第09讲 等量关系和方程及等式的基本性质（4大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第09讲 等量关系和方程及等式的基本性质 课程标准 学习目标 1. 等量关系和方程 2. 等式的基本性质 1.了解方程的概念，理解方程的解和解方程的意义，形成和发展抽象能力. 2.掌握一元一次方程的概念，会检验方程的解，形成和发展运算能力。 3.掌握等式性质在解题中的应用，能够运用性质进行方程的变形和求解。 知识点01 一元一次方程的定义 方程:含有未知数的等式叫做方程.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。 条件:(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1;(3)分母中不含有未知数,即必须是整式方程。 【即学即练1】 下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数． 【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意； B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意； C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意； D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意． 故选：A． 【即学即练2】 如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且， 且． 故选：C 知识点02 建立一元一次方程模型 把所要求的量用字母x(或y,…)表示,根据问题中的等量关系列出方程,这一过程叫做建立方程. 【即学即练1】 设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为，相反数为，据此根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 知识点03 方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. 【即学即练1】 下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意． 故选：B． 知识点04 等式的性质 (1)等式性质1 内容:等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),所得结果仍是等式. 式子:如果 a=b,那么 a±c=b±c (2)等式性质2 内容:等式两边都乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除式不能为0),所得结果仍是等式. 式子:如果 a=b,那么 ac=bc. 如果 a=b,那么“”：(d≠0). 【即学即练1】 1.下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 【即学即练2】已知：，且a，b，c都不等于0，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘除的应用，等式的性质，根据等式的性质可知：乘积相等，一个因数越大，另一个因数越小；先把除法化成乘法，比较数字因数的大小，再根据乘积相等，一个因数越大，另一个因数越小判断字母因数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， a，b，c中最小的数是b， 故选：． 【即学即练3】如果，那么 ，其依据是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等式的基本性质1，左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立，进行填空即可． 【详解】解： 故答案为：，等式的基本性质1 题型01 判断各式是否是方程 【典例1】下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 【变式1】下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【答案】②③④⑥ 【分析】本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 【详解】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 【变式2】下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 题型02 一元一次方程的定义 【典例1】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据定义即可求出答案． 【详解】解：A、不是方程，不是一元一次方程，本选项不符合题意； B、是一元一次方程，本选项符合题意； C、未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 【变式2】已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值．熟练掌握一元一次方程的定义，绝对值是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得，， ∴， ∴k的值为． 【变式3】已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】4或或1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值． 【详解】解：分两种情况： （1），， 当时，，此时； 当时，，此时； （2），， 解得，，； 当时，，即； 当时，由原方程，得，不符合题意． 题型03 方程的解 【典例1】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式1】关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念，使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到，然后再对所求代数式变形，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 【变式2】写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且；根据题意只要求得即可求得方程．本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【详解】解：∵一元一次方程形式是，是常数且； 由题意可知，． 则将与的值代入中得： ， 解得：， 所以该一元一次方程为：． 故答案为：（答案不唯一）． 题型04 等式的性质 【典例1】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题主要考查等式的性质，解题的关键是熟知移项的特点．根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式两边仍相等；等式两边同时乘以或除以一个不为0的数，等式两边仍相等．作相应变形进而判断． 【详解】解：A、根据等式的性质1，等式两边都加1，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式的性质1，等式两边都加上，可得，原变形错误，故此选项符合题意； C、等式两边都都加上3，得，再减去y，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； D、等式两边都减去4，得，再减去，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A 2．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6， 则， 故选：D． 3．若是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义及解绝对值方程，掌握一元一次方程的未知数的次数为1是解题的关键，同时关注一次项系数不为0．依据一元一次方程的未知数的次数为1且系数不为零求解即可． 【详解】解： 是关于x的一元一次方程， 且， ， 解得：， 故选：A． 4．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程叫做一元一次方程即可判断求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元一次方程，该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程的右边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 5．已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此求出的值，然后再求解方程即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，且， 解得：， 原方程为：， 解得：， 故选：D 6．把方程的分母化为整数，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用分数的基本性质把一元一次方程中的分母化为整数，掌握分数的基本性质是解题的关键．把分子，分母都乘以10，从而可得答案． 【详解】解：即， 故选：C． 7．已知，下列等式变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、等式两边同加4，得，故本选项的等式变形正确； B、由于，等式两边同除以，得，故本选项的等式变形正确； C、等式两边同乘，得，再在等式两边同加3，得，故本选项的等式变形正确； D、若，等式两边同除以a，则，故本选项的等式变形错误． 故选：D 8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：若，因为等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∴，故A正确，不符合题意； 若，当时，不一定成立，故B错误，符合题意； 若，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故C正确，不符合题意； 若，且，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B 9．下列方程中变形正确的是（     ） ①变形为； ②变形为； ③ 变形为； ④变形为． A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质：等式两边加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边乘以（或除以）同一个数，等式仍然成立． 【详解】解：①变形为，两边同时除以可得，所以正确； ②变形为， 两边同时加上，再减去可得，所以正确； ③变形为；两边同时乘以可得，所以正确； ④，两边同时除以得到：，所以错误. 故选D. 10．在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是（　 　） A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．去括号法则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立．根据等式的性质2可得答案． 【详解】解：，去分母得， 其变形的依据是等式的性质2， 故选：B． 11．已知是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到，求出m即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 12．x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据x与6的和的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，， 故答案为：． 13．有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于x的方程是解题关键． 根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：设常数为x，由题意，得 解得， 故答案为：3． 14．已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键； 根据题意得出关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 一元一次方程无解， ， ． 15．猜一猜：“事功”的谜底是 （打一成语）；“”的谜底是 （打一成语）． 【答案】 事倍功半 七上八下 【分析】本题考查了等式的性质，分数的认识．根据两倍的事等于一半的功，即可求解，根据分子为，分母为，进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得两倍的事等于一半的功，即事倍功半； 根据的分子为，分母为，即可得出七上八下． 故答案为：事倍功半，七上八下． 16．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 17．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 18．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)否 【分析】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． （1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边右边， ∴不是方程的解． 19．回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 【答案】(1)两边同时减去， (2)两边同时除以5； (3)见解析 【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据等式的性质1可得到答案； （2）根据等式的性质2可得到答案； （3）根据等式的性质2可得到答案； 【详解】（1）解：两边同时减去， 等式得到； （2）解：两边同时除以5， 等式得到； （3）解：两边同时乘以8， 等式得到． 20．利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程． （1）去括号后，先在方程两边同时加上6，再在方程两边同时减去x，即可求解； （2）方程两边同时乘以12后去括号并化简，再在方程两边同时减去7，最后方程两边同时除以7，即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 方程两边同时加上6，得：， 即：， 方程两边同时减去x，得：， 即； （2）解：． 方程两边同时乘以12，得：， 去括号得：， 化简，得：， 方程两边同时减去7，得， 方程两边同时除以7，得：． 21．已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再代入关系式求出，进而把的值代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入方程中得， ， 解得， 将代入关系式中得，， ， 解得， ． 22．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 23．综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 【答案】（1）①；②一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克（2）不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可 【分析】此题考查的是等式的性质，列代数式， （1）①由题目中的数量关系可得答案； ②根据题意列出方程，求解可得答案； （2）根据等式的性质可得答案． 【详解】解决问题 解：①根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：； 记录二中的一次性纸杯的总质量为：， 故答案为：；， ②由题意得：， 解得：， ， 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克． 及时迁移 （2）解：将天平左边放置4个乒乓球，天平右边放置2个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡． 故答案为：4个乒乓球，2个一次性纸杯和1个10克的砝码， 理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 故答案为：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 等量关系和方程及等式的基本性质 课程标准 学习目标 1. 等量关系和方程 2. 等式的基本性质 1.了解方程的概念，理解方程的解和解方程的意义，形成和发展抽象能力. 2.掌握一元一次方程的概念，会检验方程的解，形成和发展运算能力。 3.掌握等式性质在解题中的应用，能够运用性质进行方程的变形和求解。 知识点01 一元一次方程的定义 方程:含有未知数的等式叫做方程.一元一次方程:只含有 未知数,并且未知数的次数是 ,这样的方程叫做一元一次方程。 条件:(1)只含有 未知数；(2)未知数的次数是1;(3)分母中不含有 ,即必须是 方程。 【即学即练1】 下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 如果关于的方程是一元一次方程．那么，应满足的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 知识点02 建立一元一次方程模型 把所要求的量用字母x(或y,…)表示,根据问题中的 列出方程,这一过程叫做建立方程. 【即学即练1】 设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 知识点03 方程的解 使方程 相等的未知数的值,叫做方程的解. 【即学即练1】 下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 知识点04 等式的性质 (1)等式性质1 内容:等式两边都 (或减去)同一个数(或式),所得结果仍是等式. 式子:如果 a=b,那么 a±c=b±c (2)等式性质2 内容:等式两边都乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除式不能为 ),所得结果仍是等式. 式子:如果 a=b,那么 ac=bc. 如果 a=b,那么“”：(d≠0). 【即学即练1】 1.下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【即学即练2】已知：，且a，b，c都不等于0，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【即学即练3】如果，那么 ，其依据是 ． 题型01 判断各式是否是方程 【典例1】下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【变式2】下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 题型02 一元一次方程的定义 【典例1】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值． 【变式3】已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 题型03 方程的解 【典例1】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式2】写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是 ． 题型04 等式的性质 【典例1】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 4．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（   ） A．1 B．0 C． D． 6．把方程的分母化为整数，可得方程（    ） A． B． C． D． 7．已知，下列等式变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 9．下列方程中变形正确的是（     ） ①变形为； ②变形为； ③ 变形为； ④变形为． A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 10．在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是（　 　） A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．去括号法则 11．已知是关于的一元一次方程，则的值是 ． 12．x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 13．有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ． 14．已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 15．猜一猜：“事功”的谜底是 （打一成语）；“”的谜底是 （打一成语）． 16．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量， 求〇 g，□= g． 17．已知关于的方程的解是，求的值． 18．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解 (1)； (2)． 19．回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 20．利用等式的基本性质将方程化为的形式 (1)； (2)． 21．已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 22．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 23．综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$