精品解析：山东省临沂市兰山区开慧实验学校2024-2025学年九年级10月月考数学试题

临沂开慧实验学校阶段性学情调研2024.10 九年级 数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 3. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 5. 欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 6. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②其顶点坐标为；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤，其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若抛物线有最小值，则常数m的值为__________． 12. 若是方程的一个解，则方程的另一个解是______，k的值是______ 13. 已知是方程的一个根，试求的值______． 14. 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是____________． 15. 已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 16. 定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）以配方法解方程：； （2）以公式法解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若，求的值． 19. 已知二次函数． （1）将二次函数的表达式化为的形式为______； （2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象： （3）根据图象写出：当时，的取值范围是______； （4）若方程，（a为常数有实数根，则的取值范围为______． 20. 如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米． （1）若两个鸡场的面积和为S，求S关于的关系式并写出的取值范围； （2）两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？ 21. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 22. 如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． （1）请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； （2）请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 23. 如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． （3）若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 24. 如图：对称轴的抛物线与轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与轴的交点． ①在对称轴直线上找到一点P，使得的周长最小，求出P点的坐标． ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂开慧实验学校阶段性学情调研2024.10 九年级 数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 3. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解题的关键． 先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可． 【详解】解：在关于x的一元二次方程中，，，， ， 因为，所以， 所以关于x的一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根． 故选A． 4. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律作答即可． 【详解】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位 得到的函数关系式是 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象平移的规律，即上加下减，左加右减，熟练掌握平移规律是解题的关键． 5. 欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键．根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果． 【详解】解：由勾股定理得： ∵，， ∴ 整理得： ∵ ∴的长是方程 的一个正根 故选：C． 6. 设、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，再将变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：由题意得，，， 所以 ， 故选：D． 7. 如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 8. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：B 9. 已知二次函数的图像过点，，开口向下，若点，，均在二次函数的图象上，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 由于，的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点到直线的距离的大小来判断的大小． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， 注意到，两点的纵坐标都是， ∴二次函数的图象是开口向下，且对称轴为直线，即的抛物线， 点，，均在二次函数的图象上， ， ， 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②其顶点坐标为；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤，其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质和二次函数的图象可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知， 抛物线开口向上，则，顶点在轴右侧，则，与轴交于负半轴，则， ， 故①正确； 由抛物线过点，，，可得， ， 解得， ， 顶点坐标是， 故②错误； 由图象可知，， ， ， 故③正确； 由函数图象可知，当时，随的增大而减小， 故④正确； 当时，， 故⑤错误， 综上可得，正确的是①③④，共3个． 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若抛物线有最小值，则常数m的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次函数的定义以及二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】解：∵抛物线有最小值， ∴（开口向上）， 解得， 即， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的图象性质，抛物线有最小值，即抛物线开口向上，二次项系数大于0． 12. 若是方程的一个解，则方程的另一个解是______，k的值是______ 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是利用一元二次方程的根与系数的关系求解．由一元二次方程根与系数的关系可得，然后将代入即可求出的值及另外一个解． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ， 故答案为：，1． 13. 已知是方程的一个根，试求的值______． 【答案】2009 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；由是方程的一个根，将其代入方程，得到关于A的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】∵是方程的一个根， ∴，即， 则 故答案为：2009． 14. 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键． 根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据、关于对称轴对称，可得点坐标． 【详解】解：令，得到， ， ，得函数图象的对称轴是直线， 设点坐标为，由、关于对称轴， 得， 解得， 即点坐标为， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；根据顶点坐标为，求出．根据题意可得求值即可． 【详解】解：由图象可知：二次函数的顶点坐标为， ∴，即， ∵有两个不相等的实数根， ∴ ∵抛物线开口向上 ∴ ∴ ∴． 故答案为． 16. 定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解题中新运算定义是解答的关键．先根据题意得到方程，再根据方程解的情况得到，进而解不等式求解即可． 【详解】解：由题意，可化为，即， ∵该方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）以配方法解方程：； （2）以公式法解方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用， （1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先将方程转化成一般式，再求出的值，代入公式求出即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 系数化成1得：， 配方得：， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴， ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若，求的值． 【答案】（1） 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程写出根的判别式，根据根的判别式的值为正数即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，将变形为，代入后得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵，即， ∴， 整理得， 解得，． 19. 已知二次函数． （1）将二次函数的表达式化为的形式为______； （2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象： （3）根据图象写出：当时，的取值范围是______； （4）若方程，（a为常数有实数根，则的取值范围为______． 【答案】（1） （2） 解：列表： 描点、连线，画出函数图象如图： ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可； （2）计算出根据表格数据，描点连线绘制函数图象即可； （3）观察函数图象即可求解； （4）根据根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）的图像及表格可得， 当时，； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴ ∵方程，（a为常数有实数根， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，根据点的坐标画出函数图象利用数形结合解决问题是解题的关键． 20. 如图，利用一面墙墙的长度为，用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为米． （1）若两个鸡场的面积和为S，求S关于的关系式并写出的取值范围； （2）两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？ 【答案】（1）， （2）两个鸡场面积和有最大值，最大值是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式，再由的取值范围可得出的取值范围； （2）将关于的关系化为顶点式，即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可得，，即， ∴， 即关于的关系式是， 又由题意可得：，即， 解得：， 即的取值范围为：； 【小问2详解】 解：， 当时，取得最大值，此时， 即两个鸡场面积和有最大值，最大值是． 21. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是，且是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， ， 即与之间的函数关系式是； 【小问3详解】 由（2）知：， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 22. 如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． （1）请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； （2）请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 【答案】（1）函数关系式为 （2） 没有出界，理由如下： 设第一次落地点为B，令，则， 解之得：（舍），， ∵， ∴排球第一次落地没出界． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先根据图象得出该抛物线顶点为，设，代入即可作答； （2）设第一次落地点为B，令，则，解方程即可求解． 【小问1详解】 由题意可知：该抛物线顶点为， ∴， 把的坐标代入解析式，得， 解得， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 略 23. 如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． （3）若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，再根据图象求解即可； （3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴． 当时，， 解得， ∴点． 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵直线与抛物线的交点在第三象限， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 观察图象，得不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点； 当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点， ∴n的取值范围为或． 24. 如图：对称轴的抛物线与轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与轴的交点． ①在对称轴直线上找到一点P，使得的周长最小，求出P点的坐标． ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）①；②的最大值为 【解析】 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，点A的坐标为，点在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到C点坐标，由抛物线的轴对称性质知：点A与点B关于直线对称，所以连接，直线与直线的交点即为所求的点P，运用待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点P的坐标； ②由直线的解析式为，设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含m的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为，A点坐标为与在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：①由于A、B关于抛物线的对称轴对称，那么P点为直线与的交点时，的周长最小， 由（1）知，抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； ②∵直线的解析式为，抛物线关系式为， ∴设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题．解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $