精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高一上学期第一阶段检测（10月）数学试题

2024~2025学年建平中学高一第一阶段检测试卷 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦、计算器等参加考试，考试中途不得传借文具，计算器，草稿纸 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.请直接将答案写在原卷上，保持字迹清晰 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 方程组的解集为______ 2. ，则_______ 3. 已知集合，，那么______. 4. 已知方程的两根都大于1，则的取值范围为_______ 5. 若，则下列结论中正确的序号是________ （1） （2） （3） （4） 6. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 7. 设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______. 8. 设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个． 9. 已知集合，，，若，则的取值范围为___________ 10. 设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则______. 11. 集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算______________________________. 12. 若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为____ 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 是成立的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（ ） A. B. C. D. 15. 若非空集合，，则使得成立的所有的集合是 A. B. C. D. 16. 已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（ ） （1），（2），（3） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知集合，非空集合 （1）若，求：的取值集合 （2）若是的必要条件，求：的取值集合 18. （1）已知，，，求的值 （2）设（都是不为1的正数，），求：的充要条件 19. 在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合 问题②：设，若，求证：和至少有一个数是奇数 （1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出M集合的等价变形 （2）小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明 20. 已知实数，满足. （1）求证：中至少有一个实数不小于1； （2）设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年建平中学高一第一阶段检测试卷 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦、计算器等参加考试，考试中途不得传借文具，计算器，草稿纸 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.请直接将答案写在原卷上，保持字迹清晰 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 方程组的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】解二元一次方程组即可得解集. 【详解】由，解得，所以解集为. 故答案为： 2. ，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数函数值的图象性质，确定集合的交集即可. 【详解】对于函数与函数的相同， 则函数图象表示的直线平行且不重合，所以两个图象没有交集； 故. 故答案为：. 3. 已知集合，，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式性质可得集合，进而可求解. 【详解】由得，故， 故，∴. 故答案为：. 4. 已知方程的两根都大于1，则的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两根为，，由题意可得判别式非负，且，，再由韦达定理和不等式的解法，可得所求范围． 【详解】设方程的两根为，， 则，， 由题意可得， 等价为，即为，解得， 则的取值范围为. 故答案为：． 5. 若，则下列结论中正确的序号是________ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断即可. 【详解】因为，所以， 则，，，，故（1）（2）（3）正确，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）. 6. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分化简得，有分母恒正得，利用二次不等式恒正的条件 可得答案. 【详解】由移项通分得恒成立， ， 恒成立， 只需，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点晴】（1）化简分式不等式时应采用移项通分的方法，不可直接不等式两边乘以一个式子化为整式不等式（当分母恒正或恒负时除外）； （2）二次不等式恒正的条件是：，恒负的条件是：. 7. 设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据、是关于的方程的两个实数根，由，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就. 【详解】因为、是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 则= 所以的最小值为0， 故答案为：0 8. 设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个． 【答案】7 【解析】 【分析】 根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解. 【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”， 则集合中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，，，，共7个． 故答案为：7. 【点睛】本题主要考查集合的新定义的应用，其中解答中正确理解新定义，合理转化求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 9. 已知集合，，，若，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】结合题意可得，，进而结合包含关系分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当时，要使， 则，即； 当时，， 要使，则，解得.‘ 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 10. 设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，将原方程变为，结合题意以及根与系数的关系，列式求解，即得答案. 【详解】设，原方程变为， 设此方程有实根，， 则原方程的四个实根为，， 由于它们在数轴上等距排列， 即①，又，， 由此求得，满足，∴， 故答案为： 11. 集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算______________________________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题设条件，，，，，的大小关系，根据集合运算新定义求即可. 【详解】因为， 所以，，， ， 故或. 故答案为：或. 12. 若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为____ 【答案】 【解析】 【分析】若，此时，为的根，再分和两种情况，求出相应的， 得到两个三元数对，若，即，此时为的根，同理可得到两个三元数对，得到答案. 【详解】由题意得为方程的一个解， 是的一个解， 若，即，此时为的根， 故是的根，将代入得①， 若②， 式子①②联立得，此时中也只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，则是的另一个根， 故③， 式子①③联立得，此时中也只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，即，此时为的根， 故为的根，即④， 若⑤， 式子④⑤联立得，此时中只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，则是的另一个根， 故⑥， 式子④⑥联立得，此时中只有两个元素， 故一个三元数对为， 故答案为： 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 是成立的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】先判断充分性：由， 得， 则，即； 再判断必要性，若， 则. 所以是成立的充要条件. 故选：A. 14. 能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 15. 若非空集合，，则使得成立的所有的集合是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，再根据子集的定义，结合题设范围进行求解即可 【详解】由可知，又由得，解得， 故选B. 【点睛】本题考查根据子集的条件求解参数问题，将转化为这一步至关重要，由于题中明确了集合非空，降低了难度，若没这一条件，则应讨论集合为空集的情况 16. 已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（ ） （1），（2），（3） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知集合，非空集合 （1）若，求：的取值集合 （2）若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【小问1详解】 化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. 【小问2详解】 若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 18. （1）已知，，，求的值 （2）设（都是不为1的正数，），求：的充要条件 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质、对数换底公式变换给定等式，联立求出即可计算得解. （2）令，利用指数、对数的互化关系，结合对数运算法则求出充要条件. 【详解】（1）由，得， 则，于是， 整理得，即，解得，即， 所以. （2）令，依题意，且，则， 于是，， 所以的充要条件是. 19. 在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合 问题②：设，若，求证：和至少有一个数是奇数 （1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出M集合的等价变形 （2）小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明 【答案】（1），在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件，因此等价于 （2）证明:反证法： 假设中都是偶数， 则，其中， 两式相加得，即， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 【解析】 【分析】（1）根据充分条件的定义可得，结合集合间的包含关系计算即可求解； （2）利用反证法直接得证. 【小问1详解】 因为是的充分条件，所以， 当时，，满足； 当时，，所以或， 综上，是取值集合为， 在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件， 所以的等价变形为. 【小问2详解】 略. 20. 已知实数，满足. （1）求证：中至少有一个实数不小于1； （2）设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值. 【答案】（1） 假设全都小于1，则与题目矛盾， 故中至少有一个实数不小于1. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用反证法求解即可； （2）由于若在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现，分析即得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为且， 集合的所有非空子集数为个， 由于时，中的元素和为0，因此计算所有的，的和时，不妨把也计上， 因为若在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现， 所以在32个子集中一定有16个包含，另外16个不包含， 故的平均值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $