解析式为：，点，点，在直线上， ，解得：，直线解析式为：， 解得：，， 为点 ，为点， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州外国语学校2023-2024学年度第二学期学情调研初三数学 考试时间：120分钟　满分：130分 一、单选题：每小题3分，共24分 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 3. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在 中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交， 于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于 内一点F.连结 并延长，交 于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 两个矩形的位置如图所示，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 8. 如图， 经过 的顶点C，与边分别交于点M，N，与边相切．若，则线段长度的最小值是（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 二、填空题：每小题3分，共24分 9. 2024年春节档电影《热辣滚烫》的预计票房为34.95亿，将数据34.95亿用科学记数法表示为_______． 10. 因式分解：______． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围是________． 12. 如图，已知，， 与的面积和为7，则 的长为 _________________． 13. 已知一次函数（ ， 为常数， ），当时，，则的值为_______． 14. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为 ，则________（用含，的式子表示）． 15. 如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边， 于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为_________． 16. 如图，在△ABC中，，平分，过 作，垂足为，若，，，则=______． 三、解答题：本大题共11小题，共82分 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中x是整数且满足不等式组． 19. 小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… （1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． （2）写出你的解答过程． 20. 如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座19-22星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为 、 、、 ． （1）小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率． 22. 某学校九年级共有320名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． I．A课程成绩的频数分布直方图如下图（数据分成6组：，，，，，）： II． A课程成绩在这一组的是： 70 71 71 71 73 73.5 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5 III．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表 课程 平均数 中位数 众数 A 75.3 m 84.5 B 72.2 70 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）m＝ ； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为75分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ； （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数． 23. 某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆 长度为，手臂的长度为，B，C是转动点，且， 与始终在同一平面内． （1）转动连杆 ，手臂，使，，如图2，求手臂端点 离操作台的高度 的长（精确到，参考数据：，）． （2）物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆 ，手臂端点 能否碰到点 ？请说明理由． 24. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与 轴交于点 ，平行于 轴的直线交反比例函数的图象于点 ，交于点，连接． （1）反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集； （3）直线沿 轴方向平移，当 为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 25. 如图，已知是 的直径，C为 上一点， 的角平分线交 于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接、 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若， 的长为2，求 的半径和 的长． 26. 图1，在平面直角坐标系中，的直角边在 轴的正半轴上，且，斜边，点 为线段上一动点． （1）请直接写出点 的坐标； （2）若动点 满足，求此时点 的坐标； （3）如图2，若点 为线段 的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点 的对应点为，当时，求此时点 的坐标； （4）如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 27. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，交 轴于点． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，点 在抛物线第一象限上，过点 作轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 ，的长为，求与 的函数关系式：（不要求写出 的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，点在抛物线第四象限上，连接、，与 交于点，，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $