1.3 两条直线的位置关系（十一大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

1.3 两条直线的位置关系 题型1：判断两直线的平行 1．下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 【答案】①③④ 【分析】利用斜率定义及坐标公式计算判断①②③；求出直线倾斜角判断④. 【解析】对于①，直线的斜率，直线的斜率，，所以； ②直线的斜率，所以不平行于； ③直线的斜率，直线的斜率，，所以； ④轴，轴，即直线与直线的倾斜角都为，所以. 故答案为：①③④ 2．“”是“直线与平行”的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】由两直线平行可知斜率相等，且不重合. 【解析】，则， 直线与平行， 当时，两条直线分别为：和，显然不平行. 当时，则有,且（注：时，两直线重合）, 解得：. 所以“”是“直线与平行”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 3．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【解析】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 题型2：判断两直线的垂直 4．已知直线过，且，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】 根据两点坐标求直线的斜率，结合两直线的位置关系即可求解. 【解析】设直线斜率为，直线斜率为， 因为直线过，， 所以斜率为， 因为，所以， 所以，即直线的斜率为. 故答案为：. 5．是直线和直线垂直的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】求出两条直线垂直的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【解析】直线和直线垂直等价于或， 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 6．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【解析】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 题型3：根据两直线的平行求参数 7．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 【答案】0或1 【分析】 分当直线AB的斜率不存在，直线MN的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下两直线不重合. 【解析】解：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m≠－2，且m≠－1时， kAB＝， kMN＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 故答案为：0或1 8．已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则 ． 【答案】6 【分析】根据平行直线的斜率的关系列方程，从而求得的值. 【解析】因为直线的倾斜角为，所以． 又直线，则，解得． 故答案为： 9．已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数 . 【答案】或1 【分析】讨论和两种情况求直线的斜率，根据两直线平行，得到斜率的关系，即可求解. 【解析】若，则直线的斜率为0，此时直线的斜率不存在，那么与不平行，不满足条件， 若，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，解得：或. 故答案为：或 题型4：根据两直线的垂直求参数 10．直线：与：互相垂直，则实数 ． 【答案】 【解析】试题分析：直线：与：互相垂直，，解得. 考点：两直线垂直的条件. 【方法点睛】两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件术语常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：；平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！ 11．若直线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】 利用两直线位置关系计算即可. 【解析】由题意可知或. 故答案为：或 12．已知的顶点，重心，垂心为，若、都在直线上，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据重心坐标公式得到，然后根据列方程得到的坐标，最后根据求点即可. 【解析】设， 因为重心，所以，即， 因为为垂心，所以，则，解得， 所以，，， 所以直线斜率不存在，则，， 所以. 故答案为：. 题型5：直线平行、垂直在几何中的应用 13．若直线被直线：与：截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为 ． 【答案】15°或75°/75°或15° 【分析】先计算两平行直线的距离，再由截得的线段长为，可得直线与直线之间的夹角，从而可得答案. 【解析】因为直线：与：平行， 所以与之间的距离． 设直线与，的夹角为（）， 因为直线被直线与截得的线段长， 所以，解得． 因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为45°， 所以直线的倾斜角的值为15°或75°． 故答案为：15°或75° 14．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【解析】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 15．已知正数满足，则 . 【答案】/. 【分析】 如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【解析】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 题型6：直线的交点 16．直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再由题意设直线方程为，将交点代入解出，即可得出答案. 【解析】联立直线和得，则得其交点为. 因为直线与直线平行， 所以设直线方程为，将点坐标代入得， ∴直线方程为，即， 故答案为：. 17．动点在直线上，O为原点，最小时点P的坐标为 . 【答案】 【分析】 当OP垂直于时，最小，求出OP所在的直线方程，联立得到交点坐标，即为答案. 【解析】直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离， 此时OP垂直于已知直线，由于的斜率为， 则， ∴OP所在的直线方程为. 由，解得， ∴点P的坐标为. 故答案为： 18．已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，若AC边上的高所在直线的方程为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，满足AC边上的高所在直线方程；将中点坐标代入方程；两方程联立可求得点坐标. 【解析】设，代入AC边上的高所在直线的方程得：， 的中点坐标为，代入方程为：， 即， 联立得，解得：，. 故答案为： 题型7：由方程组解的个数判断直线的位置 19．完成下面的表格 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 直线的的位置关系 【答案】 一个 无数个 零个 相交 重合 平行 【解析】设直线的公共点为点，则点既在直线上，又在直线上，所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标就是方程组的解，因此方程组一个解对应直线一个公共点，直线相交；方程组无数个解对应直线无数个公共点，直线重合；方程组无解对应直线零个公共点，直线平行. 故答案为：一个；无数个；零个；相交；重合；平行. 20．写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【解析】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 21．关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 . 【答案】-35 【解析】由x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解. 【解析】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 ， 故答案为：-35 题型8：三线能围成三角形的问题 22．已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【解析】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 23．下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 . 【答案】 【分析】分三条直线交于一点、至少两条直线平行或重合，两种情况讨论即可 【解析】当三条直线交于一点时：由， 解得和的交点A的坐标， 由A在上可得2×－3m×＝4， 解得m＝或. 当至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等， 当时，，即，当时，，解得：， 当时，，不成立， 综上， m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形， ∴实数m的取值集合是. 故答案为：. 24．已知，直线：和直线：与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形的面积最小的k值为 ． 【答案】 【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,4),直线l1的纵截距为4-k,直线l2的横截距为2k2+2,如图所示: 所以四边形的面积S= [(4-k)+4]×2+×4×[(2k2+2)-2]=4k2-k+8,故面积最小时,k=. 题型9：直线交点系方程及应用 25．过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 26．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【解析】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 27．相交直线系 若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为 . 【答案】. 【解析】略 题型10：直线的夹角 28．两条直线2x+y-2= 0和2x +4y-5= 0的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求出两条直线的夹角的正切值，即可求得两条直线的夹角. 【解析】设两条直线的斜率为的斜率为， 这两条直线的夹角为则 由两条直线的夹角公式可得，可得， 故答案为： 29．若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 【答案】/ 【分析】 分别求两直线的斜率，结合夹角公式运算求解. 【解析】由题意可知：直线，的斜率分别为， 设直线与直线的夹角为，则， 可得，所以， ∵，即，解得. 故答案为：. 30．若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值 . 【答案】. 【分析】 根据题意可得两直线的倾斜角分别为，，进而可得两直线的夹角为，再由两角和的余弦公式即可求得答案. 【解析】解：因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为， 又因为直线的斜率， 所以线的倾斜角为， 所以直线与直线的夹角， 所以. 故答案为：. 题型11：直线的位置关系的综合应用 31．直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为 . 【答案】 【分析】求出B点关于关于l的对称点的坐标，结合点P到与的距离之差的几何意义，确定当三点共线时，最大，即可求得的方程，联立，即可求得答案. 【解析】设点B关于l的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线l上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 于是所在直线的方程为，即． 又， 当且仅当三点共线时，最大． 所以联立直线l与的方程即，解得， 即l与的交点坐标为， 故点P的坐标为． 故答案为： 32．以为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：上找一点C，构成，则的最小周长为 . 【答案】 【分析】求点关于x轴与直线l：的对称点，连接，由对称性可知，的周长为，其最小值为. 【解析】如图所示，令，分别为点关于x轴与直线l：的对称点， 并连接，，，则点的坐标为，    设点的坐标为，则，解得，于是点的坐标为. 由于， 因此的最小周长为. 故答案为： 33．如图所示，在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，进而通过直线的交点求出点P的坐标，然后得到的坐标，最后通过平面向量夹角的坐标运算求得答案. 【解析】如图，以点A为坐标原点，AB，AC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，根据题意可知. 于是，，联立，则. 所以. 故答案为：. 34．在梯形中，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合图形，利用向量的加减运算和数量积的定义化简计算即可求得；接着根据条件建立平面直角坐标系，设运用向量数量积的坐标运算式,将化成关于的二次函数，利用其图象特征即得的最小值. 【解析】 由图知，, 解得，，因，则； 如图建立平面直角坐标系，因，易得正. 则,直线的方程为：， 直线的方程为：,两直线联立解得，即， 因N为线段AC延长线上的动点，故可设则， 于是， ， 因，故当时，取得最小值，为. 故答案为：；. 35．已知的顶点A、C的坐标分别为、，顶点D在直线上移动，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】（除点外） 【分析】设出点B的坐标，利用线段BD与AC有相同的中点求解作答. 【解析】设点，在中，对角线AC的中点为，于是得点， 而点在直线上，则有，即， 直线的方程为：，即，由解得， 在中，点A，B，C不共线，因此点不在点B的轨迹上， 所以顶点B的轨迹方程为：（除点外）. 故答案为：（除点外） 36．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【解析】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 一、填空题 1．在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】由已知可知两直线，取在的右侧时，分别过作两直线的垂线，结合几何性质确定点轨迹，即可求得的最大值,其他位置同理可得． 【解析】若动点到两直线和的距离之和为， 交点为的斜率分别为，则， 在的右侧时，过分别向引垂线， 垂足分别为，那么， 过作轴的平行线，与交点为如图， 则，所以， 其它位置同理，那么点轨迹为正方形， 当在时，取得最大值，即取得最大值8. 故答案为：8． 2．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【解析】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题. 3．直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为 . 【答案】 【分析】求出B点关于关于l的对称点的坐标，结合点P到与的距离之差的几何意义，确定当三点共线时，最大，即可求得的方程，联立，即可求得答案. 【解析】设点B关于l的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线l上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 于是所在直线的方程为，即． 又， 当且仅当三点共线时，最大． 所以联立直线l与的方程即，解得， 即l与的交点坐标为， 故点P的坐标为． 故答案为： 4．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先求出定点和的坐标，分析得到两条直线互相垂直，从而得到，最后设，在直角三角形中将和表示为的式子，利用三角函数的性质求最值即可求解. 【解析】可以转化为，故直线过定点， 可以转化为，故直线过定点， 由和满足， 所以两条直线互相垂直，可得， 所以，可得， 设为锐角，则，， 所以， 当时，取最大值. 故答案为：. 5．对于直线，现有下列四个命题： ① 无论a如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ② 无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③ 无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④ 当a取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的命题为 （请写出所有的正确命题序号） 【答案】①②④ 【分析】把直线方程化为即可直接判断得到 【解析】解：由题意知：直线， 可以看成由直线向上平移得到， 所以直线必过第一、二、四象限， 故② 正确，③ 错误； 由于是变量，所以平移后得到的是一组平行直线， 故 ④ 正确； 直线的斜率等于-1，所以倾斜角为， 故 ① 正确； 综上：①②④正确． 故答案为：①②④． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    【答案】 【分析】当时，由图形直接求出直线方程得到折痕长度，当时，由点关于直线的对称点得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程，最后结合两点间距离公式和二次函数求出结果； 【解析】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，折痕的长为2． 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得， 故，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 故折痕所在的直线方程为，即， 因为直线的斜率为，所以当时，折痕端点在线段上，在线段上， 如图．当时，折痕所在的直线交于点，交轴于点， 所以， 又因为，所以，所以． 综上所述，折痕长的取值范围为． 故答案为：.    7．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题.可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为 . 【答案】5 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【解析】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 8．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点的坐标（用中的参数表示），结合点E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意，利用投影数量的几何意义可求其范围. 【解析】 由题意以点为原点，所在直线分别为轴，轴， 因为是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足， 所以，即， 设点的坐标为， 所以， 所以点的坐标为， 因为点在直线上面， 所以，即， 所以（这里的是指中的）； 因为向量在向量上的投影向量记为， 所以， 如图，于，过作直线平行于，过作该直线的垂线，垂足为， 当为锐角时，，当且仅当重合时等号成立； 当为直角时，； 当为钝角时，即， 综上，. 【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点坐标，结合三点共线，第二空的关键是将问题转换为方程有解即可顺利得解. 二、单选题 9．在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行关系建立等式，再利用正弦定理边化角，结合二倍角公式推理判断即得. 【解析】依题意，在中，，由正弦定理得， 即，而， 则或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 10．已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由“共轭线对”的定义，结合直线的夹角公式及基本不等式即可求解. 【解析】设直线的斜率为，则直线的斜率为，两直线的夹角为， 则，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 故选：B. 三、解答题 11．在直角坐标平面中，已知直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为. (1)求直线经过的定点的坐标； (2)证明：； (3)是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）直线方程化为，令解方程组即可； （2）法一过点分别向轴和轴作垂线，垂足为、，利用矩形的面积小于三角形的面积即可证明；法二分别求出点坐标，再结合基本不等式求解即可； （3）求出，设存在直线，问题转化为，再利用两直线垂直得到斜率关系，最后求出直线方程即可； 【解析】（1）直线方程化为， 由解得， 所以直线经过的定点. （2） （法一）过点分别向轴和轴作垂线，垂足为、， 则矩形的面积， 而的面积大于矩形的面积，所以. （法二）由题意，得， 令，得，则， 令，得，则， 所以的面积 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的面积. （3）由得， 假设存在直线，使得， 即存在直线，使得， 由同一三角形面积相等可得此时，由得直线斜率， 直线的方程为，即. 12．已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为. (1)当时，求直线的方程； (2)针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得的面积为，结合，得到，分类讨论，即可求解； （2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合的取值和一元二次方程的性质，即可求解. 【解析】（1）解：由题意知，直线的斜率存在，且， 则直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以的面积为； 因为，可得， ①当时，方程化为，解得或1， 此时直线的方程为：或； ②当时，方程化为，此时，方程无解（舍去）， 综上可得，当时，直线的方程为或. （2）解：由，可得方程， ①若时，方程化为，此时， 可得，方程有两正解，即有两条直线； ②若时，方程化为， 当时，，方程无实数根，此时无直线； 当时，，方程有一负根，此时有一条直线； 当时，，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，当时有两条直线；当时有三条直线；当时有四条直线； 所以，当时，集中的元素有2个；当时，集合中的元素有3个；当时，集合中的元素有4个. 13．已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. (1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； (2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得， 得到，进而得到结论. 【解析】（1）    因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以 ， 由 ，解得 ，即 ， 由 ，解得 ，即， 又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即， 因为 ，所以 若时，，， 又因为点为线段中点，所以解得， 所以，，所以，的面积． （2）假设存在满足题意的，使得的值与无关， 由（1）知：， 且， 因此，， 所以， 因为 ，所以当时，为定值， 所以存在实数，使得的值与无关． 【点睛】关键点点睛：（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，求得，， 得到，进而得到结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 两条直线的位置关系 题型1：判断两直线的平行 1．下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 2．“”是“直线与平行”的 条件. 3．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 题型2：判断两直线的垂直 4．已知直线过，且，则直线的斜率为 ． 5．是直线和直线垂直的 条件. 6．直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 题型3：根据两直线的平行求参数 7．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 8．已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则 ． 9．已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数 . 题型4：根据两直线的垂直求参数 10．直线：与：互相垂直，则实数 ． 11．若直线与直线垂直，则实数的值为 . 12．已知的顶点，重心，垂心为，若、都在直线上，则点的坐标为 . 题型5：直线平行、垂直在几何中的应用 13．若直线被直线：与：截得的线段长为，则直线的倾斜角的值为 ． 14．已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 15．已知正数满足，则 . 题型6：直线的交点 16．直线与直线平行，且过直线与的交点，则直线的方程为 . 17．动点在直线上，O为原点，最小时点P的坐标为 . 18．已知的顶点，AB边上的中线所在直线的方程为，若AC边上的高所在直线的方程为，则点B的坐标为 ． 题型7：由方程组解的个数判断直线的位置 19．完成下面的表格 方程组的解 一组 无数组 无解 直线的公共点 直线的的位置关系 20．写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 21．关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 . 题型8：三线能围成三角形的问题 22．已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 23．下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是 . 24．已知，直线：和直线：与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形的面积最小的k值为 ． 题型9：直线交点系方程及应用 25．过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 26．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 27．相交直线系 若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为 . 题型10：直线的夹角 28．两条直线2x+y-2= 0和2x +4y-5= 0的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示） 29．若直线与直线的夹角为，则实数a的值为 . 30．若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值 . 题型11：直线的位置关系的综合应用 31．直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为 . 32．以为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：上找一点C，构成，则的最小周长为 . 33．如图所示，在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为 ． 34．在梯形中，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 ． 35．已知的顶点A、C的坐标分别为、，顶点D在直线上移动，则顶点B的轨迹方程为 ． 36．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 一、填空题 1．在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 . 2．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 3．直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为 . 4．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为 ． 5．对于直线，现有下列四个命题： ① 无论a如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ② 无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③ 无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④ 当a取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的命题为 （请写出所有的正确命题序号） 6．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为 ．    7．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题.可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为 . 8．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ． 二、单选题 9．在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 10．已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 11．在直角坐标平面中，已知直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为. (1)求直线经过的定点的坐标； (2)证明：； (3)是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 12．已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为. (1)当时，求直线的方程； (2)针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数. 13．已知直线l1，l2的方程分别是，点A的坐标为（）.过点A的直线l的斜率为k，且与l1，l2分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）. (1)若，且A为线段MN中点，求实数a的值及的面积； (2)是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$