精品解析：甘肃省靖远县2024-2025学年高三上学期10月高考模拟联考数学试题

高考模拟卷数学 （120分钟 150分） 考生须知： 1.本卷侧重：高考评价体系之创新性. 2.本卷怎么考：①考查新题的试题设问方式（题19）；②考查新颖的试题呈现方式（题8）. 3.本卷典型情境题：题7､11､19. 4.本卷测试内容：高考全部范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算计算即得. 【详解】由，得，所以的虚部为. 故选：D 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交运算即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：. 3. 已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列是等比数列，可知数列为等差数列，由等差数列的性质求解即可. 【详解】则为常数，所以为常数， 知数列为等差数列， 由，知，又， 所以公差， 故. 故选：A 4. 的展开式中的系数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出展开式的通项公式，根据已知条件求得代入展开式即可求解. 【详解】的展开式的通项为,， 根据题意得，解得：，则含的项为， 故的展开式中的系数为. 故选：B. 5. 对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的特征得到的取值，再根据充分条件的判定即可得到结果. 【详解】若方程表示双曲线， 则，得或， 则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 6. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象的对称性，确定其奇偶性，由此排除BC，再观察函数在时的函数值的正负，由此排除D. 【详解】观察函数可得其图象关于原点对称，故函数为奇函数， 若，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数，矛盾，故B错误， 若，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数，矛盾，故C错误， 观察图象可得当时，， 当时，，矛盾，故D错误， 当时，因为函数的定义域，所以其定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数， ，满足上述条件. 故选：A. 7. 质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得第一次打击后就有部位损坏的概率和两个部位都损坏的概率，再由条件概率公式代入即可求解. 【详解】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A 8. 英国数学家布鲁克泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用.利用上述公式，估计的值为（ ）（精确到0.01） A. 0.36 B. 0.37 C. 0.38 D. 0.39 【答案】D 【解析】 【分析】对所给公式两边求导数可得，结合诱导公式求结果. 【详解】由已知， 两边求导可得， 即， 故， 故. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象关于直线对称，且函数的图象向右平移个单位长度之后与原来的图象重合，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换可得或，再结合函数的对称轴，即可求得的值，即得答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度之后得到了函数的图象， 由两函数图象完全重合知，所以. 又，故或. 又函数的图象关于直线对称， 当时，，则， 又，故； 当时，，则， 又，故. 故选：BD 10. 设单位向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 向量的夹角为 C. D. 在的方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将平方，可得，可判断A，B；由向量模长公式分别计算，验证C；由投影向量公式验证D. 【详解】由于， 又因为，所以，故， 故A正确，B错误； 因为，故， 又，故， 所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值可判断AB，构造函数，通过奇偶性的定义可判断CD. 【详解】令，可得，故A项正确； 令，可得，令， 可得，则，故B项正确； 由， 可得， 令，则， 令，可得， 令，则， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数据的平均数为7，则该组数据的分位数为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】由平均数定义列方程求出，由百分位数定义即可求解. 【详解】根据题意，，得， 因为， 因此该组数据的分位数为第三个数，即为7. 故答案为：7 13. 已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的定义转化为求的最小值，数形结合即可得解. 【详解】由抛物线的方程为知，焦点为，准线方程为， 由抛物线定义知动点到点的距离与到轴的距离之和可化为， 当三点共线，且在线段上时，有最小值， 最小值为. 故答案为： 14. 如图，在空间几何体中，平面平面平面，则几何体的外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可得几何体的外接球和底面半径为，高为2的圆柱的外接球一样，再计算圆柱的外接球半径即可. 【详解】解题分析由题意知， 与均为直角三角形， 且平面平面平面平面， 故可以将几何体放入底面半径为，高为2的圆柱中， 且圆柱的外接球正好就是几何体的外接球， 又该圆柱的外接球的半径， 所以几何体的外接球的半径为3， 所以外接球的体积为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，. （1）求证：. （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面四边形为矩形， 又分别为的中点，,且， ，，又平面， 平面平面， . 【小问2详解】 由（1）知， 又平面平面平面， . 以E为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐称系如图所示. 由题意得， ， 由向量夹角公式得， 由于异面直线所成角的范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再由余弦定理求解即可； （2）根据题意及两角和的正弦定理求解，然后由正弦定理及求解，最后根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 由正弦定理得， 由余弦定理得， 由，知. 【小问2详解】 由，可得， 进而可得， 由，可得 则， 由正弦定理可知， 又因为，解得， 所以的面积为. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断原函数的单调性； （2）分析可知在上恒成立，令，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 当时，由于，所以恒成立，从而在上单调递增； 当时，若则，；若，则； 可知在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，则， 若在上单调递增， 可知在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 若，当趋近于，可知趋近于； 若，当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值为， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. （1）求椭圆的方程； （2）直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）设直线的方程为并与椭圆方程联立，化简写出根与系数，由计算得到，进而求得定点坐标. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，所以，点在椭圆上， 代入椭圆方程，有，解得， 且，可得 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，由 消去，整理得， 因为直线交椭圆于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于直线对称， 所以， 所以， 所以， 解得. 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线的对称性及交点的分析，要求学生将代数和几何知识结合起来，进行综合推导.解题过程中，首先通过离心率和焦距求得椭圆方程，然后通过联立求解直线与椭圆的交点，并利用对称性条件证明直线的性质. 19. 定义有限集合的元素个数为，如，则.已知集合，其中都是的子集且互不相同，记. （1）若，且，写出所有满足条件的集合； （2）若，且对任意，都有，求的最大值； （3）若且对任意，都有，求的最大值. 【答案】（1）或或或. （2）32 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可； （2）将集合的子集进行两两配对得到16组，写出选择的16个含有元素1的子集即可得到； （3）分中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及均为三元集合讨论即可. 【小问1详解】 因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则. 若，则或； 若，则或. 综上，或或或. 【小问2详解】 集合，共有64个不同的子集， 将其两两配对成32组，使得， 则不能同时被选中为子集，故. 选择集合A的32个含有元素1的子集：.符合题意. 综上，的最大值为32. 【小问3详解】 结论:，令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ，其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对中集合元素个数进行分类讨论；当均为三元集合时，不妨设，再将其它子集分为三类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考模拟卷数学 （120分钟 150分） 考生须知： 1.本卷侧重：高考评价体系之创新性. 2.本卷怎么考：①考查新题的试题设问方式（题19）；②考查新颖的试题呈现方式（题8）. 3.本卷典型情境题：题7､11､19. 4.本卷测试内容：高考全部范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 的展开式中的系数为( ) A. B. C. D. 5. 对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 英国数学家布鲁克泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用.利用上述公式，估计的值为（ ）（精确到0.01） A. 0.36 B. 0.37 C. 0.38 D. 0.39 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象关于直线对称，且函数的图象向右平移个单位长度之后与原来的图象重合，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 设单位向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 向量的夹角为 C. D. 在的方向上的投影向量为 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数据的平均数为7，则该组数据的分位数为__________. 13. 已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为__________. 14. 如图，在空间几何体中，平面平面平面，则几何体的外接球的体积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，. （1）求证：. （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 18. 已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. （1）求椭圆的方程； （2）直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. 19. 定义有限集合的元素个数为，如，则.已知集合，其中都是的子集且互不相同，记. （1）若，且，写出所有满足条件的集合； （2）若，且对任意，都有，求的最大值； （3）若且对任意，都有，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $