概率统计（解答题）篇-遇见最美的数学系列——考前救急系列

股份有限公司 宁 sir考前救急小册子 数列、统计与概率（解答题） 一、数列求和 一．公式法 （1）等差数列 na 的前 n项和 1 1 ( ) ( 1) 2 2     nn n a a n nS na d ，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列 na 的前 n项和 1 1 1 (1 ) 1 1 ， ，      n n na q S a q q q ，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前 n项和： ① 1 1 2 1 2 3 ( 1)          n k k n n n ； 1 2 2 4 6 2 ( 1)          n k k n n n ② 2 1 (2 1) 1 3 5 (2 1)           n k k n n ； ③ 2 2 2 2 2 1 1 6 1 2 3 ( 1)(2 1)           n k k n n n n ； ④ 3 3 3 3 3 2 1 ( 1) 2 1 2 3 [ ]          n k n nk n 二．几种数列求和的常用方法 （1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时 可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前 n 项和． （3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 求这个数列的前 n项和即可用错位相减法求解． （4）倒序相加法：如果一个数列 na 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求 这个数列的前 n项和即可用倒序相加法求解． 三．常见的裂项技巧 积累裂项模型 1：等差型 （1） 1 1 1 ( 1) 1    n n n n （2） 1 1 1 1( ) ( )    n n k k n n k 股份有限公司 （3） 2 1 1 1 1( ) 4 1 2 2 1 2 1     n n n （4） 1 1 1 1 ( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)          n n n n n n n （5） 2 1 1 1 1 1( ) ( 1) ( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1)        n n n n n n n n n （6） 2 2 1 11 4 1 4 (2 1)(2 1)         n n n n （7） 3 1 4( 1) ( 3) 1 1 1 14( ) ( ) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) 2 3 1 2                    n n n n n n n n n n n n n （8）  1( 1) ( 1)( 2) ( 1) ( 1) . 3       n n n n n n n n （9）  1( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 1)( 2) 4          n n n n n n n n n n n （10） 1 1 1 1 ( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)             n n n n n n n n n n （11） 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1)( ()      n n n n n （12） 2 2 2 2 1 1 1 1 2) 4 2)( (        n n n n n 积累裂项模型 2：根式型 （1） 1 1 1      n n n n （2） 1 1 ( )     n k n kn k n （3） 1 1 ( 2 1 2 1) 22 1 2 1        n n n n （4） 2 2 1 1 ( 1) 1 1 11 1 ( 1) ( 1) 1            n n n n n n n n （5） 3 3 32 2 2 1 2 1 1 2 1      n n n n n 3 3 3 3 32 2 23 3 11 1( 2 1 1 2 1) 2               n nn n n n n n n （6） 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1( 1) ( 1)                   n n n n n n n n n nn n n n n nn n n n 积累裂项模型 3：指数型 股份有限公司 （1） 1 1 1 1 2 (2 1) (2 1) 1 1 (2 1)(2 1) (2 1)(2 1) 2 1 2 1                 n n n n n n n n n （2） 1 1 3 1 1 1( ) (3 1)(3 1) 2 3 1 3 1        n n n n n （3） 1 2 2( 1) 2 1 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 1 2 2 ( 1) 2                   n n n n n n n n n n n n n n n n （4） 1 1 1 1(4 1) 3 1 9 1 1 3 33 ( 2) 2 ( 2) 2 2                     n n n nn n n n n n n （5） 1 1 (2 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)         n n n n n nn n （6） 1 3   nna n ，设 1( )3 [ ( 1) ] 3      n nna an b a n b ，易得 1 1, 2 4   a b ， 于是 1 1 1(2 1)3 (2 3) 3 4 4     n nna n n （7） 22 2 1 1 1 ( 1) 2( 1)( 1) ( 4 2)2 ( 1) ( 4 2) 2 ( 1)2 ( 1)2 ( 1)2                         nn n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) ( 1)( 1) ( ) 2 2 ( 1) 2 2 2 2 ( 1) 2                            n n n n n n n n n nn n n n 积累裂项模型 4：对数型 11log log log  nana a a n n a a a 积累裂项模型 5：三角型 （1） 1 1 (tan tan ) cos cos sin( )          （2）  1 1 tan( 1) tan cos cos( 1) sin1          n n n n （3） 1tan tan (tan tan ) 1 tan( )           （4）   tan tan( 1)tan tan( 1); tan1 tan ( 1) 1 tan tan( 1)            n n na n n n n n ， 则 tan tan( 1) tan tan( 1)tan tan( 1) 1, 1 tan1 tan1          n n n n nn n a 股份有限公司 二、统计与概率 两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为 1；两点分布列又称0 1 分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩 票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 超几何分布 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n件，其中恰有 X 件次品数，则事件 { }X k 发 生 的 概 率 为 ( ) , 0,1, 2, , k n k M N M n N C CP X k k m C      , 其 中 min{ , }m M n ， 且 , , , ,n N M N n M N N    ．称分布列 X 0 1 … m p 0 n M N M n N C C C  1 1n M N M n N C C C   … m n m M N M n N C C C   为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布. 注意：若有 N 件产品，其中M 件为次品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数 X 是服出超几 何分布. 二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所组成的随机试验 称为 n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做 n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有 N 件产品，其中M 件是次品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数 X 是 服从二项分布的） 一般地，在 n重伯努利试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为 p(0<p<1)，用 X表示事件 A发生的次 数，则 X的分布列为： ( ) C (1 ) , 0,1,2, ,k k n knP X k p p k n      如果随机变量 X的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X服从二项分布，记作 X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果 X～B(n，p)，那么 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 股份有限公司 条件概率 技巧总结 1．条件概率的概念 条件概率揭示了 P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设 A，B为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)＝P（AB） P（A） 为在事件 A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件 A与 B，若 P(A)>0，则 P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘 法公式． 3．条件概率的性质 设 P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果 B与 C是两个互斥事件，则 P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设 B－和 B互为对立事件，则 P( B－ |A)＝1－P(B|A)． 4．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想 将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设 A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)>0，i＝1，2，…，n， 则对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝ ∑ n i＝1 P(Ai)P(B|Ai）. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5．贝叶斯公式 设 A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意 事件 B⊆Ω，P(B)>0， 有 P(Ai|B）＝ P（Ai）P（B|Ai） P（B） =          n k kk ii ABPAP ABPAP 1 / / i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和 P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 股份有限公司 离散型随机变量的均值与方差 技巧总结 Ⅰ：随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量 X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝ i n i i px 1 为随机变量 X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随 机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若 Y＝aX＋b，其中 a，b均是常数(X是随机变量)，则 Y也是随机变量，且有 E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果 Y＝aX＋b，其中 a，b为常数，X是随机变量，那么 Y也是随机变量．因此 P(Y＝axi＋b)＝ P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以 Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有 E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋ b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即 E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 方差：．称 2 1 ( ) ( ( )) n i i i D X x E X p     为随机变量 X 的方差，它反映了离散型随机变量 X 相对于期望的平均波 动大小(或说离散程度)，其算术平方根  D X 为随机变量 X 的标准差，记作  X ，方差(或标准差)越小表 明 X 的取值相对于期望越集中，否则越分散． Ⅱ： 均值与方差的性质 (1)     bXaEbaXE  ． (2)    XDabaXD 2 ( ba, 为常数)．（3）       22 XEXEXD  两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若 X 服从两点分布，则   pXE  ，    ppXD  1 ． (2)若 X 服从二项分布，即  pnBX ,~ ，则      pnpXDnpXE  1, ． (3)若 X 服从超几何分布，即  NMnHX ,,~ 时， 股份有限公司   N nMXE  ．      12    NN nNMNnMXD 方法总结： 求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤： 第一步：判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值； 第二步：探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥 事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概 率； 第三步：写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为 1)检验所求的分布列 是否正确； 第四步：求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中 的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直 接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快 解题速度． 正态分布 技巧总结 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数    2 22 , 1 e 2 x x         ，  ,x   ，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密 度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x轴上方，与 x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称； ③曲线在 x＝μ处达到峰值 1 2πσ ； ④曲线与 x轴之间的面积为 1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿 x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体 分布越集中，如图乙所示： 甲 乙 股份有限公司 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X满足 P(a<X≤b)＝  dxxb a  ， ，则称随机变量 X服从 正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ2)．如果随机变 量 X服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为 1 2πσ ． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下 2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x＝μ对称，曲 线与 x轴之间的面积为 1. (2)利用 3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ －σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与 x轴之间面积为 1． (2)熟记 P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； 股份有限公司 ③若 b<μ，则 P(X<b)＝1－P μ－b<X<μ＋b 2 ． 特别提醒：正态曲线，并非都关于 y 轴对称，只有标准正态分布曲线才关于 y 轴对称． 简单随机抽样 技巧总结 Ⅰ：简单随机抽样：系统抽样、分层抽样、每个个体被抽中的概率都相同 Ⅱ：频率分布直方图： ①组距：相邻横坐标之间的差值 ②概率：概率=纵×组距（面积） ③中位数：取 x，前半图形面积为 50. ④众数：图形中最高的中值. ⑤平均数：  332211 中值面积中值面积中值面积 ⑥方差：      2221212 面积平均数中值面积平均数中值S ⑦极差：最大--最小 Ⅲ：茎叶图 ①中位数：去头去尾取中间 ②众数：出现次数最多的数 ③平均数：     总体 叶所有数叶个数茎 10 ④评价：     均数出现在此行行出现最长，则认定平平均数：茎叶图中某一 分散方差：看茎叶图集中与 股份有限公司 技巧总结 1．相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点 图；统计量有相关系数与相关指数．回归分析（线性回归） （1）在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为 正相关； （2）在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关； （3）如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系． 2．线性回归方程： （1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． （2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：      1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y ，其回 归方程为 abxy   ，则 1 22 1 , . n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx               注意：线性回归直线经过定点  ,x y ． （3）相关系数：         1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            1 2 2 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x y nxy x nx y ny                   ． 【技能方法】 （1）利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一 函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相 关关系．若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关． （2）利用相关系数判定，当 r 越趋近于 1 相关性越强．当残差平方和越小，相关指数 2R 越大，相关 性越强． （3）在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有 相关关系，也可计算相关系数 r进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的 值． （4）正确运用计算 ,b a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．并充分利用回归直线  y bx a  过样本点的中心  ,x y 进行求值． 股份有限公司 2×2列联表及独立性检验 技巧总结 Ⅰ：分类变量 有一种变量，这种变量所取不同的“值”表示的是个体所属不同类别，称这种变量为分类变量。 Ⅱ：2×2列联表 1. 列联表 用表格列出的分类变量的频数表，叫做列联表。 2. 2×2 列联表 对于两个事件 A，B，列出两个事件在两种状态下的数据，如下表所示： 事件 B 事件 合计 事件 A a b a+b 事件 A c d c+d 合计 a+c b +d a+b+c+d 这样的表格称为 2×2 列联表。 Ⅲ：卡方统计量公式 为了研究分类变量 X 与 Y 的关系，经调查得到一张 2×2 列联表，如下表所示 Y1 Y2 合计 X1 a b a+b X2 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计量，它的表达式是： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       （ n a b c d    为样本容量）。 Ⅳ：独立性检验 独立性检验 通过 2×2 列联表，再通过卡方统计量公式计算 2K 的值，利用随机变量 2K 来确定在多大程度上可以认为“两 个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。 变量独立性的判断 通过对 2K 统计量分布的研究，已经得到两个临界值：3.841 和 6.635。当数据量较大时，在统计中，用以下 结果对变量的独立性进行判断： ①如果 2K ≤3.841 时，认为事件 A 与 B 是无关的。 ②如果 2K ＞3.841 时，有 95%的把握说事件 A 与事件 B 有关； 股份有限公司 ③如果 2K ＞6.635 时，有 99%的把握说事件 A 与事件 B 有关； Ⅴ：独立性检验的基本步骤及简单应用 独立性检验的步骤： 要推断“A 与 B 是否有关”，可按下面步骤进行： （1）提出统计假设 H0：事件 A 与 B 无关（相互独立）； （2）抽取样本（样本容量不要太小，每个数据都要大于 5）； （3）列出 2×2 列联表； （4）根据 2×2 列联表，利用公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a c b d a b c d       ，计算出 2K 的值； （5）统计推断：当 2K ＞3.841 时，有 95％的把握说事件 A 与 B 有关； 当 2K ＞6.635 时，有 99％的把握说事件 A 与 B 有关； 当 2K ＞10.828 时，有 99.9％的把握说事件 A 与 B 有关； 当 2K ≤3.841 时，认为事件 A 与 B 是无关的． 备注：临界值表 P（K2≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828