专题09实数与勾股定理四种类型（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题09实数与勾股定理四种类型（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01实数与数轴 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为 ； 【例1-3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点P；（保留作图痕迹，不写作法）    【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，中边在数轴上，若，则以点A为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（    ） A．3 B．4 C．3或 D．4或 【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安）如图，已知的直角边在数轴上，其中为个单位长度．为的角平分线，则点所对应数轴上的数是 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）请用尺规在数轴上找到对应的点． 题型02实数与网格 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【例2-2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则等于 °． 【例2-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．在图中以格点E为顶点画一个，使得，，． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D． 【变式2-2】（22-23八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为 ．    【变式2-3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．请你以下图中的格点为顶点画一个面积为的正方形； （2）请在数轴上找出表示的点． 题型03实数与平行图形 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，和都为等边三角形，，且点E为线段上一个点．若，，则 ． 【例3-3】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知四边形中，，，，则点到的距离为（      ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23八年级上·四川内江·期末）如图，四边形中，，，，则 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，在四边形中，，，，，求的度数． 题型04实数与立体图形 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）圆柱高8，底面半径2，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（    ） A．20 B．10 C．14 D．无法确定 【例4-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 【例4-3】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是（   ）．（鱼缸厚度忽略不计） A．130 B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 【变式4-3】（23-24八年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 一、单选题 1．（23-24八年级上·重庆永川·阶段练习）如图，，交于点，若，则的长是（　　）      A．2.4 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中有一个不规则的四边形，则该四边形中边长为无理数的边共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A．8 B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，长方体的长为8，宽为7，高为24，点B位于长方体的上底面前棱上，点B到顶点C的距离为3．一只蚂蚁在长方体的下底面顶点A处，蚂蚁要沿着长方体的外表面从点A爬到点B，爬行的最短距离是（   ） A．17 B．25 C．26 D． 二、填空题 5．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，，则点到边的距离为 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图是正方形网格图，点都是格点，则 ． 三、解答题 8．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）（1）在数轴上作出对应的点，（不写作法，保留作图痕迹） 结论： （2）正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点画一个直角三角形，使三边都为无理数． 结论： 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上表示对应的点A． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点在边上，且，以为腰作等腰直角，且． (1)求证：； (2)求长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09实数与勾股定理四种类型（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01实数与数轴 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，勾股定理求出的长，进而得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点C表示的数为； 故选A． 【例1-2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据点P的位置即可得出结论． 【详解】解：如图，设数轴上表示2的数为点Q， ∵正方形的边长为1， ∴P点表示． 故答案为：． 【例1-3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点P；（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理求出斜边的长为，再根据点P在原点的右侧，即可得到点P． 【详解】解：如图，点P即为所求；    ∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，中边在数轴上，若，则以点A为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（    ） A．3 B．4 C．3或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，掌握勾股定理是解题关键．由数轴可知，，根据勾股定理得到，则点D表示的数与点A距离为5，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， 在中，， 点D表示的数与点A距离为5， 点D表示的数是或， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安）如图，已知的直角边在数轴上，其中为个单位长度．为的角平分线，则点所对应数轴上的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，实数与数轴，过点作于，由勾股定理得，再证明，可得，，即得，设，则，由勾股定理得，解得，设点所对应数轴上的数为，再利用两点间距离公式即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设点所对应数轴上的数为， 则， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）请用尺规在数轴上找到对应的点． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，垂线和线段的尺规作图，，设点B表示的数为3，点O表示的数为0，过点B作的垂线，再以B为圆心，以1为半径画弧交的垂线于C，最后以O为圆心，的长为半径画弧交数轴于P，则点P即为所求． 【详解】解：如图所示，设点B表示的数为3，点O表示的数为0，过点B作的垂线，再以B为圆心，以1为半径画弧交的垂线于C，最后以O为圆心，的长为半径画弧交数轴于P，则点P即为所求． 题型02实数与网格 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据正方形网格（每个小正方形的边长都是1）列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：C． 【例2-2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则等于 °． 【答案】/135度 【分析】延长交网格于格点D，连接，证明是等腰直角三角形，得到，即可得到的度数，此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交网格于格点D，连接， 则，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【例2-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．在图中以格点E为顶点画一个，使得，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的应用，勾股定理的逆定理是解题的关键． 由题意知，，，，则是直角三角形，且，然后作图即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴是直角三角形，且， 画如图， 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积知识，解题的关键是灵活运用所学勾股定理解决问题． 由题意知各点都在网格上，根据三角形勾股定理，然后求出的面积，根据，求出 【详解】解：由题意知： ， 故选：A 【变式2-2】（22-23八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为 ．    【答案】 【分析】由勾股定理求出，再由三角形面积求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴的面积=， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2-3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．请你以下图中的格点为顶点画一个面积为的正方形； （2）请在数轴上找出表示的点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，无理数，解题的关键是能准确识图，能够构造边长为的正方形． （1）画出边长为的正方形即可； （2）以为圆心，为半径作弧交数轴于点即可． 【详解】解：（1）如图，正方形即为所求； 其中，， ∴面积为； （2）如图，点即为所求，其中． 题型03实数与平行图形 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，为上一点．若，的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据的面积为求出，再利用勾股定理求出即可，熟练掌握勾股定理的应用解题的关键． 【详解】∵，，的面积为， ∴，即，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故选：． 【例3-2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，和都为等边三角形，，且点E为线段上一个点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：连接，过点F作于点D，可证得，进而得到，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点F作于点D， ∵和都为等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶． 【例3-3】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知四边形中，，，，则点到的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，连接交于，作交于，可知垂直平分，由勾股定理可得，则，，再结合，即可求解，熟练掌握垂直平分线的判定及性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接交于，作交于， ∵，， ∴垂直平分，则， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3-2】（22-23八年级上·四川内江·期末）如图，四边形中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点，使，连接，可证得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接． ， ∴， ∴， ， ，． 又∵． ， ， 在与中， ， ， ∴． 在中，， 根据勾股定理得． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，在四边形中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理得出，由等腰直角三角形的性质得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，即，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴． 题型04实数与立体图形 【典例分析】 【例4-1】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）圆柱高8，底面半径2，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（    ） A．20 B．10 C．14 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱体展开，如图，则即为所求， 由题意，得：， ∴， ∴要爬行的最短路程为10； 故选B． 【例4-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，， 根据题意，可知，， ∴， ∴装饰带长度的最短值． 故答案为：． 【例4-3】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 【答案】图见解析，蚂蚁爬行的最短路径长为． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，一只壁虎从外表面点A出发，沿长方体表面爬到内侧点E处，点E在棱上且距离上沿（即），壁虎爬行最短路程是（   ）．（鱼缸厚度忽略不计） A．130 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接． 则．的最小值为的长． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式4-2】（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中个线段的长度是解题的关键．根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 一、单选题 1．（23-24八年级上·重庆永川·阶段练习）如图，，交于点，若，则的长是（　　）      A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理、等面积法求线段长，先由勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求出的长即可得到答案，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴在中，，由勾股定理得， ∵， ∴根据三角形的面积得，则， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中有一个不规则的四边形，则该四边形中边长为无理数的边共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，无理数的判断等知识，运用勾股定理求出每条边，再判断即可． 【详解】解：依题意得：，，，， ∴其中，，是无理数，5是有理数， ∴的长都是无理数，共3条， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理中最小路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为，高为， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：D． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，长方体的长为8，宽为7，高为24，点B位于长方体的上底面前棱上，点B到顶点C的距离为3．一只蚂蚁在长方体的下底面顶点A处，蚂蚁要沿着长方体的外表面从点A爬到点B，爬行的最短距离是（   ） A．17 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： ∵长方体的宽为7，高为24，点B离点C的距离是3， ∴ 在直角三角形中，根据勾股定理得： 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为7，高为24，点B离点C的距离是3， ∴ 在直角三角形中，根据勾股定理得： 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为7，高为24，点B离点C的距离是3， ∴ 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∵ ∴蚂蚁爬行的最短距离是26， 故选：C 二、填空题 5．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵点在数轴上对应的点是， ∴点表示的实数是， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，，则点到边的距离为 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，根据，，，求出，根据勾股定理，求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：过点作交于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图是正方形网格图，点都是格点，则 ． 【答案】45 【分析】连接、，根据等腰三角形性质得出，根据平行线的性质得出，证明，说明为直角三角形，，得出，根据平行线的性质得出，得出即可． 【详解】解：连接、如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 三、解答题 8．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）（1）在数轴上作出对应的点，（不写作法，保留作图痕迹） 结论： （2）正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点画一个直角三角形，使三边都为无理数． 结论： 【答案】（1）图见详解（答案不唯一）（2）图见详解（答案不唯一） 【分析】（1）过在数轴为2的点作垂线，以数2为圆心，2为半径画圆，与垂线交于A和B点，记原点为O，连接，以为半径画弧，交数轴于点C，结合勾股定理列式，即，据此即可作答． （2）先根据勾股定理算出，因为，所以是直角三角形，则，，这三边都是无理数，即可作答． 本题考查了实数与数轴，勾股定理与勾股逆定理，无理数的定义， 【详解】解：（1）在数轴上作出对应的点，即点C如图所示： ； （2）直角三角形如图所示： 则， ∵， ∴是直角三角形， 则，这三边都是无理数， 即图中直角三角形满足题意（答案不唯一）． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上表示对应的点A． 【答案】见解析 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理与无理数，作出长度的线段是解题关键．在区间的上方作一个直角边长分别为1、2的直角，利用勾股定理，得出，以O为圆心，长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A所求作． 【详解】解：如下图，在区间的上方作一个直角边长分别为1、2的直角， 由勾股定理得：， 以O为圆心，长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A． ∴， 故点A就是数轴上作出的对应的点． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，点在边上，且，以为腰作等腰直角，且． (1)求证：； (2)求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明： ， ，且，， ． （2）解：，， ，， ∵ ， ， ，， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$