第2章 2.4 点到直线的距离（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学课件围绕“点到直线的距离”展开，系统梳理两点间距离、点到直线距离、两条平行直线间距离公式，通过知识辨析衔接前后知识，构建从基础公式到应用的学习支架。 其亮点在于以知识辨析培养推理意识，结合正方形、三角形典例发展几何直观，最值问题转化体现模型意识。采用问题引导与实例解析，助力学生深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

　　平面内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式为|AB|= . 2.4 点到直线的距离 必备知识 清单破 知识点 1 两点间的距离 知识点 2 点到直线的距离 　　点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d= . 知识点 3 两条平行直线间的距离 　　两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d= . 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.点P1(0,a),P2(0,b)间的距离是a-b吗? 2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离是 吗? 3.直线外一点与直线上任一点间的距离的最小值是点到直线的距离吗? 4.两平行直线间的距离是连接两条平行直线上任意两点间的距离吗? 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不是.应该是|a-b|. 2.不是.直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 . 3.是.由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短,知结论成立. 4.不是.两平行直线间的距离是两平行直线间公垂线段的长. 第1讲　描述运动的基本概念 　　利用点到直线的距离公式时,一般先分析确定相应的点和直线,再利用公式计算求解.当 所给条件不能明显确定所需的点和直线时,可考虑待定系数法,有时要结合几何图形的直观 性,综合分析解决问题. 关键能力 定点破 定点 1 点到直线的距离公式的应用 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知某正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在直线l的方程为x +3y-5=0,求: (1)正方形的面积; (2)正方形其他三边所在直线的方程. 思路点拨    (1)利用正方形的中心到一边的距离为边长的一半求解. (2)根据所求的三边中有一边所在直线与直线l平行,另两边所在直线与直线l垂直,并结合正方 形的中心到四条边的距离相等求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由 得正方形的中心的坐标为(-1,0),∵点(-1,0)到直线x+3y-5=0的距离 为 = ,∴正方形的边长为 , ∴正方形的面积为 = . (2)设与直线l:x+3y-5=0平行的边所在直线的方程为l1:x+3y+C=0(C≠-5). 由点(-1,0)到两直线l,l1的距离相等, 得 = ,解得C=7或C=-5(舍去), ∴l1:x+3y+7=0. 又∵正方形另两边所在直线均与l垂直, ∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b). 第1讲　描述运动的基本概念 ∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等, ∴ = = , 解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. 综上,正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 定点 2 平行线间的距离公式的应用 1.两条平行直线间的距离的求法 (1)直接利用公式求解. (2)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直 线的距离. 2.两条平行直线间的距离的应用 　　已知两平行直线间的距离及其中一条直线的方程求另一条直线的方程,一般先设出直线 方程,再利用两平行直线间的距离公式求解.也可以把两平行直线间的距离问题转化为一条 直线上任意一点到另一条直线的距离问题,然后利用点到直线的距离公式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)直线l1:3x+4y-5=0关于l:3x+4y+1=0的对称直线l2的方程为　　　　　    ; (2)已知△ABC的顶点A,B在直线l1:2x-y+3=0上,顶点C在直线l2:2x-y-1=0上.若△ABC的面积为 2,则边AB的长为　　　    . 思路点拨    (1)l1关于和它平行的直线l对称的直线l2满足条件:①l1∥l2;②l1,l2与直线l间的距离 相等. (2)因为直线l1与l2平行,所以直线l1与l2之间的距离与以边AB为底时三角形的高相等,利用三角 形面积公式可得边AB的长. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5且d≠1),由题意知l1与l之间的距离等于l2与l之间的距 离,则 = ,解得d=7或d=-5(舍去).故直线l2的方程为3x+4y+7=0. (2)由直线l1:2x-y+3=0,直线l2:2x-y-1=0,可知l1∥l2,所以l1与l2之间的距离d= = ,根 据三角形的面积公式,得 × ×|AB|=2,解得|AB|= . 答案    (1)3x+4y+7=0     (2)  第1讲　描述运动的基本概念 与距离有关的最值问题的解题策略 (1)利用对称将其转化为两点之间的距离问题. (2)利用所求式子的几何意义将其转化为点到直线的距离问题. 　　一般地,形如 的式子可视为点(x,y)与点(a,b)之间的距离,所以解决相关 的最值问题时,可应用数形结合思想,借助两点间的距离公式,将其转化为点到直线的距离或 两平行线之间的距离. (3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值. 定点 3 与距离有关的最值问题 第1讲　描述运动的基本概念 典例 (1)已知m,n,a,b∈R,且3m+4n=6,3a+4b=1,则 的最小值为 (　    ) A. 　　　　    B. 　　　　    C.1　　　　    D.  (2)已知实数x,y满足2x+y+3=0,则 的最小值为　　　    . 解析    (1)设P(m,n),Q(a,b),则|PQ|= . 依题意,P,Q两点分别在直线l1:3x+4y-6=0与l2:3x+4y-1=0上, 则直线l1与l2平行,所以|PQ|的最小值就是两平行直线间的距离d,又因为d= =1, 所以 的最小值为1. (2) = ,设N(x,y),A(-1,0),则 表示点N与点A之间的距离, 又点N(x,y)在直线l:2x+y+3=0上,所以 的最小值即为点A到直线l的距离d,又d=  = ,故 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 答案    (1)C    (2)  第1讲　描述运动的基本概念 $