甘肃省庆阳第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

庆阳二中2024-2025学年度第一学期高一数学第一次月考卷 本试卷命题范围：湘教版必修第一册第一章——第二章 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知集合，，则的非空子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．已知命题，那么是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 5．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 10．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 11．下列命题正确的是（    ） A．命题“对任意，”的否定是“存在，使得” B．“”的充分不必要条件是“” C．设，则“且”是“”的充分不必要条件 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．实数满足，则的取值范围是 . 13．不等式的解集为 . 14．若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）解下列不等式： (1) (2) 16．（15分）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 17．（15分）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 18．（17分）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 19．（17分）已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集. 3 高一数学 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学参考答案 高一数学 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C B D B A AD ABC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】先依次求出集合和，再由子集公式结合非空子集定义即可得解. 【详解】因为， 又，所以， 所以的元素个数为3，其非空子集有个. 故选：A. 2．C 【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可； 【详解】解：命题为全称命题，其否定为， 故选：C 3．A 【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论. 【详解】因为，，则“，，所以， 所以“，”是“”的充分条件； 当，可满足， 所以“，”是“”的不必要条件. 故选：A. 4．C 【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 5．B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如，满足， 但，即，故选项A为假命题； 对于选项B：若，则， 所以，故选项B为真命题； 对于选项C：例如，满足， 但，故选项C为假命题； 对于选项A：例如，满足， 但，即，故选项D为假命题. 故选：B. 6．D 【分析】直接解一元二次不等式即可. 【详解】不等式，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 7．B 【分析】假设命题“”为真命题，可得，由此可得，再求其补集可得结论. 【详解】若命题“”是真命题， 则， 又因为， 所以， 所以若命题“”是假命题，则实数的取值范围是． 故选：B. 8．A 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 9．AD 【分析】根据一元二次不等式的解集可判断是的两个实数根，且，判断A；利用根与系数的关系推出，即可求解以及的解集，判断B，D；由题意推出的解集为，将代入，判断C. 【详解】由题意关于的不等式的解集为， 故是的两个实数根，且，A正确； 由上述可得，即， 故，即，即， 故不等式的解集是，B错误； 由于的解集为， 故的解集为，则时，，C错误； 不等式即，即， 则或，即解集为，D正确， 故选：AD 10．ABC 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 11．BC 【分析】对于A选项，用量词命题的否定可得解；对于B选项，用集合法可以判断；对于C选项，用充分条件和必要条件的定义可以判断，对于D选项，用等价法可以判断. 【详解】对于A选项，命题“对任意，”的否定是“存在，使得”，故A错误； 对于B选项，或，因为⫋或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C选项，充分性：当且时，，则，所以具有充分性， 必要性：令,，但“且”不成立，所以不具有必要性， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，因为“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：BC 12． 【分析】利用待定系数法可得，即可根据不等式的性质求解. 【详解】设， 则解得,所以 因为，所以 ， 可得，即的取值范围为. 故答案为：. 13．或 【分析】将原不等式变形为一元二次不等式组求解即可. 【详解】将不等式变为，即，所以， 解得，所以或，所以不等式解集为或. 故答案为：或 14． 【分析】先求解一元二次不等式得出集合，由题意推得是的真子集,求解不等式组即得. 【详解】由可得，，即， 因“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集, 故有，或，解得：. 故答案为：. 15．(1) (2)或 【详解】（1）原不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. （2）由于，所以， 所以，解得或， 所以的解集为：或. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的性质分类讨论求解即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 因此； （2）因为，所以， 若，则，可得 ； 若，因此有，无解， 所以实数的取值范围为. 17．（1）（2） 【分析】（1）由已知结合基本不等式求出的最小值即可得的最大值. （2）先用配凑法将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值为. （2）因为， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值是． 18．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式的解集为， 当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，即时，不等式可化为， 要使得不等式的解集为， 则满足， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由不等式，可得， 当时，即时，不等式即为，解得，解集为； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为或； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为， 综上可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 19．(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$