概率统计（选填）篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

1 宁 sir 考前救急小册子 统计、排列组合及随机变量及其分布（选填题） 一、万能处理二项展开式中的各项问题 Ⅰ秒杀：确定二项展开式中的参数。 根据条件列出等式，解得所要求的参数。 秒杀公式：  nba  展开式中，通项： rrnrnr baCT  1 ，二项展开式的各种题型关键是利用通项求．．．．．．．．．．．．．．．．．．r，．r =． 外层指数差．．．．．/．内层指数差。．．．．．． Nnm bxax  展开式中求．．．．． tx 的系数，则有．．．．．． nm tNmr    。． 形如：  5242  xx ，求 1x 的系数 破解：分配系数处理 从 5 次结构中取 3 次 x2 和 2 次 24 x ，则结果为 128042 35 23  C 形如：   82332 yxyx  的展开式中 72 yx 的系数为__________ 破解：两种括号的情况，一般形式为    m1 和    mn  第一步：分配系数处理 所以分两类情况：第一类情况为：   18711101 2332 CC  第二类情况为   28621110 2332 CC  故总的情况为     2862111018711101 23322332 CCCC  Ⅱ二项式系数最大问题 二项式系数具备对称性，即 mn n m n CC  （ nm  ）对于 nnnnnn CCCCC ,,,,  3210 大小以二次函数开口向下的图 象分析. 2 ①当 12  kn ，即 n为奇数 则 n nnnnn CCCCC ,,,,  3210 共有 1n 项，总项数为偶数. 巧记：当 n为奇数时，则总的二项式系数为偶数（因为从 0nC 开始），既然为偶数，则最大项个数也为偶数， 即为 2 个. 如：当 3n ， 33 2 3 1 3 0 3 CCCC ,,, ，中间项为 132 13 3 CC   ，和 2 3 11 3 CC   结论：当幂指数 n为奇数时，中项即右上标为 2 1 2 1  nn , 项二项式系数相等且最大 ②当 kn 2 ，即 n为偶数 则 n nnnnn CCCCC ,,,,  3210 共有 1n 项，总项数为奇数. 巧记：当 n为偶数时，则总的二项式系数为奇数（因为从 0nC 开始），既然为奇数，则最大项个数也为奇数， 即为 1 个. 如：当 4n ， 44 3 4 2 4 1 4 0 4 CCCCC ，，，， ，中间项为 242 4 4 CC  . 结论：当幂指数 n为偶数时，中项即右上标为 2 n 项二项式系数最大。 Ⅲ解决二项式系数和的问题 结论变形赋值过程：对 x 一般地，若   nnxaxaxaaxf  ...2210 ，则  xf 展开式中各项系数的和为  1f .   naaaaf  ...2101   naaaaf  ...2101 ①奇次项系数的和为     2 11 420   ffaaa  3 偶次项系数的和为     2 11 531   ffaaa  ②形如    mn cbxaxbax  2, 的式子，求展开式的各项系数之和，只需令 1x 即可. ③形如  nbyax  的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 1 yx . ④二项展开式二项式系数和： n2 ；奇数项与偶数项二项式系数和相等为： 12 n 。 推导：   nnnnnnnnnn CCCCCCC 211543210   押题分向（考察可能性极大） 形如：已知  5 2 50 1 2 51 4x a a x a x a x        ，则 0 1 2 3 4 52 3 4 5a a a a a a      （带系数利用求导处理）  5 2 50 1 2 51 4x a a x a x a x        ，令 0x  ， 0 1a  ； 两边求导得，  4 2 3 41 2 3 4 520 1 4 2 3 4 5x a a x a x a x a x       ， 令 1x  ， 41 2 3 4 52 3 4 5 20 3 1620a a a a a         . ∴ 0 1 2 3 4 52 3 4 5 1619a a a a a a       Ⅳ展开式系数最大（一道题破解所有） 正规方法：原则：系数最大的这一项，即比前一项大，也比后一项大，从而列不等式组. ①在系数符号相同的前提下，求系数的最大（最小）值只需比较两组相邻两项系数的大小. 不等式组最大值为：                   1 1 1 1 1 1 r r r r rr rr T T T T TT TT ，最小值为                   1 1 1 1 1 1 r r r r rr rr T T T T TT TT ②当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式 不等式组最大值为：                   1 1 2 2 2 2 r r r r rr rr T T T T TT TT 求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式最小值为                   1 1 2 2 2 2 r r r r rr rr T T T T TT TT 秒杀方法： 求展开式中系数最大的项与求二次项系数最大的项是不同的，还需考虑各项系数的正负变化情况，事实上 由于展开式中的各项的系数是离散型变量，因此我们可以考虑类比求数列最大项的方法，即比较第 1r 项 与相邻两项系数的大小，根据通项构造不等式求解.技巧如下： 形如：    01  mmx n 的二项式展开式，设第 1r 项的系数为 rrn mC  最大. 4 11 1 11 11               m mmnr m mn mCmC mCmC rr n rr n rr n rr n mm m r rn C C mCmC mCmC r r r n r n rr n rr n rr n rr n 11 1 111 11             , 因为 1 1 1 1       m mn m mmn ，所以不等式组必有解，且当 1 1   m mn 和 1  m mmn 都为整数时， r有两解，且两解 分别为 1 1   m mn 和 1  m mmn ，否则 r有一解，因此得出一个结论： 形如    01  mmx n 的二项展开式系数最大的项最多只有两项. 注意：若系数最大的项为最后一项，则 nmn m mn    1 1 1 （ 11  nnn nn n mCmC ） 形如：求  451 x 展开式中系数最大的项时，因为 45  ，所以系数最大的项是最后一项. 若系数最大的项为第一项，则 1 1    m mmn ，即 1mn 二、排列组合问题 Ⅰ隔板法：解相同元素的组合问题 相同元素的组合问题，即有若干组元素，每组元素相同，将这些元素排成一排的计数问题 典型问题：相同小球放入不同盒中，即 n个相同元素分成m组（每组的任务不同）的问题. ①:当每组至少含一个元素时，其不同分组分式有 11   m nCN 种，即给 n个元素中间的  1n 个空隙中插入  1m 个隔板. 当每组至少含一个元素时,n个相同的小球放入m个不同的盒中，一共有多少种放法？ 题干需求m个不同的盒子，只需  1m 个隔板即可 放  1m 个隔板可以将 n个小球分为m组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？ 从图中不难发现 n个小球共有  1n 个间隔，故放隔板的位置有  1n 处，从这  1n 处中任取  1m 处 即可，故 1 1   m nCN . ②：任意分组，可出现某些组含 0个元素的情况，其不同分组分式有 1 1   m mnCN 种，即将 n个元素与  1m 个相同隔板进行排序，在  1mn 个位置中选  1m 个隔板. 任意分组时,n个相同的小球放入m个不同的盒中，一共有多少种放法？ 5 题干需求m个不同的盒子，只需  1m 个隔板即可 放  1m 个隔板可以将 n个小球分为m组，那么隔板存放的位置共有多少种情况？ 从图中不难发现 n个小球及  1m 个不同的隔板摆放位置是任意的，故从这  1mn 处位置中任取  1m 处安排隔板即可，故 1 1  m mnCN . Ⅱ分组问题与分配问题 ①：将 n个不同元素按照某些条件分成 k组，称为分组问题. 分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组. 将 n个不同元素按照某些条件分配给 k个不同的对象，称为分配问题. 分配问题共分为2类：定额分配、随机分配. 区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对 象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配. ②：分组问题的常见形式及快速处理方法 1 非均匀不编号分组： n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是 否分完，其分法种数为：     m m m mmmn m mmn m mn m n CCCCN 121 3 21 2 1 1    如：6 个不同的球分为 3 组，且每组数目不同，有多少种情况？ 60110633 2 5 1 6  CCC 2 均匀不编号分组：将 n个不同元素分成不编号的m组，假定其中 r组元素个数相等，不管是否分尽，其分 法种数为 r rA N （ N 为非均匀不编号分组的分法种数）.如果再有 k组均匀分组，应再除以 kkA .除的原因为： 如：123456 平均分成 3 组，可能是      654321 ,,, 、、 也可能是      436521 ,,, 、、 或者是      214365 ,,, 、、 等，一共有 33A 种不同的组别，但这些组都是一样的，所以 除以 3 3A . 如： DCBA 、、、 两两一组，分两组，若直接用 622 2 4 CC 种，但列举出来的分别为     DCBA 、、 , 、     DBCA 、、 , 、     CBDA 、、 , 再往下列举就已经重复了. 如：     DACB 、、 , 、     CADB 、、 , 、     BADC 、、 , . 6 如：6 个不同的球分为 3 组，且每组数目相同，有多少种情况？ 15 6 9090 3 3 2 2 2 4 2 6  A NCCCN 种数, . 3 非均匀编号分组：将 n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种 数为 m mAN  （ N 为非均匀不编号分组的分法种数） 4 均匀编号分组：将 n个不同元素分成m组，各组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为 r r m m A AN  （ N 为非均匀不编号分组的分法种数）. Ⅲ相邻问题与不相邻问题 ①相邻问题 1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在 一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. 2、解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 ②不相邻问题 1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻 的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 2.解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 Ⅳ涂色问题与定序问题 ①涂色问题 秒杀策略：涂色问题分步(乘法)、分类(加法)处理：尽可能多的找两两相邻的区域，因为这些区域颜色各 不相同，按乘法原理涂色，再按分类涂剩余区域，一般分用剩余颜色与不用剩余颜色。 ②定序问题 定序问题作倍缩放：将题干给定的总数 n都看成某一个独立的个体（不相同的），进行全排列故为 nnA ，其 次再将有顺序要求的m个元素进行全排列 mmA 个，其中满足要求的顺序必为 1 个，则总的情况数为 m m n n A A 。 7 三、离散型随机变量问题 Ⅰ均值与方差的性质 (1)     bXaEbaXE  ． (2)    XDabaXD 2 ( ba, 为常数)．（3）       22 XEXEXD  两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若 X 服从两点分布，则   pXE  ，    ppXD  1 ． (2)若 X 服从二项分布，即  pnBX ,~ ，则      pnpXDnpXE  1, ． (3)若 X 服从超几何分布，即  NMnHX ,,~ 时，   N nMXE  ．      12    NN nNMNnMXD Ⅱ二项分布之概率最值问题 如果  pnBX ,~ ，其中 10  p ，求  kXP  最大值对应的 k值. 一般是考察    1  kXP kXP 与1的大小关系. 因为              nkpk kpn pk pkn kXP kXP          1 1 11 1 1 1 所以要使    1 kXpkXP ，则  pnk 1 .故有 ⑴如果   npn 1 ，则 nk  时  kXP  取得最大值. ⑵如果  pn 1 ，是不超过 n的正整数，则当  1 pnk 和  pnk  时，  kXP  取 得最大值. （3）如果  pn 1 是不超过 n的非整数，则当   pnk 1 （注意   pnk 1 表示不超 过  pn 1 的最大整数）时  kXP  取得最大值. 8 四、正态分布问题 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数    2 22 , 1 e 2 x x         ，  ,x   ，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密 度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称； ③曲线在 x＝μ处达到峰值 1 2πσ ； ④曲线与 x轴之间的面积为 1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体 分布越集中，如图乙所示： 甲 乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X满足 P(a<X≤b)＝  dxxb a  ， ，则称随机变量 X服从 正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ2)．如果随机变 量 X服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 9 4．3σ原则 通常服从正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为 1 2πσ ． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下 2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x＝μ对称，曲 线与 x轴之间的面积为 1. (2)利用 3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ －σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与 x轴之间面积为 1． (2)熟记 P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若 b<μ，则 P(X<b)＝1－P μ－b<X<μ＋b 2 ． 特别提醒：正态曲线，并非都关于 y 轴对称，只有标准正态分布曲线才关于 y 轴对称． 五：事件的独立性 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解： 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系； 第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的； 第三，两个事件互斥是在试验的结果不能同时出现来确定的．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指 在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合 A 的对立事件记作 A．分类讨论思想是解决互斥事件中 有一个发生的概率的一个重要的指导思想