第1章 直角三角形的边角关系 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版 陕西专版）

第一章整合与提升 乡高频考点突破。 (2)2cos30°-tan60°+sin45°cos45°. 考点1锐角三角函数 1.(2024·榆林榆阳区校级 一模)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D是BC的 中点，AC=6,tan∠ABC= 2,则BD的长 考点3解直角三角形 7.如图，在R1△ABC中，已知 为 A.8 B.6 C.4 D.3 ∠C=90,0sA=号AC=4 2.在△ABC中，∠C-90,osB=号则smA 那么AB的长为 )c 的值为 A.3 B.5 c号 n碧 A号 B号 c号 n 8.(2024·咸阳秦都区校级一模)如图，已知在 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8, R△ABC中，∠C=90,sm∠ABC=号，点D BC=4,求cosA和tanA的值， 在边C上，BD=4,连接AD,m∠DAC-号 (1)求边AC的长： (2)求tan∠BAD的值. 考点2特殊角的三角函数值 4.tan30的相反数是 A.-3 B-5 C-圆 D 2 5.在锐角三角形ABC中，已知∠A,∠B满足 (血A-号)+kN5-mBl-0,则∠C的度数 为 6.计算： (1)(x-8149+(3)2--V21+4c0s30, 第一章直角三角形的边角关系20 考点4三角函数的实际应用 ②易错易混专攻。 9.学科物理光从空气射入 易错点1因斜边不确定导致漏解 液体中会发生折射现象， 如图，水平放置的容器中 1.在Rt△ABC中，若2AB=AC,则cosC= 装有某种液体，光线AO 斜射到液面发生折射，折射光线为OB,折射 易错点2对三角形的形状考虑不全而致错 角为∠BOD,测得∠BOD=20°，OD⊥BD, OD=10cm,则线段OB的长是 2.已知在△ABC中，∠A=45°，AB=4√2， (结果精确到0.1，参考数据：sin20°≈0.34， BC=5,则△ABC的面积为 cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) 司常考题型演练。 10.新材料国防应用随着我国科学技术的不断 发展，科学幻想变为现实，如图①是我国自 1(咸阳礼泉县期未)计算，1 的值为（ sin 45 主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型 后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，如图 A号 R号 C.√2 D.√3 ②是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型 的外围测得如下数据，BC=8,CD=2, 2.(2024·西安雁塔区校级模拟)如图，在 ∠ADC=135°，∠BCD=60°，且AB∥CD, Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD,AE分别为 求出垂尾模型轴切面ABCD的面积.（结果 △ABC的高线和中线，AB=4,AC=3,则 保留整数，参考数据：√2≈1.414，√3 cos∠EAD的值为 1.732) 图① 图② A D 3.情题地铁(2024·宝鸡扶风县一模)如图 ①是某地铁站入口的双翼闸机，如图②，它 的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间 的距离为12cm,双翼的边缘AC=BD= 62cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA= ∠BDQ=30°，当双翼收起时，可以通过闸机 的物体的最大宽度为 荆机箱 制机衔 图① 图② A.62 cm B.(622+12)cm C.(623+12)cm D.74 cm 21名师测控·数学Ⅱ九年级下册(BS) 4.(2024·四川眉山)如图，斜坡 60 6.项目式学习(2024·咸阳秦 CD的坡度i=1：2,在斜坡上 都区校级模拟)2024西安 有一棵垂直于水平面的大树 C.mm 城墙新春灯会聚焦了文化、 图① AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时，大 科技、数字、环保、演艺五大热门元素.部分灯 树在斜坡上的影子BE的长为10m,则大树 组将文物与灯会相融合，如气势磅礴的《祥龙 AB的高为 m 贺春灯组便在“中华第一龙”红山玉龙与浮 5.新材料宇宙科技(2024·河北)中国的探月工 雕龙纹宫灯石柱的基础上进行制作展示（如 程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇 图①).小敏和小雷两人去城墙灯会游览，看 在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星 到龙灯十分壮观，他们合作完成寒假作业的 星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m, 实践活动报告. 仰角为a:淇淇向前走了3m后到达点D,透 活动报告 过点P恰好看到月亮，仰角为B,如图是示意 课题 涮量龙灯最高点到地面的高度AB 图.已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离 目的 运用相似三角形与三角函数解决实际问题 AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ 工具 标杆、皮尺，测角仅、激光笔等 2.6m,AC的延长线交PQ于点E.(注：图 如图②，小散在D处用测 中所有点均在同一平面内)》 角仪测得龙灯最高点A的 (1)求3的大小及tana的值： 量 仰角∠ADB为31°，小雷 (2)求CP的长及sin∠APC的值 案及 在D处竖立高3m的标 示 D 图② 杆CD,利用激光笔测得地 面上的，点E、,点A和，点C 在一条直线上，DE=6m AB⊥BE,CD⊥BE,点B,D,E在一条水 平线上，图中所有点都在同一平面内， 说明 sin31°≈0.52，c0s31°≈0.86，tan31°≈0.60， 测角仪，激光笔与地面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 请你根据活动报告求出龙灯最高点到地面 的高度AB. 第一章直角三角形的边角关系22小专题二解直角三角形应用中的 =CN=DN+CD=(x+3)m,..EN=EF+NF “双直角三角形”模型 =5+(x+3)=(x+8)m.在Rt△DEN中， 1.B2.1023.解：连接BD交延长交EF于点 :tan∠DEN=P∠DEN=3I,∴DN=EN G,交PQ于点H.由题意，得AB=CD=EG= ·tan∠DEN=(x+8)·tan31°≈0.6(x十8)m, HP=1.6m,EF⊥BG,QP⊥BH,AC=BD= ∴.x=0.6(x+8),解得x=12..DN=12m, 4 m,CE=DG=21 m,PQ=64 m,..QH=QP- ∴.DH=DN+NH=12+1.2=13.2(m).答：标 PH=64-1.6=62.4(m)..在Rt△BQH中， 语牌底部点D到地面的距离DH的长约为 ∠QBH1-21.3,am∠QBH-8÷BH- 13.2m. 9.解：过点F作FH⊥AB于点H. am2盟3入8器话160mDH=BH-BD QH ,AB⊥BG,FG⊥BG,.四边形BGFH为矩形 .BH=FG=1.6m,BG=HF.设AB=xm.由 160-4=156(m)..EF⊥BG,QP⊥BH, 题意，得∠CED=∠AEB,∠CDE=∠ABE= ∴.∠FGD=∠QHD=90°.，∠FDG=∠QDH, △FGD△QHD.品-品-器， 90∴△CDEn△ABE.是-0.即品 .FG=8.4,∴.EF=FG+EG=8.4+1.6= BEBE=0.5ar m,:HF=BG=GD+DE+BE 10(m).答：玄奘法师铜像EF的高度约为10m =4.15+0.85+0.5x=(5+0.5x)m..在 4.C5.(9十6√3)6.解：过点A作AE⊥CD于 Rt△AFH中，∠AFH=40°，AH=AB-BH=(x- 点E.由题意，得AB=DE=20m.在Rt△ADE 1.6)mtan40°=二=二.6≈0.84，解得x HF5+0.5.x 中，∠EAD=30°，tan∠EAD= 0AE= =10.答：喷泉景观AB(含底座)的高度约为 R50 20 10m. 10.解：CD⊥DE,AB⊥DE,.∠CDE 3 =205(m).在Rt△AEC中， =∠ABE=90°.设BF=xm.在Rt△ABF中， 3 ∠CAE=45m∠CAE-.CE=AE· ∠AFB=50.2,am∠AFB=4P.AB=BF tan50.2°≈1.2.x(m).,∠CDE=∠ABE=90°， tan45°=20/3×1=20w3(m),∴.CD=CE+DE =(20√3+20)m.答：信号塔的高度为(20√3十 ∠E=∠E△CDE∽△MBE,∴部- 20)m.7.解：由题意，得∠CAD=30°，∠AEB= .'BE=BF+EF=(+7.5)m,DE=DF+EF= 53.13°，CD=15W3m,DE=15m.在Rt△ACD 16.5+7.5=24m紧=5，解得 中，∠CAD=30°，CD=15√3m,tan∠CAD= 12.5.∴.AB=1.2×12.5=15(m).答：学校旗杆 品AD= CD=153 的高度AB约为15m. an30° =45(m).:在 第一章整合与提升 3 高频考点突破 Rt△ABE中，AE=AD-DE=45-15=30(m), 1.B2.B3.解：.∠C=90°，AB=8,BC=4, ∠AEB=581S,an∠AEB=Ae.AB=AE .由勾股定理，得AC=√AB一BC=√8一4 ·tam53.13≈30×号=40(m.答：甲楼的高度 co.an A-C- AB 8 AB约为40m.8.解：能.延长EF交CH于点 4-3 N,则∠CNF=90°.由题意，得NH=BF=AE= 4334.C575°6.解：1)原式=1+9 1.2m,EF=AB=5m.在Rt△CFN中， ∠CFN=45°，.CN=NF.设DN=xm,则NE -23+4×9=10-25+23=10:(2)原式 2 第5页（共42页） 2x号+号×号--+ 易错易混专攻 2 .7.C 2 AC 9我 2.2或14 8.解：(1)在Rt△ABC中，，sin∠ABC= AB 常考题型演练 号可设AC=3m,则AB=5m由勾股定理，得 1.C2.D3.D4.(415-25)5.解：(1) BC=√AB-AC=√(5m)2-(3n)7=4m.在 由题意，得PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ =1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m,.CE R△ACD中，：am∠DAC-8是-需=景， =AE-AC=4-3=1(m),PE=PQ-EQ= ∴.CD=2n.∴.BC=CD+BD=2m十4.∴.2m+4 2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°，∴.CE=PE,3 =4m,解得m=2.∴.AC=3m=6:(2)过点D作 =∠PCE=45°.在Rt△APE中，tana= DE⊥AB于点E.由(1)知，AB=5m=10,AC= am∠PAE--:(2)过点C作CHLAP于 6,BD=4,CD=2m=4.Sam=号BD·AC= 点H.在Rt△CEP中，CE=PE=1m,∠CEP= 吉AB·DE,DE=BDC==景在 90°，由勾股定理，得CP=√CE+PE区= AB 10 Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC+CD V+T=Em.ma=m∠HAC-得 =√G2+4=2√13.在Rt△ADE中，由勾股定 寻设CH=xm,则AH=4rm在R△ACH 理，得AE=D-DE=√2BP-() 中，由勾股定理，得CHP+AP=AC,即x2+ 12 (4==9,解得r=3(负值已含去)。 ，.tan∠BAD=AE 5 6 9.10.6cm 34 17 .CH=317 17 m.在Rt△CPH中，sin∠APC= 10.解：如图②，日 P过点A作CD的垂线， 317 CH 17-334 CP 34 6.解：在Rt△ABD √2 交CD的延长线于点F:过点C作AB的垂线，交 中，∠ADB=3I,am∠ADB=部.：BD AB的延长线于点E.易得四边形AECF是矩形， .∠ECD=90°，AF=CE,FC=AE..'∠BCD= AB≈AB.:∠ABE=∠CDE=90,∠AEB tan 316 0.6 60°，∴.∠BCE=∠ECD-∠BCD=90°-60°= =∠CED.△ABE∽△CDE,部-.即 30°.在Rt△BCE中，，∠BCE=30°，BC=8, BE-BC-X8-4.CE-BCX- B_BD+6,2AB=AB+6AB=18.答：龙 3 6 0.6 2 灯最高点到地面的高度AB约为18m. 43.:∠ADC=135°，∴.∠ADF=180°-∠ADC 第二章 二次函数 =180°-135°=45°.∴.△ADF是等腰直角三角 1二次函数 形，.DF=AF=CE=43.FC=AE,即DF+ 基础过关 CD=AB+BE,CD=2,∴.4√3+2=AB+4, ,∴.AB=4√3-2，∴.S稀形BD= (CD+AB)·CE 1.C2,B304解：由题意，得m-7-2解 m-3≠0， 得m=-3.5.C6.B7.S=x2+4x+4 一2(2+43-2)×4V3=24.答：垂尾模型轴切 8.119.解：(1)由题意，得y=(x+2)(x+3)一2 面ABCD的面积为24. ×3=x2+5.x:(2)当x=1时，y=1+5×1=6:当 第6页（共42页）