1.4 点到直线的距离（十一大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

1.4 点到直线的距离 题型1：求平面两点的距离 1．平面上、两点的距离是 . 2．已知，，，则的周长为 ． 3．已知直线与交于点，若点到坐标原点的距离为，则点的坐标为 ． 题型2：点到直线的距离 4．点到直线的距离为 ． 5．点到直线的距离的最大值为 . 6．在直线上求一点，使它到原点的距离和到直线的距离相等，则此点的坐标是 . 题型3：平行线之间的距离 7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ． 8．设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 9．平面上有四条直线，它们的方程分别是 ．则由这四条直线围成四边形的面积是 ． 题型4：由距离求点的坐标 10．直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 11．已知点，，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 12．在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为 . 题型5：直线围成面积问题 13．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 14．已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为 ． 题型6：求两点距离相等的直线方程 15．已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 16．已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 17．已知两点，到直线的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：求两点的对称轴方程 18．已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 19．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是 A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=0 20．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（    ） A． B． C． D． 题型8：求直线关于点对称的直线 21．直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 22．已知直线与关于点对称，则 . 23．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型9：光线反射问题 24．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（    ） A． B． C． D． 25．在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 26．设A，B是y轴上的两点，点P的纵坐标为1，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（    ） A． B． C． D． 27．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型10：将军饮马、最值问题 28．设x，y为实数，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 29．已知点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 30．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型11：解答题 31．一条直线l经过点，且和：，：分别交于A、B两点，若，求直线l的方程． 32．已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 33．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 34．如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 35．某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 36．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 一、填空题 1．已知矩形中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为，点P在边上，点A关于的对称点为，若点到直线的距离为4，则点的坐标可能为 ． 2．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题.可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为 . 3．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，写出符合条件实数的一个取值 . 4．在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 5．在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为 二、单选题 6．已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 7．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 三、解答题 8．最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．    (1)求两个军事基地的长； (2)若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 9．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 点到直线的距离 题型1：求平面两点的距离 1．平面上、两点的距离是 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式即可求解. 【解析】, 故答案为： 2．已知，，，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】利用两点间距离公式求出各边长，求和即可得到结果. 【解析】， ， ， 的周长为. 故答案为：. 3．已知直线与交于点，若点到坐标原点的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】求出直线的交点坐标，再利用两点间距离公式求出即可得解. 【解析】由，解得，即， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 故答案为：或 题型2：点到直线的距离 4．点到直线的距离为 ． 【答案】1 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【解析】点到直线的距离为. 故答案为：. 5．点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】先判定直线过定点，再结合两点距离公式计算即可. 【解析】易知直线，即其恒过定点， 所以点到该直线的距离的最大值为. 故答案为：. 6．在直线上求一点，使它到原点的距离和到直线的距离相等，则此点的坐标是 . 【答案】或 【分析】设出这点坐标，根据两点间距离公式和点到直线距离公式列式计算得解. 【解析】由题意，点在直线上，设这点坐标， ，解得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 题型3：平行线之间的距离 7．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【解析】直线与直线平行，则，解得， 直线为， 所以它们之间的距离是. 故答案为： 8．设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【解析】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 9．平面上有四条直线，它们的方程分别是 ．则由这四条直线围成四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】求出与直线的交点，利用两点间距离公式求边长，然后利用平行直线的距离公式求平行四边形的高，然后可得面积. 【解析】因为， 所以直线互相平行，距离为， 又互相平行，所以四条直线围成四边形为平行四边形， 记与直线分别交于点， 则由解得，由解得， 因为， 所以四边形面积为. 故答案为： 题型4：由距离求点的坐标 10．直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求点坐标为，根据已知条件列方程，由此求得正确答案. 【解析】设所求点的坐标为，有，且， 两式联立解得或. 故选：C 11．已知点，，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 【答案】C 【解析】根据两点间的距离公式可解得结果. 【解析】因为， 所以，即，解得或， 故选：C 12．在直线x－y＋4＝0上取一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】根据点在直线上，可设的坐标为，利用两点间的距离公式列方程，求出、的值即可． 【解析】设直线上一点，则到点，的距离相等， ∴， 解得，∴， ∴点的坐标为，故答案为. 【点睛】本题考查了直线方程以及两点间的距离应用问题，设出点坐标得到方程组是解题的关键，是基础题． 题型5：直线围成面积问题 13．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积. 【解析】直线的方程为，即. 由解得. 设，直线的方程分别为 ，即 ，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以 ， ，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得 ，解得（），所以. 所以到直线的距离为，而，所以. 故选：C    【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 14．已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【解析】设直线与 、分别交于两点，因为直线与平行， 所以∽，设点到直线与的距离分别为， 因为直线与平行，且将分成面积相等的两部分， 所以， 因为、， 所以直线的方程为：， 因为直线与平行，所以设直线的方程为， 于是有，， 因此有， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然点在直线与直线之间，不符合题意， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然直线与边 、分别相交，符合题意， 故答案为： 题型6：求两点距离相等的直线方程 15．已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】首先求出的斜率与中点坐标，再分两种情况讨论，直线过的中点与直线与平行，分别设出直线方程，利用距离公式得到方程，解得即可； 【解析】解：，，所以，且的中点为， 若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为， 即，则到直线的距离， 即，解得或； 所以直线为或； 若直线与平行，设直线为，则到直线的距离， 解得或，所以直线为或； 综上可得满足条件的直线有4条； 故选：D 16．已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式建立关系可求解. 【解析】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 根据点，到直线的距离相等，得，解得或， 故直线的方程为或. 故选：A. 17．已知两点，到直线的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意做出简图，分别讨论在同一侧和两侧两种情况，只需小于两点距离的一半，再由两点间的距离公式即可求出的取值范围. 【解析】解：由题意如图所示：    因为若在直线的同一侧，可做两条直线， 所以若这样的直线有4条，则当两点分别在直线的两侧时，还应该有两条， 所以2小于的距离， 因为， 所以， 所以：， 故选：B. 【点睛】考查点到直线的距离公式，属于中档题. 题型7：求两点的对称轴方程 18．已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据，求出，设直线方程为，然后求出中点坐标，代入直线方程，解出即可. 【解析】 因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为, 因为线段的中点坐标为, 所以,解得， 所以直线的方程是. 故选：D. 19．原点O（0，0）与点A（﹣4，2）关于直线l对称，则直线l的方程是 A．x+2y=0 B．2x﹣y+5=0 C．2x+y+3=0 D．x﹣2y+4=0 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为（﹣2，1），求出OA的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果． 解：∵已知O（0，0）关于直线l的对称点为A（﹣4，2），故直线l为线段OA的中垂线． 求得OA的中点为（﹣2，1），OA的斜率为 =﹣，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为 y﹣1=2（x+2 ），化简可得：2x﹣y+5=0． 故选B． 考点：待定系数法求直线方程． 20．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得折线为点和的垂直平分线，求得垂直平分线方程，然后设点关于直线的对称点为,根据“一垂直，二中点”列出方程组求解即可. 【解析】由已知得折线为点和的垂直平分线， 两点和连线段的中点为,斜率为， ∴其垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为y=x+2， 设点关于直线的对称点为, 则，解得， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线的对称点问题和线段的垂直平分线方程的求法，涉及直线垂直的条件，中点公式，属基础题. 题型8：求直线关于点对称的直线 21．直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【解析】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 22．已知直线与关于点对称，则 . 【答案】 【分析】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值. 【解析】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为. 点在直线上， ，解得， . 故答案为： 【点睛】此题考查直线的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 23．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. 【解析】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得， 故所求直线方程为， 故选：A 题型9：光线反射问题 24．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在直线y=﹣3x+b上任意取一点A（1，b﹣3）， 则点A关于直线x+y=0的对称点B（﹣b+3，﹣1）在直线y=ax+2上， 故有﹣1=a（﹣b+3）+2，即﹣1=﹣ab+3a+2，∴ab=3a+3， 结合所给的选项， 故选D． 25．在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【解析】作出点A关于直线的对称点， 连接，交直线于点， 则即为光线经过路程的最小值， 且， 此即光线从A到B所经过的距离为. 故选：B． 26．设A，B是y轴上的两点，点P的纵坐标为1，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A，B是y轴上的两点，且，得到，设直线PB的方程为，再求得点p的坐标，代入求解. 【解析】因为A，B是y轴上的两点，且， 所以， 因为直线PA的方程为， 所以直线PB的方程为， 因为点P的纵坐标为1， 由，解得 ， 所以 ， 因为点p在直线PB直线上， 所以， 所以直线PB的方程是， 故选：D 27．如图所示，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从特殊位置考虑，满足即可. 【解析】如图所示，从特殊位置考虑. ∵点关于直线的对称点为， ∴直线的斜率，∴. ∵关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为，此时直线的斜率不存在. 综上，. 故选：B. 题型10：将军饮马、最值问题 28．设x，y为实数，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】代数式转化为动点到定点和的距离之和，由两点间距离公式可得． 【解析】由平面内两点间的距离公式知，原式表示动点到定点和的距离之和. 由“两点之间线段最短”知，点在线段上时，取得最小值，最小值为. 故选：C． 29．已知点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可. 【解析】点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：B. 30．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由费马点所对的三角形三边的张角相等均为120°，求出费马点，再根据费马点是与三角形三个顶点距离之和最小的点求出. 【解析】设为坐标原点，由，，， 知,且为锐角三角形， 因此，费马点M在线段上，设，如图，    则为顶角是120°的等腰三角形，故， 所以， 则的最小值为. 故选：B 题型11：解答题 31．一条直线l经过点，且和：，：分别交于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出直线与之间的距离，进而求出直线l与的夹角，再利用夹角公式求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得. 【解析】如图，过点A作于点C，由，得为与之间的距离，即，    在中，由，得， 于是，即l与的夹角为，而直线的斜率，设直线的斜率为， 由夹角公式得，解得或，直线：或， 所以直线l的方程为或． 32．已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 【答案】 【分析】先求点B,再使得点A到直线的距离最大，则直线与过点A、B的直线垂直得出斜率即可求出直线. 【解析】设点，则，解得， 所以点关于直线l：对称的点的坐标为． 若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大， 当为到的距离时为距离最大，其他情况距离为以为斜边的直角边， 则直线与过点A、B的直线垂直，所以， 则直线的方程为，即． 33．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可； （2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标. 【解析】（1）因为、， 所以边所在直线的方程为，整理得； （2）点到直线的距离， 又，因为， 所以有，即， 又点的坐标满足， 因此有或， 解得或， 所以点的坐标为或． 34．如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值； （2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值. 【解析】（1）因为，则， 因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 所以，. （2）因为直线的一个方向向量为， 所以，直线的方程为，即. 点到直线的距离为，， ，可得或， 即或，因为，解得或. 35．某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 【答案】(1) (2)公路长千米，示范带250平方千米 【分析】（1）设P，由点到直线的距离等于10得出点的坐标； （2）由得出，进而得出的方程，再由的坐标以及勾股定理得出的长度，最后由求面积. 【解析】（1）解：由可知：直线的斜率 直线的方程为： ∵点P到OB，OC的距离均为10 ∴设点P的坐标为 点到的距离，解得： 所以点的坐标为 （2）∵点P到OB，OC的距离相等． ∴点在的角平分线上． ∵ ∴点为的中点， ∴ 直线的方程为 令得 ∴， ， ∴公路的长度为千米，示范带总面积为250平方千米． 36．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得重心的坐标；设，关于直线的对称点分别设为，表示出的坐标，根据光线反射原理可知共线，结合重心坐标即可求得点的坐标； （2）根据对称知识可知的周长即为，利用两点间距离公式可求得答案. 【解析】（1）如图所示： 以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即； 设，关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故点的坐标为. （2）由（1）可得，所以即为，即为， 由题意可知， 故的周长为. 一、填空题 1．已知矩形中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为，点P在边上，点A关于的对称点为，若点到直线的距离为4，则点的坐标可能为 ． 【答案】，， 【分析】设出点的坐标，根据给定条件，列出方程组，解方程组并判断作答. 【解析】依题意，点，直线：，而点P在边上，则直线的斜率或OP在y轴上， 设点，由点到直线的距离为4，得，即或， 又点A关于的对称点为，则，即， 当时，或，若，有，点与A的中点在直线上， 此时直线斜率，符合题意，则， 若，有，点与A的中点在直线上， 此时直线斜率，不符合题意， 当时，或，若，有，点与A的中点在直线上， 此时直线斜率，符合题意，则， 若，有，点与A的中点在直线上， 此时直线斜率，符合题意，则， 所以点的坐标可能为，，. 故答案为：，， 2．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题.可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为 . 【答案】5 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【解析】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 3．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，写出符合条件实数的一个取值 . 【答案】（或或，写出其中一个即可） 【分析】由，转化为，得到表示点到直线的距离，表示点到直线的距离，结合题意分类讨论即可. 【解析】解：由， 得， 则表示点到直线的距离； 表示点到直线的距离； 直线不过原点，, （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和; （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去. 设点A到的距离为. ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合; ②作为增根被舍去的直线，过原点且与AB平行，其方程为， 此时，，符合. （3）当时，至多只有两条直线符合题意，舍去. 综上，或或. 故答案为：（或或，写出其中一个即可） 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题给方程转化为点到直线的距离，注意排除直线过原点的情况. 4．在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知，，，，点在矩形内（含边界）且到点，的“折线距离”相等，则点的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】由题意设，可知，，根据点到点，的“折线距离”相等，可得，即可求解. 【解析】    设，因为点在矩形内（含边界）， 则，， 因为点到点，的“折线距离”相等， 所以，即， 则， 当时，， 当时，， 设，，则点的轨迹为线段， 故点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出点，根据折线距离的计算公式列出相关的式子，由，的取值去掉绝对值符号求解即可. 5．在内切圆圆心为的中，，，，在平面内，过点作动直线，现将沿动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，点在直线上的射影为，则的最小值为 【答案】 【分析】建立坐标系，设直线斜率为，用表示出，，利用基本不等式得出答案． 【解析】过作的三边的垂线，设的半径为， 则，即． 以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，． 在平面的射影在直线上，故直线必存在斜率． 过作，垂足为，交直线于． 设直线的方程为：，则， 又直线的方程为：， ，， 故而． ． ①若，则． 当且仅当即时取等号． ②若，则． 当且仅当即时取等号． 综上可知的最小值为. 故答案为： 二、单选题 6．已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 【答案】B 【分析】先设点的坐标，把函数转化为，再结合图形特征得出最小值即可. 【解析】是抛物线上一点， 到直线的距离为 到点的距离为， 所以 当共线时，取最小值， 最小值为到的距离. 因为， 且的最小值为， 所以的最小值为9，且在交点或处取到， 故选：B. 7．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 【答案】C 【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断． 【解析】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值， 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故①正确； 对于②，定点、，动点， 满足， 则：， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，. 当时，有，得：； 当时，有，此时无解； 当时，有，； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确， 故选：C. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝. 三、解答题 8．最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．    (1)求两个军事基地的长； (2)若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 【答案】(1) (2)当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行 【分析】（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解 （2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解． 【解析】（1）则由题设得：，直线的方程为，， 由，且，解得，所以． 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，即， 所以， 即基地的长为． （2）设爆炸产生的爆炸波圆， 由题意可得，爆炸波生成小时后，飞行在线段上的点处， 则，，所以， 爆炸波不会波及飞行器的通行，即对恒成立． 所以，即， 当时，上式恒成立； 当时，整理得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在时，恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行． 当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行． 9．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【解析】（1）由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； （3）当时，直线， ， 由，整理得 ，，，，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$