2.6.2圆与圆的位置关系 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“圆与圆的位置关系”核心知识点，通过日环食天文情景引入，类比直线与圆位置关系的学习经验，引导学生从生活抽象几何问题，构建知识迁移支架。 以直观想象为起点，通过小组讨论探究两圆位置关系的数量判定，结合典型例题（如公共弦方程求解）与变式练习（逆向求参数），培养逻辑推理与数学运算能力，思维导图总结梳理知识体系，提升学生问题解决能力，助力教师高效教学。

2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系 第2课时 教学设计 一、内容分析 图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数方法，通过运算求解，得到图形的性质；也可以综合使用几何方法、代数方法，得到图形的性质. 本课时教学，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比直线和圆的位置关系，研究圆与圆的位置关系． 结合以上分析，确定本节课的教学重点：运用圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 二、教学目的 1.能通过圆的方程得到圆心坐标和半径长，比较圆心距和两半径和差大小来判断两圆相交、外切、内切、外离、内含的关系． 2.知道两圆相交时，两个圆的方程消去二次项后得到的二元一次方程的几何意义，能求两圆公切线或公共弦所在直线的方程． 三、重点难点 重点：运用圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 难点：求两圆公切线或公共弦所在直线的方程. 四、核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、○数学抽象、●逻辑推理、○数学建模． 五、教学准备 课件. 六、教学流程 情景引入 -> 新知探索-> 典型剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 （一） 情景引入 情景问题：在某地拍到的日环食过程如图所示,可以用两个圆来表示日环食的变化过程. 1. 开始语：今年的6月10日，发生了今年唯一一次日环食，同学们还记得当时的情景吗？我们来看这幅照片. 2. 将太阳和月亮用圆形抽象代替，引导学生交流讨论，两个圆之间的位置关系. 1.天文情景激发学习兴趣. 2.从生活中抽象出数学的几何问题，引导学生思考圆与圆的位置关系 3分钟 （二）新知探索 1.圆与圆的位置关系 问题：根据情景图,结合平面几何知识,圆与圆的位置关系有几种? 回答：5种,即外离、外切、相交、内切、内含. 两圆有两个公共点，它们相交；两圆只有一个公共点，它们相切，包括外切和内切；两圆没有公共点，它们相离，包括外离和内含. 让学生初步体会直观学习与迁移学习，由于学了直线与圆的位置关系，学生可能只会回答相离和相切，所以教师在此处应该帮助学生区分外离和内含、外切和内切. 3 分钟 2. 圆与圆的位置关系的判定 问题：影响圆与圆的位置关系的数量因素是什么? 回答：两圆的半径和与差与圆心距之间的大小关系. 若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如表： 位置关系 图示 d与r1、r2的关系 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d＜|r1－r2| 利用公共点个数判断圆与圆的位置关系时会有局限性，引导学生思考更好的方法. 1.老师带领学生思考外离时d与r1、r2的关系，随后由学生小组讨论得出后面四种情况的d与r1、r2的关系. 2.小结：给出了两圆的方程之后，就知道了两圆的半径r1、r2及圆心坐标，并可根据圆心坐标算出两圆心之间的距离d，进而由d的大小就可以判断两圆具有上述哪种位置关系. 让学生初步体会用公共点个数只能判断两圆相交、相切或相离，对于只有一个公共点（没有公共点）的情况无法具体判定外切还是内切（外离还是内含）.所以有局限性.培养学生遇到困难学会想办法解决问题的精神.让学生学会举一反三，学会类比推理. 7 分钟 （三） 典例剖析 例1．判断圆C1：x2+y2-2x-3=0 与圆C2:x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系. 例2．证明圆C1：x2+y2-4x-16=0 与圆C2:x2+y2+2y-4=0内切，并求它们的公切线方程. 例3．已知圆C1：x2+y2+x+2y-3=0 与圆C2:x2+y2-6=0相交，求经过圆C1与圆C2的两个交点的直线方程. 1. 给出例1，引导学生利用所学新知解决问题. 2. 给出例2，加强学生对新知的巩固，引导学生思考联立方程后得到一个公共解即为所求直线的一定点，再利用垂直关系求出直线的倾斜角. 3. 给出例3，引导思考：联立后的二元一次方程，它的图象是一条直线，是否即为所求直线方程？ 例1与例2帮助掌握运用圆的方程判断圆与圆的位置关系的方法.且例2引导学生学会求公切线 例3引导学生学会求公共弦所在直线方程. 15 分钟 （四）练习巩固 练习1.判断圆C1：x2+y2+2x-6y +1=0 与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0的位置关系. 变式：求经过圆C1与圆C2的两个交点的直线方程. 练习2. 求a为何值时，两圆x2+y2-2ax+4y +a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0 （1）外切；（2）内切 . 依次给出练习1、练习2，学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案. 利用授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点. 练习1强化学生运用圆的方程判断圆与圆的位置关系，求公共弦所在直线方程. 练习2拓展逆向思维，已知位置关系反过来求参数的值. 10分钟 （五）归纳小结 本节课学习了一些什么？ 使用思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟 八、板书设计 大致板书如下： 1.圆与圆的位置关系 外离、外切、相交、内切、内含. 2. 圆与圆的位置关系的判定 （表格） 例1解： 例2解： 例3解： 学科网（北京）股份有限公司 $