精品解析：新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的不等式的解集是，那么（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知的周长为2，面积为S，则（ ） A. S的最小值为 B. S的最小值为 C. S的最大值为 D. S的最大值为 8. 已知函数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为8 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 的最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 曲线关于直线轴对称 D. 当时，函数有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________． 13. 已知，函数在上单调递增，则的最大值为________. 14. 若直线与曲线有个交点，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求. 16. 已知数列的首项为，且满足． （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 18. 已知等比数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前n项和； （3）若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 19. 定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数. （1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数； （2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围； （3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再由对数函数定义可得集合，即可求得结果. 【详解】解不等式可得， 由对数函数定义域可得, 所以可得. 故选：C 2. 关于x的不等式的解集是，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理求出，再代入计算即得. 【详解】依题意，，解得，所以. 故选：A 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，，，所以． 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可知为钝角，从而，，，于是先计算，再开方即可． 【详解】，， ，而， ，为钝角，， ， ． 故选：C． 5. 已知等比数列的公比不为1，且，，成等差数列，则数列的公比为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式列方程求公比. 【详解】设等比数列的公比为q，且， 由，，成等差数列，得， 整理得，则. 故选：A 6. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】，则，整理得， 而向量均为非零向量，则反向共线且，有； 反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知的周长为2，面积为S，则（ ） A. S的最小值为 B. S的最小值为 C. S的最大值为 D. S的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合直角三角形的面积公式，即可求解. 【详解】设为的直角边，c为斜边， 则，可得，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，解得或， 因为，且，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 则，，当且仅当时，等号成立， 即S的最大值为. 故选：D. 8. 已知函数满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，利用累加法及等比数列的求和公式可得，进而代值求解即可. 【详解】由，， 所以，，，， 上述式子累加可得， ， 则，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为8 D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的乘法求出，再逐项计算判断即得. 【详解】依题意，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，的虚部为8，C正确； 对于D，在复平面内对应的点位于第一象限，D正确. 故选：ACD 10. 如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算、三点共线推论、数量积运算及几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； 设，则，因为A，O，C三点共线， 所以，解得，B正确； 由，，可得，结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 易知当点N位于点B时，取得最小值， 最小值为，C错误； 当点N为位于点C时，取得最大值， 最大值为，D正确． 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 曲线关于直线轴对称 D. 当时，函数有个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】化简函数解析式，结合函数的周期性与对称性可判断各选项，根据函数零点的定义可解得，数形结合即可得解. 【详解】， 当时，取得最大值，且最大值为，A选项错误； 因为，的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B选项正确； 因为，所以曲线关于直线轴对称，C选项正确； 令，得，则， 结合函数的图象，可知方程在上有个不同的实根，D选项错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先写出命题“，”的否定，由题可知其为真命题，然后利用的范围求得的范围即可. 【详解】由题意得“，”是真命题，故， 因为，所以m的取值范围是． 故答案为： 13. 已知，函数在上单调递增，则的最大值为________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题意得，问题转化成函数在上单调递增，接着由正弦函数性质可得，解该不等式组即可得解. 【详解】因为，所以， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 而，，所以由正弦函数性质得， 解得，则的最大值为. 故答案为：. 14. 若直线与曲线有个交点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，分析可知函数在上有个零点，且，对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】解：令，由题意可知，函数在上有个零点，且， 且，令，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，分以下几种情况讨论： （1）当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 此时，函数在上单调递增，则函数只有个零点，不合乎题意； （2）当时，且当时，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则， 此时，函数在上没有零点， 当时，， 由（1）知，在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，此时，函数单调递减，则， 当时，，此时，函数单调递增，则函数在上至多个零点， 从而可知，当时，函数在上至多个零点，不合乎题意； （3）当时，， 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得， 且当时，，则函数在上单调递减， 则当时，， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，所以，存在，使得， 此时，函数在上有唯一零点， 因为函数在上单调递减，， 当， 令，， 令，其中，则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 因为，，， 所以，存在，使得，可得， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 所以，， 因为函数在上单调递减，则， 即， 故当时，，即， 即存在，使得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时，，且， 因为， 所以，存在，使得， 此时，函数在上也存在唯一零点， 故当时，函数在上有且只有个零点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换分析求解； （2）根据题意利用余弦定理解得，，即可求. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 因为，即， 由余弦定理可得，即， 整理可得，， 所以. 16. 已知数列的首项为，且满足． （1）证明数列为等差数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件中的递推关系式，结合等差数列的定义，即可证明，并求通项公式； （2）根据（1）的结果，可知，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由，，得，则， 于是， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 故，所以, 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）运用导数的几何意义，结合直线的点斜式即可；（2求导后，分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 . ①当时，由，得或. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减. 若，则，为R上的增函数. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减 ②当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递减，在上单调递增. 18. 已知等比数列的前n项和为，，. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前n项和； （3）若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式； （2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求； （3）等比数列前n项和得，且能成立，讨论n的奇偶性，结合的单调性求参数范围. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1），得，则， 当n为偶数时，令，则， 当n为奇数时，. 所以. 【小问3详解】 由（1），知， 存在正整数n，使得成立. 当n为偶数时，，， 由，得. 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以. 当n为奇数时，，， 由，得. 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为， 所以. 综上，m的取值范围是. 19. 定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数. （1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数； （2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围； （3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：） 【答案】（1）由，， 得，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 因为为二次函数，且，所以的对称轴为， 设， 要使“”为三角形函数，只要， 取，则， ，满足， 则，即成立. 故若，取，可使得“”为三角形函数. （答案不唯一，参考函数，写出任意一个满足题意的都可以） （2） （3）证明:，. 由（1）知，， 则任意，； 下面证明. 由，， 则， 令， 则，所以在上单调递减. 又，由参考数据可知，， 则存在唯一的实数，使，即(). 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故， 由()式可知， 则， 令， 则， 所以在单调递增， 故. 即. 所以成立，即. 故“”为三角形函数，命题得证. 【解析】 【分析】（1）由定义中的任意性，将条件不等式转化为.求，构造二次函数，使即可； （2）按与的大小分类讨论，求解函数的值域，再结合定义建立关于的不等式求解可得； （3）利用（1）结论得，转化命题证明，构造函数，设出隐零点探求零点范围，证明即，将零点满足关系式代回化简换元，再构造新函数，证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ①当时，， 则任意，故“”为三角形函数. ②当时，由， 则，； 要使“”为三角形函数， 由，解得， 则有， 所以； ③当时，则， 要使“”为三角形函数，由，解得， 则有， 所以； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $