精品解析：江苏连云港市赣榆区2026-2027学年高二上学期11月期中学业水平质量监测数学试题

2026—2027 学年度第一学期期中学业水平质量监测 高二年级　数学试题 （本卷满分 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟） 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 注意事项： 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可. 【详解】经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C 2. 等差数列 中，若 ，，则数列 的公差为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列 的公差为 ， 因为 , ， 所以. 解得 . 3. 已知函数，那么的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的除法法则求，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 4. 已知直线的方程为（），若直线 在轴、轴上的截距之和为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线：（）在轴、轴上的截距分别为， 由直线 在轴、轴上的截距之和为，得，所以. 5. 函数在区间上（ ）. A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 【答案】A 【解析】 【分析】结合基本不等式即可求解． 【详解】解：因为函数，； ； 当且仅当即时等号成立； 函数在区间上有最大值：，无最小值． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的最值以及基本不等式的应用，属于基础题． 6. 已知数列 为正项等比数列，， 是方程的两个实数根，则 ＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】,若，是方程的两个实数根，则， 又为正项等比数列，故，则. 7. 设数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，数列是单调递减的等比数列，确定数列前四项的值，可得出数列前四项的值，由此可得出的值. 【详解】因为数列是公比为的等比数列，则，故，则， 故数列是单调递减的等比数列， 因为数列的连续四项构成集合，则数列的连续四项构成集合， 于是有，，，， 结合题意可得，，，，故. 8. 已知函数 ，，若 ，恒成立，则实数的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为对恒成立，进而进一步转化为恒成立，再求解函数最值求得即可得答案. 【详解】由，恒成立得：， 即：，整理得：， 所以对恒成立 所以，或， 当时，即，由指数函数与对数函数图象可知，不成立，舍去； 当时，即：恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 令 ，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 在 处取最大值 ，所以， 令 ，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 在 处取最小值 ，所以 ， 综上，实数的取值范围为 四个选项中，只有 ，故实数的值可以是. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 已知直线，则始终过定点 B. 直线在轴上的截距是 C. 设直线 （不同时为 ），若 ，则 的倾斜角唯一 D. 过点 且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线共有 3 条 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，将含参数直线方程整理成关于参数的方程，列方程求解即得定点；对于B，根据直线的斜截式方程求解即得；对于C，将直线方程化成斜截式即可判断；对于D，根据截距是否为0分类，利用直线的截距式方程求解即得. 【详解】对于A，直线可化成，由解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B，对于，令得，即轴上的截距为，故B错误； 对于C，当时，因A、B不同时为0，则，直线方程化为，是平行于轴的水平线， 斜率恒为0，倾斜角恒为，故C正确； 对于D，满足“两坐标轴上截距绝对值相等”的直线可分为两类： ① 截距均为0时，直线过原点，过点的直线为，符合条件； ② 截距不为0时，设截距为，由得或： 若，则直线方程为，代入点得，对应直线； 若，则直线方程为，代入点得，对应直线， 综上可知，共有3条符合条件的直线，故D正确. 10. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. 有极大值，且极大值大于 C. 的单调递增区间为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据极值处的导函数值等于0可得，并代入判断单调性和极值，即可判断ABC；可证，当且仅当时，等号成立，分类讨论解不等式即可判断D. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 因为函数在处取得极值，则， 若，则，， 令，解得；令，解得或； 可知函数在内单调递增，在，内单调递减， 则函数在处取得极小值，在处取得极大值， 即符合题意，故A错误，BC正确； 对于选项D：令，则， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则，当且仅当时，等号成立， 不等式即为， 若，则，可知，不合题意； 若，则，可得，则； 综上所述：不等式的解集为，故D正确. 11. 已知数列满足，则（　　） A. 是数列的最大项 B. C. 当的前项和取得最小值时， D. 对任意，不等式，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用累乘法可以先计算通项公式判定B项，根据数列的单调性判定A项，借助作差法判定数列的单调性及列举法计算可判定C项，分类讨论判定D项. 【详解】对于A、B选项，由题意可知， 即， 累乘得，又， 所以， 显然时也符合上式，故，所以B错误； 易知随增大而减小，故是数列的最大项，A正确； 对于C项，记，易得， 则，记，则， 显然时，单调递增，而， 则时，，即，此时单调递增， 注意到， 显然当的前项和取得最小值时，，C正确； 对于D项，易知各项为正数， 原不等式等价于， 若为偶数，则，显然单调递增， 此时， 若为奇数，则，显然单调递减， 此时，故D正确. 三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知，、、，若、、三点共线，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可得，， 因为、、三点共线，则，则，即，解得. 13. 设，若函数，有小于零的极值点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，结合指数函数的性质求出范围. 【详解】函数，，求导得，由，得， 由原函数有小于零的极值点，得方程有负根， 而，则，，于是，解得， 此时函数在上单调递减，函数在上单调递增， 当时，；当时，，则是函数的极小值点，符合题意， 所以的取值范围为. 14. 数列中，，且 ，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过构造等比数列求得数列的通项，进而得到前项和，代入不等式分离参数，结合数列的单调性求解参数的最大值. 【详解】由，， 令，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， 由，，， ，，，， 由题意得对任意的恒成立，令， 当为奇数时，，此时函数在上单调递增， ， 当为偶数时，， 由，， 函数的最小值为， 当时，对任意的恒成立，即实数的最大值为. 四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求满足下列条件的直线方程： （1）经过和两点的直线； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1） 用两点先算斜率，再点斜式整理一般式； （2）截距相等要分类截距为0和不为0两种情况讨论，进而求出相应直线方程． 【小问1详解】 经过两点的斜率， 由点斜式，经过点的方程为：， 化为一般形式为：． 【小问2详解】 当截距不为0时，设截距式为：，即， 代入点得，解得， 故直线方程为， 截距为0时，设直线为，代入点得： ，故直线为，即． 16. 在数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法，结合已知的相邻项递推关系求解通项，验证首项匹配性. （2）先化简的表达式，识别等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【小问1详解】 由题知，，，，，， 将以上个式子等号两边分别累加，可得， 则，当时，， ； 【小问2详解】 由（1）知， 故①， ②， 由①-②得， ， ， 故. 17. 已知函数 ，，. （1）若 ，求函数 在 处的切线方程； （2）讨论函数 的单调性. 【答案】（1）； （2）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在、上单调递增，在上单调递减； ③当时，在上单调递增；④当时，在、上单调递增，在上单调递减。 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式表示切线方程； （2）根据导函数方程根是否在定义域内和根的大小分四种情况讨论， 根据导数的正负判断函数的单调性 【小问1详解】 当时，，则，所以， 因此函数 在 处的切线方程为， 即，整理得. 【小问2详解】 对求导得， 因为，所以 ①当时，，则当时，；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. ②当时，当或时，；当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减； ③当时，恒成立，所以在上单调递增； ④当时，当或时，；当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. 18. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有. （1）若的首项为，公比为，求； （2）若. ①求数列与的通项公式； ②记（），数列的前项和为，若对，不等式恒成立，求实数的最大值与整数的最小值. 【答案】（1） （2）①；②实数的最大值为，整数的最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，进而得，再计算即可； （2）①设等差数列的公差为，等比数列的公比为，结合（1）得，再根据等比数列性质求得，进一步求得与的通项公式；②根据题意得，再结合裂项求和法得，最后根据数列的单调性求得即可求得答案. 【小问1详解】 解：由， 当时，， 两式相减得； 当时，验证也成立， 所以， 当，， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知. ①，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，则， 所以，， 因为为等比数列，所以，即， 整理得，解得或， 当时，无意义，故， 所以，，，. ②由①知： 裂项得：， 所以， ， 显然， 令，则， ， 所以为单调递增数列，且， 所以随着的增大而增大，即为单调递增数列， 因为，所以 因为对，不等式恒成立， 所以，实数的最大值为，整数的最小值为. 19. 已知函数. （1）试确定函数的单调区间； （2）求证：； （3）若 恒成立，求正整数的最大值. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2）证明：令， 可得， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以， 所以，即， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，即可求解； （2）令，求得，得到在区间上单调递增，结合，即可得证； （3）令，求得，得到正整数只能取，分和，利用换元法和导数，证得时，满足成立，进而得到答案. 【小问1详解】 由函数， 可得， 因为，可得，所以， 所以函数在区间上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 若，可得， 因为，所以， 因为是正整数，所以只能取， 当时，当时，， 因为， 所以； 当时，令，可得， 则， 令，可得， 令，可得，整理得， 可得其正根为，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，此时， 此时， 因为，且在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以在上恒成立，即， 综上可得，， 所以正整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年度第一学期期中学业水平质量监测 高二年级　数学试题 （本卷满分 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟） 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 注意事项： 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列 中，若 ，，则数列 的公差为（　　） A. B. C. D. 3. 已知函数，那么的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知直线的方程为（），若直线 在轴、轴上的截距之和为，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 函数在区间上（ ）. A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值 6. 已知数列 为正项等比数列，， 是方程的两个实数根，则 ＝（　　） A. B. C. D. 7. 设数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，，若 ，恒成立，则实数的值可以是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 已知直线，则始终过定点 B. 直线在轴上的截距是 C. 设直线 （不同时为 ），若 ，则 的倾斜角唯一 D. 过点 且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线共有 3 条 10. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. 有极大值，且极大值大于 C. 的单调递增区间为 D. 不等式的解集为 11. 已知数列满足，则（　　） A. 是数列的最大项 B. C. 当的前项和取得最小值时， D. 对任意，不等式，则 三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知，、、，若、、三点共线，则的值为________. 13. 设，若函数，有小于零的极值点，则的取值范围为________. 14. 数列中，，且 ，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为________. 四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求满足下列条件的直线方程： （1）经过和两点的直线； （2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线． 16. 在数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数 ，，. （1）若 ，求函数 在 处的切线方程； （2）讨论函数 的单调性. 18. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有. （1）若的首项为，公比为，求； （2）若. ①求数列与的通项公式； ②记（），数列的前项和为，若对，不等式恒成立，求实数的最大值与整数的最小值. 19. 已知函数. （1）试确定函数的单调区间； （2）求证：； （3）若 恒成立，求正整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $