上海市宝山区某校2024-2025学年高三开学摸底考试数学试题

2024~2025学年 开学摸底考试 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题填对得4分，后六题每题填对得5分。 1. 已知集合，，则 。 2. 函数的定义域是 。 3. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 。 4. 已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 。 5. 已知关于的方程的两个虚数根在复平面上对应的两点之间的距离为，则实数 。 6. 若四面体的各个顶点到平面的距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是 。 7. 已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为 。 8. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球的概率是 。 9. 若点既是，的中点，又是直线：与：的交点，则线段的垂直平分线的方程是 。 10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，，，则点的横坐标为 。 11. 已知直线与函数（）的图像相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数 。 12. 祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异。”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等。这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示。利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线的方程为（），将围绕轴旋转，得到的旋转体称为抛物体。利用祖暅原理可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为 。 图一 图二 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分. 13. 下列事件中，随机事件的个数是 个。（ ） ①某人购买福利彩票一注，中奖500万元； ②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去； ④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 15. 设，。若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 设、是定义域为的恒大于的可导函数，且，则当时，有（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，扇形的半径为，圆心角为，为弧上一动点，为半径上一点且满足。 （1）若，求的长； （2）求面积的最大值。 、 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点。 （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的大小。 19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 已知椭圆：（）的离心率为，点在椭圆上。，分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于、两点，满足，过点作，垂足为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； （3）求面积的最大值。 20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为(为时间单位：秒)，那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口? 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在为加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： （1）求(结果保留一位小数，单位：m)； （2）对于第辆车，写出函数的分段表达式； （3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分． 已知为实数，函数，． （1）若函数在处的切线斜率为，求的值； （2）讨论函数在上的零点个数； （3）设表示、的最大值，设．当时，，求的取值范围． 2024~2025学年 开学摸底考试 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题填对得4分，后六题每题填对得5分。 1. 已知集合，，则 。 解：。 2. 函数的定义域是 。 解：。 3. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 。 解：。 4. 已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 。 解：。 5. 已知关于的方程的两个虚数根在复平面上对应的两点之间的距离为，则实数 。 解：。 6. 若四面体的各个顶点到平面的距离都相等，则称平面为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是 。 解：7. 7. 已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为 。 解：8. 8. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则摸出的2个球中恰有1个红球的概率是 。 解：。 9. 若点既是，的中点，又是直线：与：的交点，则线段的垂直平分线的方程是 。 解：。 10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，，，则点的横坐标为 。 解：。 11. 已知直线与函数（）的图像相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数 。 解：1或2. 12. 祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异。”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等。这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示。利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线的方程为（），将围绕轴旋转，得到的旋转体称为抛物体。利用祖暅原理可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为 。 图一 图二 解：。 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分. 13. 下列事件中，随机事件的个数是 个。（ ） ①某人购买福利彩票一注，中奖500万元； ②三角形的内角和为； ③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去； ④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：B。 14. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 解：C。 15. 设，。若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：B。 16. 设、是定义域为的恒大于的可导函数，且，则当时，有（ ） A. B. C. D. 解：D。 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，扇形的半径为，圆心角为，为弧上一动点，为半径上一点且满足。 （1）若，求的长； （2）求面积的最大值。 解：（1）在中，由余弦定理得， ， 即，即， 即，∴ ； （2）∵ ，， ∴ ，∴ ∥， ∴ ，设，， 则在中，由余弦定理得，， 即，当且仅当时取等号，所以 。 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点。 （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的大小。 证明：（1）在三棱柱中， 取中点，连接，， 由点为正方形边的中点，得， 则，有， 则，由是的中点，得，而， 于是，又，，平面， ∴ 平面； （2）显然，则， 由（1）知，又，平面， 于是平面，则， 显然直线，，两两垂直，以点以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 令，得， 设直线与平面所成角为，则 ，而，解得， ∴ 直线与平面所成角的大小。 19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 已知椭圆：（）的离心率为，点在椭圆上。，分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于、两点，满足，过点作，垂足为。 （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； （3）求面积的最大值。 解：（1）由题意知，解得， ∴ 椭圆的标准方程为。 （2）由题意知的斜率存在，设直线的方程为，其中，由 ，得， ， 设，，则，， ∵ ， ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ，满足， ∴ 直线的方程为，即直线过定点； （3）解法1：∵ 存在，∴ ，∴ 的斜率为，方程为，联立，解得， ∴ ， 当且仅当，即时等号取得，即面积的最大值为。 解法2：设所过定点为，因为，所以点在以为直径的圆上， ∴ ， 即面积的最大值为。 20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为(为时间单位：秒)，那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口? 该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设： 1．通过路口的车辆长度都相等； 2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等； 3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶； 4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止； 5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生． 一名建模爱好者收集数据整理如下： 1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为； 2．加速度记作，取，汽车在为加速运动时段行驶路程； 3．前后车启动延迟时间记为，取； 4．第辆车启动延迟时间为； 5．该十字路口限速，换算为； 6．第辆车到达最高限速的时间为取． 设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题： （1）求(结果保留一位小数，单位：m)； （2）对于第辆车，写出函数的分段表达式； （3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口． 解：（1）； （2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题． 通过对小汽车三个运动阶段的分析， 整理得，其中，， 或者写成； （3）由于十字路口亮绿灯的时长为，即， 于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大，与计算的方法相同，计算， ， ， ， ， ， ， 第8辆车没有行驶到停车线时绿灯已经结束，没能通过十字路口． 在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向至多有7辆汽车通过该十字路口． 21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分8分． 已知为实数，函数，． （1）若函数在处的切线斜率为，求的值； （2）讨论函数在上的零点个数； （3）设表示、的最大值，设．当时，，求的取值范围． 解：（1），由题意得，所以； （2），令， ，令，解得． ①当，即时，在恒成立， 在为严格增函数，，此时没有零点． ②当时，在恒成立，在为严格增函数， ，故在恒成立，没有零点． ③当时 ↓ 极小值 ↑ 最小值． ，， 由零点存在定理得在上无零点，在上有唯一零点． 综上，当时没有零点，当时有一个零点． （3）(i)当时，． (ii)当时， 时，；时，． 下考虑时的情况． ，由，解得，且， ↓ 极小值 ↑ 最小值． 令，则在为严格增函数． ①当时，，故， 故的最小值； ②当时，，故， 故在上的最小值， 而在上，，即在上， 此时． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $$