精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Ⅱ卷）

高二学年数学试题（II卷） 答题时间：120分钟 满分：150分 一､单选题 1. 双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由双曲线方程易知C的渐近线为， 所以，则. 故选：C 2. 若圆的圆心是，则该圆的半径为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心公式，求，再化简为圆的标准方程，即可求圆的半径. 【详解】由题意可知，，则， 所以圆的方程为，即， 所以圆的半径为2. 故选：C 3. 已知点到原点的距离等于1，则实数满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点之间的距离公式列式即得. 【详解】依题意，由点到原点的距离等于1可得，， 故实数满足的条件是. 故选：C. 4. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得，再利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】 依题意，则，由椭圆对称性，得线段，互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长． 故选：A． 5. 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 6. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率. 【详解】如下图所示：    因为的中点，且，则， 由椭圆的定义，则， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得， 即；又因， 代入整理得：，即， 解得或（舍）. 故选：C. 二､多选题 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（   ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 11. 已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为： B. 的最小值为1 C. 为坐标原点，的最小值为 D. 为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据曲线方程的求法求解判断A，由椭圆的定义及“1”的变形技巧运用均值不等式求最值判断B，根据题意知，转化后求椭圆上点到直线与原点距离和的最值判断C，利用斜率公式及椭圆方程化简计算斜率之积判断D. 【详解】对A，设，则，即， 化简得，故A正确； 对B，设椭圆另一个焦点为，如图， 由O为和中点可知四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对C，由定义知动点到定点与它到定直线距离满足， 所以，即求椭圆上一点到与直线距离和的最小值， 显然当在椭圆右顶点时，取得最小值，故C正确； 对D，设，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 12. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（ ） A. 直线与的斜率之积为4 B. 若，则 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若，则点坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意设点,，,，,，把点，坐标代入双曲线的方程，两式相减得，即可判断A；利用余弦定理，结合；记，则双曲线定义即可判断B，由于，利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求内切圆半径，利用切线长的性质即可求解C；画出图形，利用是线段的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以为直径的圆与圆的位置关系即可判断D． 【详解】设点,，,，,， 则且，两式相减得，， ，故A错误， 由于，，若， 由余弦定理可得， 解得，由于，故，故B正确， 在双曲线右支上，， 是线段的中点，， 是线段的中点，， ，，， 即圆心距等于两圆的半径之差， 以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确． 记，则，，， 解得或 （舍去），， 的面积为， 设三角的内切圆半径为，则，所以， 设圆与三边相切于，则 设则 故，解得，所以,故或,D错误， 故选：BC． 三､填空题 13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可． 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点， 由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得． 故答案为：4． 14. 过点的等轴双曲线的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出双曲线方程，代入点的坐标，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为，， 将点代入得，解得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 15. 若圆与圆有且仅有一条公切线，______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可. 【详解】由， 显然， 又只有一条公切线，所以相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 16. 数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案：________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出给定椭圆的蒙日圆方程；再根据题目条件可得出直线与该蒙日圆相交，建立不等式即可求解. 【详解】由题知，因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆， 所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：． 若直线上存在点使为直角， 即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点，， 解得， 故答案为:． 四､解答题 17. 已知直线，设直线的交点为. （1）求点的坐标； （2）若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标； （2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得. 【小问1详解】 联立方程解得. 【小问2详解】 直线在两坐标轴上的截距相等， 直线的斜率为或经过原点. ①当直线过原点时，直线过点， 的方程为； ②当直线斜率为时，直线过点， 的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18. 已知的顶点坐标分别是，，. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与的外接圆相交于M，N两点，求. 【答案】（1）； （2）120°. 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，后待定系数法构造方程，求解系数即可. （2）画出图形，求出圆心到直线的距离为，后根据圆的性质结合等腰三角形知识可解. 【小问1详解】 设圆的一般方程为：， 将，，代入， 得，解得，所以外接圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，设圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 又因为，在等腰中，所以圆心角，则. 19. 已知椭圆的离心率，点在上，为坐标原点. （1）求的标准方程； （2）若不过原点的直线交于，两点，是线段的中点，且直线的斜率为2，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率定义和点代入可解得，得解； （2）设直线的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得线段的中点为的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【小问1详解】 ，， 椭圆的方程可化为，又点在椭圆上，， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知直线不过原点且斜率存在， 设直线的方程为，，，， 联立，整理得， 则， ，， 又直线的斜率为，，解得. 即直线的斜率为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 20. 已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 21. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定的值，得出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解. 【小问1详解】 由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即， 又离心率为所以 ． 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 依题意，直线l与x轴不重合， 设l的方程为：． 联立得：， 因为在椭圆内，所以， 即，易知该不等式恒成立， 设， 由韦达定理得． 又，则 注意到，即： . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 22. 已知和为椭圆上的两点. （1）求椭圆的离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程即可联立求解方程，进而由离心率公式求解. （2）由点到直线距离以及弦长公式，结合面积公式先表示出的面积，即可结合换元法以及二次函数的性质得出的范围． 【小问1详解】 将和代入椭圆方程可得且， 解得，故所求椭圆方程为： 故离心率为， 【小问2详解】 设,，,， 将，代入椭圆的方程， 整理得， ， 所以点到直线的距离为， ， ， 设，则， ， 当时上式取等号．的最大值为 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二学年数学试题（II卷） 答题时间：120分钟 满分：150分 一､单选题 1. 双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 若圆的圆心是，则该圆的半径为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知点到原点的距离等于1，则实数满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（   ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 10. 已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A. 直线l恒过定点 B. y轴被圆C截得的弦长为 C. 直线l与圆C恒相交 D. 直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 11. 已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线取曲线交于两点．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为： B. 的最小值为1 C. 为坐标原点，的最小值为 D. 为曲线上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则 12. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（ ） A. 直线与的斜率之积为4 B. 若，则 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若，则点坐标为 三､填空题 13. 点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________. 14. 过点的等轴双曲线的方程为________________. 15. 若圆与圆有且仅有一条公切线，______ . 16. 数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案：________． 四､解答题 17. 已知直线，设直线的交点为. （1）求点的坐标； （2）若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 18. 已知的顶点坐标分别是，，. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与的外接圆相交于M，N两点，求. 19. 已知椭圆的离心率，点在上，为坐标原点. （1）求的标准方程； （2）若不过原点的直线交于，两点，是线段的中点，且直线的斜率为2，求直线的斜率. 20. 已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 21. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值． 22. 已知和为椭圆上的两点. （1）求椭圆的离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $