精品解析：浙江省嘉兴市南湖区东北师范大学南湖实验学校2024--2025学年八年级上学期第一次月考数学卷

东师南湖校2024学年第一学期八年级数学练习 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（ ） A. B. C. D. 2. 杭州亚运会将于2023年9月23日举行，下面是比赛项目中几个项目的图标，其图案可看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若的周长为14，，则线段的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 3 5. 如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 图1是数学实验课上小哲做角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 7. 如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　） A. △AEG B. △ADF C. △CEG D. △FDG 8. 如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是（ ） ①先确定直线，过点作； ②在上取，两点，使得△； ③过点作； ④作射线口，交于点； ⑤测量☆的长度，即的长 A. △代表 B. □代表 C. ☆代表 D. 该方案的依据是 9. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，，则__________ 12. 如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为__________． 13. 已知图中两个三角形全等，则的度数是_____． 14. 如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是___． 15. 定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 __． 16. 如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 三、解答题：（本题有8小题，共52分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知在中，，，． （1）求的取值范围； （2）若是等腰三角形，求的周长． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图，在上求作一点，使（不要求写作法，保留作图痕迹）；请你根据所学的三角形全等的有关知识，作图依据是___________．（提示：） （2）若（1）中，，求的度数． 19. 如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． （1）格点（顶点均在格点上）的面积＝ ； （2）画出格点关于直线对称的； （3）上画出点P，使最小． 20. 陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． （1）求证：． （2）求两堵木墙之间的距离． 21. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，与相交于点O，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为，的周长为，求的长； （2）若，，求的度数． 23. 【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 24. 如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． （1）如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t代数式表示） （2）如图①当t为多少时，的面积等于； （3）如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东师南湖校2024学年第一学期八年级数学练习 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系即可判断第三根木棒的取值范围． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∴， ∴， 观察各个选项，只有D选项是符合的， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式即可． 2. 杭州亚运会将于2023年9月23日举行，下面是比赛项目中几个项目的图标，其图案可看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵当，时，，但是， ∴，但是， ∴，是假命题的反例． 其他选项不能说明； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 4. 如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点，若的周长为14，，则线段的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为14，即可求得线段的长． 【详解】解：直线是线段的垂直平分线， ， 的周长为14， ． 即线段的长度为6． 故选：B． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 5. 如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得∠BAC＝45°，根据邻补角互补可得∠EAF＝135°，然后再利用三角形的外角的性质可得∠AFD＝135°+30°＝165°．即可． 【详解】解：∵∠B＝45°， ∴∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝135°， ∴∠AFD＝135°+30°＝165°， ∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15° 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 6. 图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 7. 如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　） A. △AEG B. △ADF C. △CEG D. △FDG 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理分别计算出所有三角形的边长，然后根据“SSS”对各选项进行判断． 【详解】解： 在△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝3， 在△AEG中，EG＝，AG＝2，AE＝， 在△ADF中，AD＝，DF＝3，AF＝， 在△CEG中，EG＝，CG＝CE＝， 在△FDG中，DG＝，FG＝，DF＝3， 所以BC＝DG，AC＝FG，AB＝DF， 所以△ABC≌△FDG（SSS）． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质。 8. 如图是嘉淇测量水池宽度的方案，下列说法不正确的是（ ） ①先确定直线，过点作； ②在上取，两点，使得△； ③过点作； ④作射线口，交于点； ⑤测量☆的长度，即的长 A. △代表 B. □代表 C. ☆代表 D. 该方案的依据是 【答案】D 【解析】 【分析】先根据方案补全作图步骤，再说明作图理由即可判断每一个选项的对错． 【详解】①先确定直线，过点作； ②在上取两点，使得； 故选项A正确； ③过点作； ④作射线，交于点； 故选项B正确； ⑤测量的长度，即的长； 故选项C正确； ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴该方案的依据是； 故选项D错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 9. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 10. 如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：作关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， 过作于，交于， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为12，长为6， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，，则__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据中线的意义可得等底同高，即，同理可得，进而求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴等底同高，即， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 13. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由三角形内角和可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴； 故答案为． 14. 如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是___． 【答案】8 【解析】 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 射线是的平分线，，， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 15. 定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 __． 【答案】3或6 【解析】 【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵等腰倍长三角形， ∴腰长＝底边长的2倍或底边长＝腰长的2倍， 如果腰长是6，底边长是3或， ∵， ∴此时不能构成三角形， ∴底边长是3，腰长是6； 如果底边长是6，腰长是12或3， ∵， ∴此时不能构成三角形， ∴底边长是6，腰长是， ∴的底边长是3或6． 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论． 16. 如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 【答案】100°或55°或70° 【解析】 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 三、解答题：（本题有8小题，共52分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知在中，，，． （1）求的取值范围； （2）若是等腰三角形，求的周长． 【答案】（1） （2）20或22 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，列出不等式即可求解； （2）分两种情况：为腰或为底，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，， 即 ， ∴的取值范围为； 【小问2详解】 若是等腰三角形， 则当为腰时，， 此时，的周长为， 当为底时，， 此时，的周长为． 综上所述，的周长为20或22． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图，在上求作一点，使（不要求写作法，保留作图痕迹）；请你根据所学的三角形全等的有关知识，作图依据是___________．（提示：） （2）若（1）中，，求的度数． 【答案】（1）作图见详解， （2） 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法可得答案；由作图步骤可知，作图时满足三条边相等，即可判定作图依据； （2）根据已知条件，利用三角形内角和定理可得，再结合，利用“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和”即可获得答案． 【小问1详解】 解：尺规作图如下： 由作图可知，， ∴， ∴， ∴作图依据是． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了作图-基本作图、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 19. 如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． （1）格点（顶点均在格点上）的面积＝ ； （2）画出格点关于直线对称的； （3）在上画出点P，使最小． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格，用矩形减去部分三角形面积，算出的面积即可； （2）先画出点A、B、C关于直线的对称点、、，连接即可得到； （3）根据抽对称、两点之间线段最短，连接和的交点P，使最小，即最小． 【小问1详解】 ， 故答案为：5 【小问2详解】 分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，连接即可得到， 所作图形如图所示： 【小问3详解】 如图所示： 连接和的交点即为点P，使最小 和关于直线对称，点P在上， ， 根据两点之间线段最短，连接和的交点P，使最小，即最小． 【点睛】本题考查了三角形的面积、轴对称作图、最短路径问题等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． （1）求证：． （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2）两堵木墙之间的距离为 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， ， 在和中， 【小问2详解】 解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 21. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，与相交于点O，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，，根据得到，即可得到，即可证明结论； （2）根据，得到，结合可得，结合即可得到答案； 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形全等性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是根据平行线性质得到三角形全等的条件． 22. 如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． （1）若的周长为，的周长为，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为，的周长为，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用三角形全等的性质可得答案； 【小问1详解】 解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ； 【小问2详解】 ，， ， 在和中， ， ， ， ． 23. 【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，，若的“邻三分线”交于点D，则______； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 【答案】（1）40 （2）90 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． （1）根据“三分线”的定义即可得到答案； （2）根据是“邻三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【小问1详解】 解：∵是的“三分线”， ∴， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：90； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． （1）如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示） （2）如图①当t为多少时，的面积等于； （3）如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 【答案】（1）； （2）或 （3）点的运动速度为或或或 【解析】 【分析】（1）根据点P的运动速度求出，即可； （2）分两种情况：当点P在上时，当点P在上时，分别画出图形，根据三角形面积公式，列出方程，求出结果即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【小问1详解】 解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，． 【小问2详解】 解：当点P在上时，如图所示： ， 解得：； 当点P在上时，如图所示： ， 解得：； 综上分析可知：当或时，的面积等于； 【小问3详解】 解：设点的运动速度为， ∵点在边上，点在边上， ∴ ∴， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； ④当点上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； ∴点的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，勾股定理，列代数式，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $