2.6.2 圆与圆的位置关系（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.6.2 圆与圆的位置关系 2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.理解圆与圆的五种位置关系（重点） 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（重点、难点） 3.体会和理解解析法解决几何问题的数学思（难点） 观察这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间的位置关系. 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，本节课我们类比之前的研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 情景导入 设两圆的半径分别是r1，r2（不妨设r1 ≥ r2），两圆圆心的距离为d，则两圆有如下位置关系（图2.6-5）： 新知探究 （1）d>r1＋r2，两圆外离，无公共点（如图（1））； （2）d=r1＋r2，两圆外切，一个公共点（如图（2））； （3）r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交，两个公共点（如图（3））； （4）d=r1－r2>0，两圆内切，一个公共点（如图（4））； （5）d<r1－r2，大圆内含小圆，无公共点（如图 （5））； （6）d=0，两圆同心（当r1=r2时，两圆重合）． 5 给出了两圆的方程之后，就知道了两圆的半径r1，r2及圆心坐标，并可根据圆心坐标算出两圆心之间的距离 d，进而由 d 的大小就可以判断两圆具有上述哪种位置关系． 和通过代数法判断直线与圆的位置关系一样，将两圆的方程联立，得方程组，消元，得到关于x或y的一元二次方程，通过判断∆的符号确定一元二次方程解的个数，即方程组解的个数．通过解的个数判断圆与圆的位置关系． 圆与圆相交； 有两个公共点 （1）∆>0 只有一个公共点 圆与圆相切（外切、内切）； （2）∆=0 没有公共点 圆与圆相离（外离、内含）． （3）∆<0 用代数法运算太过繁琐，而且在∆=0时只能判断两圆相切，还得说明内切或外切；同样在∆<0时，得说明两圆外离或内含． 故判断两圆的位置关系通常用几何法． 6 解：把圆C1的方程化成标准方程，得 (x－1)²＋y² = 4． 圆C1的圆心是C1(1，0)，半径r1=2． 把圆C2的方程化成标准方程，得 (x－2)²＋(y＋1)² = 2． 圆C2的圆心是点C2(2，－1)， 所以两圆心之间的距离 从而r1－r2 < d < r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点（如图）． 例5 判断圆C1∶x²＋y²－2x－3=0与圆C2∶x²＋y²－4x＋2y＋3=0的位置关系． 课本例题 7 解：将圆C1的方程化成标准方程，得 (x－2)²＋y² = 20． 则圆C1的圆心是C1(2，0)， 将圆C2的方程化成标准方程，得 x²＋(y＋1)² = 5． 则圆C2的圆心是点C2(0，－1)， 所以两圆心之间的距离 从而d = r1－r2 ，所以圆C1与圆C2内切（如图）． 例6 证明圆C1∶x²＋y²－4x－16=0与圆C2∶x²＋y²＋2y－4=0内切，并求出它们的公切线方程． 课本例题 8 例6 证明圆C1∶x²＋y²－4x－16=0与圆C2∶x²＋y²＋2y－4=0内切，并求出它们的公切线方程． 两圆相切时，两圆心和切点共线，且连线垂直于切线． 课本例题 9 例6 证明圆C1∶x²＋y²－4x－16=0与圆C2∶x²＋y²＋2y－4=0内切，并求出它们的公切线方程． 思考：最后求出的切线方程不就是(3)式吗? (3)式后面的运算是否都可以省去? 分析：两内切圆的公切线，应满足： （1）过切点；（2）与两圆心所在的直线垂直 课本例题 10 11 例7 已知圆C1∶x²＋y²＋x＋2y－3=0与圆C2∶x²＋y²－6=0相交，求经过圆C1和圆C2的两个交点的直线方程． (1)－(2)，得 x＋2y＋3=0． (3) 这是一个二元一次方程，它的图象是一条直线． 两圆的交点A，B的坐标同时满足方程(1) 和(2) ，因此也满足方程(3)， 也就是说，这两个交点都在直线 x＋2y＋3=0上． 因此，x＋2y＋3=0就是经过两圆交点A，B的直线方程． 若两圆相交，则把两圆的标准方程或一般方程相减，得到的关于x、y的二元一次方程即为两相交圆的公共弦所在的直线的方程． 课本例题 12 错因分析 易错辨析　忘记求相交两圆的公共弦方程的前提致错． 过两圆C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交点所在的直线的方程为(　　) A．x－y＋11＝0 B．x－y－11＝0 C．x＋y＋11＝0 D．不存在 D 错因分析 易错警示：忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得x－y＋11＝0，错选A. 纠错心得：只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论．今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定 　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 题型1　两圆位置关系的判定 典例剖析 1．几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程； (2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2； (3)求两圆的圆心距d； (4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系． 2．代数法判断圆与圆的位置关系的注意点 (1)由Δ＝0得两圆相切，但无法区分内切或外切． (2)由Δ<0得两圆相离，但无法区分内含或外离． 归纳总结 　(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m的值可以是 (　　) A．16 B．7 C．－4 D．－7 题型2　与两圆相切有关的问题 典例剖析 探究一　已知两圆相切求变量范围 AC 典例剖析 题型2　与两圆相切有关的问题 探究二　两圆的公切线问题 B BCD 　已知直线l：y＋2＝0和圆C：x2＋y2－2y＝0，动圆M与l相切，且与C内切．当M的圆心距直线g：x－y－2＝0最近时，求M的方程． 　 典例剖析 题型3 与两圆都相切的轨迹问题 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． 归纳总结 已知⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交．若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由． 典例剖析 　题型4　与两圆相交有关的问题 归纳总结 1．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 2．两圆相交时，过交点的直线或圆的方程的求法 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，其中λ为任意实数．当两圆C1，C2相交时． ①若λ＝－1，则方程表示过两圆C1，C2的交点的直线； ②若λ≠－1，则方程表示过两圆C1，C2的交点的圆系方程(但方程所表示的圆不包括圆C2，圆系中的一切圆都和C1，C2相交)． 分层练习-基础 1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 B C 26 分层练习-基础 3．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C C 27 分层练习-基础 5．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦长的最大值为________． 6．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a等于________． 7．若曲线C1：x2＋y2＝5与曲线C2：x2＋y2－2mx＋m2－20＝0(m∈R)相交于A，B两点，且两曲线在A处的切线互相垂直，则m的值是________． 8．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________． 2 ±1 ±5 x＋y－3＝0 28 分层练习-巩固 29 分层练习-巩固 分层练习-巩固 10．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程． 分层练习-巩固 分层练习-拓展 11．如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为C，D．圆M与圆N外切． (1)求圆M和圆N的方程； (2)过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 分层练习-拓展 分层练习-拓展 位置关系 图示 几何法 代数法 外离 d > r1＋r2 ∆<0（无实数解） 外切 d = r1＋r2 ∆=0（一组实数解） 相交 |r1－r2| < d < r1＋r2 ∆>0（两组实数解） 内切 d = |r1－r2| ∆=0（一组实数解） 内含 d < |r1－r2| ∆<0（无实数解） 课堂小结 36 解析：由题意得C1(1,1)，R1＝1， C2(2,0)，R2＝5 ∴|C1C2|＝eq \r(2)＜R2－R1， ∴两圆内含 ∴过两圆交点的直线不存在．故选D. 解：将两圆的一般方程化为标准方程，得 C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝eq \r(50－k)(k<50)． 从而|C1C2|＝eq \r(－2－12＋3－72)＝5. 当1＋eq \r(50－k)＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|eq \r(50－k)－1|＝5，eq \r(50－k)＝6，k＝14时，两圆内切． 当|r2－r1|<|C1C2|<r2＋r1，即14<k<34时，两圆相交． 当1＋eq \r(50－k)<5，即34<k<50时，两圆外离． 当|eq \r(50－k)－1|>5，即k<14时，两圆内含． 【解析】由题意，圆C2可化简为(x－4)2＋(y＋4)2＝32－m(m<32)， 所以圆C2的圆心坐标C2(4，－4)，半径r2＝eq \r(32－m)(m<32)． 圆C1的圆心坐标C1(1,0)，半径r1＝1.所以C1C2＝eq \r(1－42＋0＋42)＝5. 所以5＝1＋eq \r(32－m)或5＝|1－eq \r(32－m)|，解得m＝16或－4. 　(1)已知圆O1：(x－m)2＋(y－2)2＝4与圆O2：(x＋2)2＋(y＋2m)2＝9 有3条公切线，则m＝(　　) A．－1 B．1或－eq \f(17,5) C．－eq \f(17,5) D．－1或eq \f(17,5) 【解析】(1)由题意，圆O1与圆O2外切，所以|O1O2|＝2＋3＝5，即eq \r(m＋22＋2＋2m2)＝5，解得m＝1或m＝－eq \f(17,5). A．曲线W与x轴围成的面积等于2π B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点) C． eq \o\ac(CB,\s\up20(︵)) 所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1 D． eq \o\ac(CB,\s\up20(︵)) 与 eq \o\ac(BA,\s\up20(︵)) 的公切线方程为x＋y＝eq \r(2)＋1 (2)(多选)如图A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)， eq \o\ac(CD,\s\up20(︵)) 是以OD为直径的圆上一段圆弧， eq \o\ac(CB,\s\up20(︵)) 是以BC为直径的圆上一段圆弧， eq \o\ac(BA,\s\up20(︵)) 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是 (　　) (2)如图，连接BC，过点C作CK⊥x轴于点K，BL⊥x轴于点L，则面积S＝π＋2，故A错误；曲线W上有A，B，C，D，M5个整点，故B正确； eq \o\ac(CB,\s\up20(︵)) 所在圆圆心为(0,1)，半径为1，故圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，C正确； 设 eq \o\ac(CB,\s\up20(︵)) 与 eq \o\ac(BA,\s\up20(︵)) 的公切线方程为y＝kx＋b，根据图象知k＜0，则eq \f(|k＋b|,\r(1＋k2))＝1，eq \f(|b－1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－1，b＝eq \r(2)＋1，即x＋y＝eq \r(2)＋1，D正确． 解：设圆M的圆心为M(x0，y0)，半径为r. 依题意有|MC|＝eq \r(x\o\al(2,0)＋y0－12)＝|y0＋2|－1(y0>－2)， 即|MC|＝eq \r(x\o\al(2,0)＋y0－12)＝y0＋1(y0≥－1)，故xeq \o\al(2,0)＝4y0. 设M(x0，y0)到直线g的距离为d， 则d＝eq \f(|x0－y0－2|,\r(2))，即d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(x\o\al(2,0),4)＋x0－2)),\r(2))， 即d＝eq \f(1,\r(2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x\o\al(2,0)－x0＋2))＝eq \f(\r(2),2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x0－22＋1))， 当且仅当x0＝2时，d最小． 此时由r＝|y0＋2|，得r＝3. ∴所求圆M的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝9. 解：由已知得⊙A的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝9， ⊙B的方程可化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 所以两圆心之间的距离为eq \r(1＋12＋1＋12)＝2eq \r(2)，满足3－2＜2eq \r(2)＜5，所以两圆相交． ⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减，得－4x－4y－5＝0， 即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程． 设两交点分别为C，D，则CD：4x＋4y＋5＝0.点A到直线CD的距离为d＝eq \f(|4×1＋4×1＋5|,\r(42＋42))＝eq \f(13,8) eq \r(2)， 由勾股定理，得|CD|＝2eq \r(r\o\al(2,A)－d2)＝2eq \r(32－\f(169,32)＝) eq \f(\r(238),4). 4．(2021年九江模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为(　　) A． B． C．2 D．2 9．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程． 解：设圆O1，O2的半径分别为r1，r2. (1)由两圆外切可知|O1O2|＝r1＋r2， 所以r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8， 两圆的方程相减并整理， 即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0. (2)圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r， 因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4， 两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r－8＝0. 作O1H⊥AB，则AH＝AB＝， 所以O1H＝＝. 由圆心(0，－1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为＝， 得r＝4或r＝20， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 解：方法一，由 两式相减，得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0. 联立 解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)． 因为所求圆以公共弦为直径， 所以圆心C是公共弦的中点(2，－2)， 半径为＝5. 所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25. 方法二，由方法一可知公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0. 设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ为参数)． 可求得圆心C. 因为圆心C在公共弦所在直线上， 所以4·＋3·－2＝0， 解得λ＝. 所以圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0. 解：(1)由于圆M与∠BOA的两边相切， 故M到OA及OB的距离均为圆M的半径， 则M在∠BOA的平分线上． 同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线． 因为M的坐标为M(，1)， 所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1. 所以圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1. 设圆N的半径为r，由Rt△OAM∽Rt△OCN， 得OM∶ON＝MA∶NC， 即＝，解得r＝3，OC＝3. 所以圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9. (2)由对称性可知，所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长， 此弦所在直线方程为y＝(x－)， 即x－y－＝0， 圆心N到该直线的距离为d＝＝， 则弦长＝2＝. $$