精品解析：湖北省武汉市洪山高级中学2024-2025学年高一上学期10月测试数学试卷

武汉市洪山高级中学2027届高一10月月考数学测试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若函数与的图象恰有4个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若在函数定义域的某个区间上定义运算，则函数，的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（ ） A. 点到点只打开了两个进水口 B. 点到点三个水口都打开 C. 点到点只打开了一个出水口 D. 点到点至少打开了一个进水口 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（    ） A. 当时， B. C. 函数的值域为 D. 当时，函数的值域为 11. 已知 是定义在 上的单调递增且图象连续不断的函数， 若 ， 恒有 成立， 设 0 ，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足对任意的实数，都有，则a的取值范围是______________. 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 14. 若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 16. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式 17. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 18. 已知函数． （1）请用定义证明函数在上单调递减； （2）若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市洪山高级中学2027届高一10月月考数学测试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点在幂函数的图象上，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 2. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可. 【详解】选项A：对于，其定义域为. 对于，因为恒成立，所以定义域为. 又因为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项B：的定义域是.的定义域是. 虽然自变量的符号不同，但是它们的定义域相同，对应关系（这里和都只是自变量的符号）也相同，所以和是同一个函数. 选项C：的定义域为. 当时，；当时，，，其定义域为. 与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项D：，根据根式的性质，其定义域为. ，其定义域为. 由于和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：D. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可． 【详解】因为的定义域是， 所以要使得有意义， 需满足，解得． 则函数的定义域为是 故选：B 4. 已知函数，若函数与的图象恰有4个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，然后参变分离，令，然后换元得，作出函其图象即可求解. 【详解】函数与的图象恰有4个交点，等价于有4个不同实数根， 因为不是方程，所以. 记，令，则， 由对勾函数和翻折变换作出函数的图象如图： 由图可知，当或时，函数与直线又4个交点， 所以，实数的取值范围是. 故选：D 5. 已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析与的取值情况，不等式等价于或，解得即可. 【详解】由的图象可知当时，当时， 当的图象可知当时，当时， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 6. 若在函数定义域的某个区间上定义运算，则函数，的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新运算法则求解的解析式和的范围，根分段函数的性质求解值域． 【详解】解：， 由新运算法则可得，即 当或时，，对称轴， 当时，， 若，则，其值域为，即值域为； 若，则，其值域为，即值域为； 综上可得函数值域为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，属于中档题． 7. 已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围. 【详解】因为函数在上是单调增函数，且. 所以 解得 故选：D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果. 【详解】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（ ） A. 点到点只打开了两个进水口 B. 点到点三个水口都打开 C. 点到点只打开了一个出水口 D. 点到点至少打开了一个进水口 【答案】ABD 【解析】 【分析】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为，再分析丙图中点到点、点到点、点到点的蓄水量的变化可得进水口和出水口的打开情况，即可得正确选项. 【详解】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为， 对于A：由丙图知：点到点蓄水量增加，所以只打开了两个进水口，只进水不出水，故选项A正确； 对于B：点到点蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，故选项B正确； 对于C：点到点蓄水量减少，说明每个小时减少，所以打开了一个进水口和一个出水口，故选项C不正确； 对于D：由选项ABC的分析可知，点到点至少打开了一个进水口，故选项D正确； 故选：ABD. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（    ） A. 当时， B. C. 函数的值域为 D. 当时，函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由高斯函数定义来验证即可；对于B，注意到，使得，即可运算判断；对于C，由B选项可得的周期，故只需讨论在上的值域即可；对于D，分别求出每一段的值域，再求并集即可. 【详解】对于A，当时，，正确； 对于B，因为，使得，此时， 从而，错误； 对于C，由B选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数， 故只需讨论在上的值域即可， 当时，，即函数的值域为，正确； 对于D，当时，，当时，， 当时，，依次类推，当时，，取并集得函数的值域为，正确. 故选：ACD. 11. 已知 是定义在 上的单调递增且图象连续不断的函数， 若 ， 恒有 成立， 设 0 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：令，结合单调性分析即可判断；对于B：假设存在使得，分析可知恒等于1，结合单调性分析判断；对于CD：利用反证法证明，结合基本不等式分析可得，构建函数，结合的单调性可知，即可得结果. 【详解】令 ， 得 ， 即 ， 因为 在区间 上单调递增， 所以 不恒等于 ， 故 ， 故 A 正确; 若存在 使得 ， 则 ， 则 恒等于 1 ， 与 单调递增矛盾，故 ， 故 B 错误； 若存在 ， 使得 ， 因为 的图象连续不断， 所以 ， 故存在 ， 使得 ， 与上述 矛盾，综上 ， 所以 ，而， 当且仅当 时取等号， 又 单调递增，故不取等号， 即 ， 当 时， 有 ， 即 ， 当 时， 令 ， 则 ， 因为 单调递减且 ， 所以 单调递增， 所以 ， 又 ， 所以 ， 且在区间 上单调递增， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 故C错误，D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛： 1.对于抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件推证函数的性质，根据函数的性质解决问题； 2.比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足对任意的实数，都有，则a的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数单调递减，由分段函数的单调性得出关于的不等式组，解出即可. 【详解】由题意得：在上单调递减， 故，解得， 即的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】易错点睛：对于分段函数的性，注意在临界位置的函数值大小比较，该题中容易遗漏不等式. 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先用赋值法得到，，判断出函数为偶函数，然后利用判断单调性，最后分类讨论计算的解集即可. 【详解】因为对任意的，都有： 令，可知 令，可知 令，得 故函数为偶函数， 令 要使 则 显然函数为偶函数； 因为当时， 得 所以当时函数单调递减， 此时也单调递减 因为需要 故 因为为偶函数 所以当时，的解为 故不等式的解集为 故答案为： 【点睛】做一些抽象函数相关的习题时，我们一定需要去找抽象函数的一些性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性；然后再利用他们的关系来求解；通常还需要用赋值法得到一些函数值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式； （2）令，用换元法求解析式； （3）将换成，得，用解方程组法求解析式. 【详解】（1）设， 则. ，解得，或， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 16. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为R， 当时，不等式的解集为或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，求解得答案； （2）将不等式转化为，分，，三种情况讨论求解. 【小问1详解】 当，即时，得，令，解得，不合题意； 当时，由的解集为， 则，即，解得， 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由不等式，化简得， 即，其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或， 当，即时，解集为R， 当，即时，不等式的解集为或， 综上，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为R， 当时，不等式的解集为或. 17. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 【答案】（1）0；0 （2）偶函数 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法计算可得； （2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解； （3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为对任意且，都满足， 令，得，， 令，得， . 【小问2详解】 对任意非零实数，，令， 可得. 在上式中，令，得， 即对任意非零实数，都有， 是偶函数. 【小问3详解】 对任意且，有， 由（2）知， 在区间上单调递增. ， ， 是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 原不等式转化为， 解得或或， 原不等式的解集为. 18. 已知函数． （1）请用定义证明函数在上单调递减； （2）若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）证明：任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，转化为任意，使得恒成立，由（1），得到函数在为单调递减函数，求得，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（1）知，函数在为单调递减函数， 当时，可得，所以， 所以实数a的取值范围． 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的图像关于点对称， 故， 令得； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $