第1章 直角三角形的边角关系 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版 陕西专版）

即AD=BC..AD=BC.14.解：(1)PA切∴.tan∠OCA=2.16.解：AB=25,AC=24, ⊙O于点A,.∠PAB=90°.∠BAC=30°， BC=7,∴.AB=AC+BC,.△ABC是以AB ∴.∠PAC=60°.又PC是⊙O的切线，∴.PA= 为斜边的直角三角形，且∠C=90.∴mA-器 PC,.△PAC是等边三角形，·∠P=60°；(2)连 接BC.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°.在 务msA-S-器mA-瓷-寻 AC24 Rt△ABC中，，∠BAC=30°，AB=2,.BC=1. 17.解：由题意可知sim2A-号=0，tanB--号=0， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB一BC图 =√2-1=3.由(1)可知PA=AC,∴.PA=√3. snA-号，amB=(负值已含去)∠A 15.解：(1)，AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， 45°，∠B=30°，∴.∠C=180°-∠A-∠B=180° .∠A+∠ABD=90°.，'∠A=∠DEB,∠DEB 45°-30°=105°.18.解：(1)，△ABC为直角三 =∠DBC,.∠A=∠DBC,∴.∠DBC+∠ABD =∠ABC=90°，即AB⊥BC,∴.BC是⊙O的切 角形，tamA-写∠A=30,∠B=90°-∠A 线：(2)连接OD.由(1)知∠ADB=90°，即BD⊥ =90°-30°=60°..原式=cos30°-3c0s60°+ AD.又：BF=BC=2,∴.BD平分∠CBF, ∴.∠CBD=∠FBD.'OE∥BD,∴.∠FBD= V区n45-号-5×号+2×号=1：(2)在 ∠OEB.OE=OB,∴.∠OEB=∠OBE. R△ABC中，：AB=4,m∠BAC=E, ∴∠CBD=∠FBD=∠OBE=3∠ABC=号X s∠BAC-6BC=AB,sm30=4X号 90°=30°，∴.在Rt△BFD中，BD=BF·cos30 =2×S=3,:∠ABD=∠OBE+∠FBD=30 2,AC=AB·os30°=4X号=2v3,SAm +30°=60°.又，OD=OB,.△OBD是等边三角 2AC·BC-号×23×2=25.19.解：过点 形，∴.OB=BD=√3.∴.⊙O的半径为√3，∴S阴影 C作CD⊥AB于点D,则∠ADC=∠BDC=90° =S偏形B一 △B= 0mX3-号×3×是 :在R△BCD中，anB-部-3CD=3BD, 360 设BD=k,则CD=3k.在Rt△BCD中，BC= π_33 24· √10，根据勾股定理，得BD+CD=BC,即 综合评价答案 十(3k)2=(√10)2，解得k=1,或k=-1(舍去). 第一章综合评价 ∴.BD=1,CD=3.又.∠ADC=90°，∠A=45, 1.B2.B3.A4.A5.D6.D7.B8.D ∴.△ACD为等腰直角三角形，∴.AD=CD=3, .AB=AD+DB=3十1=4.20.解：，AD 9.1510.43cm11.1812.60° 13.(8,2) BC,∴.∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ACD中， 由勾股定理，得AD=√AC-CD=√5一3 14.解：原式=(3)2+ +2X③ 3 =3+ 2×立 4.在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD= AB-AD=√8-=4原.∴amB- BD 合+29-合-3+ 3 15.解：OA⊥OB, ∴.∠1+∠OAB=∠2+∠OCA=90°.：'∠1= mc-品- 21.解：(1)在 43 ∠2，.∠OAB=∠OCA..A(2,0),B(0,4), R△ABC中，mB-AG-青AC=8AB :OA=2,OB=4,an∠0AB-8票=号-2,10.由勾股定理，得BC=VAB-AC= 第30页（共42页） 102-82=6,∴.BD=BC-CD=6-2=4:(2)在 ∠DAF=30°，∴.AF= DF 2 tan∠DAF tan30 =√3(x Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC+DC =√8+2=2V17,∴.cos∠DAC= AC -2)mAF-BE-EC+CE-(2/3+)m. AD 8 417 v3-2)=23+x,解得x=6.答：树DE 217 17 22.解：（1)如图， 的高度为6m.25.解：(1)二 北 延长BI至点F,过点C建立方位 (2)选择第一小组的方案及测量数 据.如答图，延长AP交BH的延长CfF 线于点C.,PH⊥BC,EF⊥BC, 答图 AB⊥BC,.PH∥EF∥AB,∴.△CPH∽△CAB, 坐标，则FI∥AH∥DC.依题意，得∠CAH=15°， ∠BAH=48°，∠CBI=60°，.∠ABF=48°， △CEF∽△CAB,器-器需-需 ∠BAC=∠BAH+∠CAH=48°+15°=63°， ∠ABC=180°-∠ABF-∠CBI=180°-48°- m+00是-C20cH- CH1.53 60°=72°，.∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC= 2m,AB=33m.答：“天下第一灯”(AB)的高度为 180°-63°-72°=45°：(2)如图，过点A作AQ⊥ 33:选择第三小组的方案及测量数据.由题意， BC于点Q.在Rt△ABQ中，cos∠ABQ=cos72° 得∠ABD=90°，∠ACB=37°，∠ADB=45, -器≈0.31sm∠ABQ=sm7z-A8≈0.95， ∴.△ABD是等腰直角三角形，.AB=BD.设AB AB =x m,BD=x m,BC=BD+CD=(x++11)m. AB=30m,∴.BQ=9.3m,AQ=28.5m. ,∠ACB=45°，∴.△ACQ是等腰直角三角形， :在R△ABC中，am∠ACB=授=m37r入 ∴.QC=AQ=28.5m,BC=BQ+QC=9.3+28.5 075千有>号，解得x=38答：天下第一灯” 3 =37.8≈38(m).答：两棵法国梧桐B,C之间的距 离约为37.8m.23.解：延长DE交AB于点 的高度(AB)为33m.26.解：(1)10√6(2)25√6 H,则四边形BCDH是矩形，'.BH=CD=3m, (3)设AB与水平线的交点为点 DH=BC.,AB⊥BG,DC⊥BG,∴.CF∥AB, D,如答图.在(2)的条件下，易得 △cCF△GBA.需-能CF=1.6m, AB∥PE,AB⊥PD,AP= 50 n mile,∠BPA=180°-45° CG=3m0-g-是设AB=8rm,G 60°=75，∠APD=90°-60°=30，∠B第月-90° -45°=45°.在Rt△APD中，∠APD=30°，AD= 15x m,.DH=BC=BG-CG=(15x-3)m,AH =AB-BH=(8.x-3)m..在Rt△ADH中， 号×50=25(n mile),PD=AP· ∠ADH-26.6,∴t∠ADH-8品-≈ 15.x-3 cos∠APD=50×5=253(n mile).:AB∥ 0.50,.x=3,.AB=24m.答：文峰木塔的高度 PE,∴∠B=∠BPE=45°.，在Rt△BDP中 AB约为24m.24.解：过点A作AF⊥DE于点 ∠B=∠BPD=45°，DP=25√3 n mile,.△BDP F.易证四边形ABEF为矩形，∴.AF=BE,EF= 为等腰直角三角形.∴.BD=DP=25√3 n mile. AB=2m.设DE=xm.在Rt△CDE中，∠DCE =60°，CE= m界正m0-停：(m以在 DE AB=AD+BD=(25+25 3)n mile.AP sin B △A0t,设-后AB-2mc-25m m小6-陆n5 AB 2+6 在Rt△AFD中，DF=DE-EF=(x-2)m, 4 第31页（共42页）第一章综合评价 色 (时间：120分钟满分：120分》 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1.2c0s45的值等于 录 A号 B.2 c D.2√2 2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 2,BC=8,则AC等于 A.6 B.16 C.12 D.4 3.如图，在坡角为α的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为4，那么这两棵树在 坡面上的距离AB为 弥 A. 4 4 -m B. m C.4cos a m D.4sin a m cos a sin a (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，D为AB的中点，将线段BD沿射线BC方向平移得到线段CE,连 接AE,DE.若AD=3,AE=4,AB⊥AE,垂足为点A,则tan∠BAC的值是 ( 数 A专 B cs n 5.在△ABC中，若2sinA=√2，tanB=1,则对△ABC的形状描述最准确的是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6.小华参加植树活动，当太阳光线与地面成30°夹角时，直立的树苗AB在地面的影长AC 为6m.由于培土不足，树苗AB栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗AB的 影长的最大值为 A.12m B.9 m C.63 m D.4√3m 太阳光线 B D 部 (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.如图，已知正方形ABCD的边长为2.如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的 延长线上的D处，那么tan∠BAD等于 薹 A.1 B.√2 c号 D.√3 科 8.如图，在R1△ABC中，∠BAC=90°，OsB=},点D是边BC的中点，以AD为底边在 p 其右侧作等腰三角形ADE,使∠ADE=∠B,连接CE,则号的值为 3 A. B.√3 2 D.2 第1页（共6页） 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9.如图，这是某地铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=1：√3，小宇乘扶梯从扶梯底端A以 0.6m/s的速度，用时50s到达扶梯顶端B,则小宇上升的垂直高度BC为 m 订辉 门 0 图① 图② (第9题图) (第10题图) (第11题图) 10.如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径.如果圆锥底面周长为8πcm,∠ABO=60°，那么 圆锥的高为 11.一款闭门器按如图①所示安装，支点A,C分别固定在门框和门板上，门宽为OD,摇臂 AB=18cm,连杆BC=24cm,闭门器工作时，摇臂、连杆的长度均固定不变，如图②， 当门闭合时，simB=气则AC的长为 cm. 12.已知在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°，3a=√3b,则∠B的度 数为 13.在平面直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO,AB⊥x轴于点B,斜 边A0-10,sin∠AOB=号，反比例函数y=冬(>0)的图象经过 AO的中点C,且与AB交于点D,则点D的坐标为 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14(65分)计算：tan'60°+cos60+21am30°-sin245. 2sin 30 15.(5分)如图，已知A(2,0),B(0,4)两点，且∠1=∠2，求tan∠OCA的值. 16.(5分)已知在△ABC中，AB=25,AC=24,BC=7,求sinA,cosA,tanA的值， 第2页（共6页） I7.(6分)在△ABC中，锐角∠A,∠B满足sinA-2十(amB-3）=0,求∠C的 度数. 18.(5分)如图，△ABC为直角三角形，tanA=5 31 (1)求cosA-√3cosB+V2sin45的值； (2)若AB=4,求△ABC的面积 19.(5分)如图，在△ABC中，∠A=45°，tanB=3,BC=√10，求AB的长. 20.(5分)如图，在△ABC中，AC=5,AB=8,AD⊥BC于点D,CD=3,求tanB,tanC 的值. 第3页（共6页） 21.(6分)如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinB=号，AC=8,D为线段BC上一点， CD=2. (1)求BD的长； (2)求cos∠DAC的值. 22.(7分)小华周末与家人一起到十里河滩游玩，行至某地A处时，小华看到B,C处各有 一棵被湖水隔开的法国梧桐，他在A处测得B在南偏西48°方向，C在南偏东15°方 向，他从A处走了30m到达B处，又在B处测得C在南偏东60°方向. (1)求∠ACB的度数； (2)求两棵法国梧桐B,C之间的距离.（结果保留整数，参考数据：si72°≈0.95， c0s72°≈0.31) 23.(7分)文峰木塔，又名木塔寺，位于陕西省三原县，是西北地区唯一一座木质古塔，曾 被陕西省人民委员会公布为第二批省级重点文物保护单位.小婷和同学们想用所学的 几何知识测量文峰木塔的高度以检验自己运用知识解决实际问题的能力.如图，小婷 在地面上的点C处竖立一根可升降的标杆，发现当标杆顶端位于点F处时，点F与地 面上的点G、塔顶A恰好在一条直线上，当标杆顶端位于点D处时，在点D处用测角 仪测得塔顶A的仰角∠ADE=26.6°，已知B,C,G三点在一条直线上，D,F,C三点在 一条直线上，AB⊥BG,DC⊥BG,图中所有的点都在同一平面内.经测量，CD=3m, CF=1.6m,CG=3m,请你根据以上测量结果计算文峰木塔的高度AB. (参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50) 第4页（共6页） 24.(8分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这 棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方 向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知点A到水平地面的距离AB 为2m,台阶AC的坡度为1：√3，且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求 出树DE的高度.（测倾器的高度忽略不计） 60 25.(8分)宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”（如图）是中国最高的开启式景 观灯，曾获大世界基尼斯之最.某综合与实践小组开展了测量“天下第 灯”高度的实践活动.他们分成三组制订了不同测量方案，并利用课余时 间完成了实地测量，测量数据如下表。 课题 测量“天下第一灯”(AB)的高度 测量工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 测量小组 第一组 第二组 第三组 1 测量方案 示意图 c b EF是标杆，甲同学站在H 处观察到标杆顶端E和，点 GH是“天下第一灯” 说明 点C,D,B在同一条直线上 A恰好在一条直线上，点 (AB)旁的一个临时建筑 H,F,B在一条直线上 甲同学的身高PH=1.5m, 从点G处测得点A的仰 从点C处测得点A的仰角 测量数据 EF=3 m,HF=2 m,BF= 角为37°，测得点B的俯 为37°，从点D处测得点A 40m 角为45 的仰角为45°，CD=11m (1)根据测量方案和所得数据，第 小组的数据无法算出“天下第一灯”的高度 AB; 第5页（共6页） (2)请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出“天下第一灯”(AB)的高度.（参考数 据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 26.(10分)阅读与思考： 阅读下列材料，并解答后面的问题 在锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,过点C作CE⊥AB于点E o图①)，则sinB三C,sinA三C2,即CE=asin B,.CE=sinA,于是a 品BA同理有C品AC品B所以A-的B bsin A,即b。 b sC即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等」 北 60 图① 图② 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可 以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题： (1)如图①，在△ABC中，∠A=60°，∠C=45°，BC=30,则AB= (2)如图②，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50 n mile的A处，它沿 正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏45°方向上的B处，此时B处与灯塔 之间的距离为 n mile:(结果保留根号) (3)在(2)的条件下，试求75的正弦值.（结果保留根号） 第6页（共6页）