专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 1．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 3．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 1．若函数 是二次函数，则a=（　　） A． B．4 C．4或 D．4或3 2．m取 时，函数是以x为自变量的二次函数. 3．已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 1．关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 2．函数是二次函数，则m的取值范围是 ． 3．已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 1．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 3．将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 1．某超市月份的营业额为万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 2．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 1．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 3．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 1．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ． 3．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 1．已知二次函数，当时，；当时，，则该二次函数的表达式为（  ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为 ． 3．抛物线经过点，顶点在直线上．求抛物线的解析式． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 5．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 6．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 7．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若是的二次函数，则 ． 8．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 9．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数当时，函数有最大值，则二次函数的表达式为______． 10．（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 11．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 12．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 13．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 14．（22-23九年级上·安徽·单元测试）已知函数 (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)当为何值时，是的二次函数？ 15．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”逐一判断即可． 【详解】A、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； B、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； C、是二次函数，故该选项正确，符合题意； D、可整理为，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 1．下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先把关系式整理成一般形式，再根据二次函数的定义判定即可解答． 本题考查了二次函数的定义，若两个变量x、y之间的关系可以表示成（a、b、c是常数，）的形式，则称y是x的二次函数．解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义． 【详解】解：①，是二次函数； ②，没有说，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； 故选：B． 2．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 3．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 1．若函数 是二次函数，则a=（　　） A． B．4 C．4或 D．4或3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵函数 是二次函数， ∴且， 解得或， 故选：C 2．m取 时，函数是以x为自变量的二次函数. 【答案】，且 【分析】根据二次函数的定义列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵函数y=（m2-m）x2+mx+（m+1）是二次函数， ∴m2-m≠0，解得m≠0，且m≠1． ∴当m≠0，且m≠1时，函数y=（m2-m）x2+mx+（m+1）是二次函数． 故答案为，且. 【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2，根据题意列出关于m的方程是解答此题的关键． 3．已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．根据二次函数的定义，最高指数是2且二次项系数不能等于0列式求解． 【详解】解：因为是的二次函数， 所以且， 由得， 解得， 又，即， 所以． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可得到答案． 【详解】由二次函数的定义可得， ， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握(是常数，)的函数，叫做二次函数． 1．关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：关于的函数是二次函数的条件是，即， 故选：D． 2．函数是二次函数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 【答案】且 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数，根据二次项系数不能为0列不等式，即可求解 【详解】解：若这个函数是二次函数，则， 即， 解得且． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 1．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 2．把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 ． 【答案】1 【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论． 【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6 ∴一次项系数为7，常数项为-6 ∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键． 3．将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡． 【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细， ∵容器横截面为圆形，横截面， ∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线， ∴对应函数图像先陡、后缓、再陡， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分①当点P从点O运动到点A的过程中，②当点P从点A运动到点B时，③当点P从点B运动到点C过程中，三种情况，分别判断各所对的函数图像即可. 【详解】设∠AOM=α，点P运动的速度为a， ①当点P从点O运动到点A的过程中， S=at·cosα·at·sinα=a2t2sinαcosα， 由于α及a均为常量， ∴本段图象应为抛物线，且S随着t的增大而增大； ②当点P从点A运动到点B时， 由反比例函数性质可知四边形OMPN的面积为k，保持不变， 故本段图象应为与x轴平行的线段； ③当点P从点B运动到点C过程中， OM的长在减小，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应为一段下降的线段， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，判断每个时间段面积的变化，从而确定其图象． 2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】 分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点在上时；当点在上，且点在上时；当点在上，且点在上时．图2中的最高点是当点与点重合时，的值为；当点和点相遇时，即到达点时，用时秒．由此可求出，由此可求出当点运动秒后的值，即可求出的值，进而可求出的取值． 【详解】解：由图2可知，当点运动到点时， ，即， 当点和点相遇时，即到达点时，运动了秒，即， ， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，如图，， ； 当时，点在上，点在上，如图， 此时，，， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到与的函数关系，然后根据一元二次方程和二次函数和一次函数图象与性质解决问题，能够准确进行分类讨论是解题的关键． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【答案】，图见解析 【分析】首先得出与的关系，进而由图象得出平行四边形的面积随其底边变化情况． 【详解】解：平行四边形的高与底边的比是， ， 则， 如图所示：平行四边形的面积随其底边增大而增大． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及函数图象性质，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 1．某超市月份的营业额为万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵第一季度的总营业额共万元， ∴， 即． 故选：D． 2．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： 1．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 2．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即，解得：； （2）解：，，，，， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ． 即 【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元， ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 1．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 2．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为，第二次降价后价格为，进而可得与之间的关系式． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 3．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线翻折得到的图像与原图像关于直线对称．根据直线对称的特点即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 1．已知二次函数，当时，；当时，，则该二次函数的表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式解题的关键． 将当时，；当时，，代入求解即可； 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴抛物线解析式为． 故选：B． 2．已知抛物线的顶点是，形状与相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】由形状与函数的图象相同且开口方向相反可知，把顶点代入顶点式即可求得抛物线解析式．本题考查了二次函数解析式的求法，掌握顶点式的特点是解决本题的关键． 【详解】解：设抛物线解析式为， 形状与相同，但开口方向相反， ∴， ∴ 把顶点代入得： ， 故答案为：． 3．抛物线经过点，顶点在直线上．求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键．根据抛物线的对称性求出顶点的横坐标，再代入直线，再将A及顶点坐标代入解析式，据此即可求出抛物线的解析式． 【详解】解：∵， ∴抛物线经过点， ∵抛物线经过点，且点与点关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即， 将代入直线，得， ∴抛物线顶点坐标为， 将，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，熟记二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是二次函数，故选项不符合题意； B、不是二次函数，故选项不符合题意； C、，是二次函数，故选项符合题意； D、，不是二次函数，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：． 4．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将和时，多项式的值相等理解为和时，二次函数的值相等是解题的关键． 【详解】解：∵和时，多项式的值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴当时， ． 故选：C． 5．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若是的二次函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解，解题的关键是注意二次项的系数不能为0． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得或（舍去）， 故答案为：3． 8．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 9．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数当时，函数有最大值，则二次函数的表达式为______． 【答案】 【分析】把代入二次函数的解析式求得的值即可． 【详解】解：当时，函数有最大值， ， 解得：或， 有最大值， ， ， 二次函数的表达式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质等知识，解题的关键是根据题意求得的值后进行正确的取舍． 10．（2022·四川成都·模拟预测）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 【答案】 【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 11．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 【答案】(1)，，原点到直线的距离是 (2)当且时，这个函数是二次函数 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点． （1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离； （2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得， 解得：或， 又∵，即． ∴当时，这个函数是一次函数． 此时，函数， 将点代入得：； 令，则， 令，则， 故函数与坐标轴的交点为和， 两交点的距离为， 故原点到直线的距离． （2）解：根据二次函数的定义，得， 解得且． ∴当且时，这个函数是二次函数． 12．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴． 解得：． （2）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：且． 13．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 14．（22-23九年级上·安徽·单元测试）已知函数 (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)当为何值时，是的二次函数？ 【答案】(1)当时，是的一次函数； (2)当时，是的二次函数． 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）根据二次函数的定义解答即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数，掌握一次函数和二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴当时，是的一次函数； （2）解：由题意得，， ∴， ∴当时，是的二次函数． 15．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 学科网（北京）股份有限公司 $$